Principe général

Le cas où le cône étudié n'admet pas le plan 0%x,,x,, comme plan de symétrie se ramène aisément au précédent par une représentation Conforme, conservant le cercle (C,):

Supposons, par exemple, que dans le plan Z l'obstacle soit représenté par une coupure 1e long du segment (b, c) de l'axe, réel (voir f18.35), la transformation: conforme

2-0, MÈRES M) a = ; Pos où U'res tn: Aomorerée To a |; cohserve,;)en définitive, l'axe réel et le cércle (C, ). Cherchons à déterminer les nombres a. et &» tels que Z:= c corresponde HOME b à 2. = -'a . On doit écrire es c-a, PRES b-a, ar Bars D EC 1-% FT œ, est déterminé par l'équation ct bc { l + - 1 = -4(0) ; Q 1-4, 1-a d ce qui donne deb NE Tee &- = :

ï LS (remarquons que:si b+c = O, œ, = Dir

On' détermihera ensuite a, par une des deux formules écrites plus haut ou par la: formule symétrique par rapport à bd et c :

L bee ee bc 1+\(4-b2) (1-c2)

relation que l'on peut trouvér directement en écrivant

(ete 1; Œ'; 40 F s —1, C, b) Û En‘ particulier ieus (1h?) pre) ET 1+a° tete

Fait 3+1.2.2.- Problème symétrique.-

Il va nous étre maintenant très facile d'étudigr le cas du problème symétri= . 1 e ee « à que (c'ést-à dire celui: où w prend la valeur w, sur le bord supérikur de la cou!

pure et We sur le bord inférigur),

La' formule donnant W en: fonction: de Z, s'écrit] fornute(111.8) |:

1 w CREER 2 W(Z)= 0 lof l A AE AE EAU, TH a.+2, 1+0,2, 0 Aion i c t wo | 1 WELL aN) EE Log (0-2) (1-20) | '108[ (8-2) (1-2b)| +0.

V (23) et U (Z) s'obtiennent par les formules de compatibilité

dv Pau Cat+r1) Ve) td be) d?z TL BESSON TE D) M À OT:

ir Lai we 1+c2 A CE, 1+b2 : ru [ia LAETEN PASS O8 =? :

relier i-%c. .1-b? SE 1-2b enfin:

du. 2 w CbEcie ti be) 2 dz T (c=2) (i-Z%c) (%-b)' (1-%Zb) d d'où : 2 w C C4 b 2 d (III.23) U. (Z)°= 0 | 106$ > log —— À nr Ê (12c2) ÉGARD 1-02

Naturellement, on' aurait pu obtenir ces expressidns directement, par un'rai-: sonnement analogue à celui'déjà fait dans les numéros antérieurs (3.1.4, 3.1.5, SOS SR

Remarquons que ce problème jouit d'une propriété "d'additivité", évifente à pribri' d'ailleurs, mais qui'se trouve nettement en évidence sur les formules LItIIT,21), (CHE MERE 2 A (EI1.83)]. Ceci’ veut dire que, si on connaît la solution du problème pour un segment bc et celle relative à un' segment cd, on'obtiënt la solution relative au segment bd, en ajoutant les solutions données, Sifnalons aussi'que, dans les formules précédentes, la détermihatidn des logarithmes doit être convenablement choisie.