CONDITIONS AUX LIMITES. THLOREME D'EXISTENCE

Physiquement, la définition de la célérité du son conduit à la règle que l'on a appelé "règle des signaux interdits" (voir la noté (2) dudparaÿraphe ur ÆMer que l'on: peut énoncer

Une perturbation dans un rnouvement supersonique uniforme, de vitesse U, produite en un point p, n'a d'action qu'à l'intérieur d'un demi-cône de révolution d'œxe U et de demi-angle au sommet & = Arc sin (1/M); (B = cota)i « s'appelle l'angle de Mach, le demi-cône en question "arrière-cône de Mach en ue

Corrélativement, on peut énoncer que L'état du fluide en un point M (bression, Vitesse, etc...) ne dépend que de La nature des perturbations produites dans. l'écoulement non perturbé en: des points situés à l'intérieur de "l'avantcône de Mach en M", l'avant-cône de Mach en un point étant évidemment le symé-

trique dé l'arrière cône de Mach par rapport à son sommet.

Du point de vue mathématique, si on veut justifier cette règle, il faut partir des formules résolvant le problème de Cauchy, et tenir compte des conditions aux limites particulières au problème. Le long de l'obstacle, il faut écrire que la vitesse est tangente à l'obstacle ce qui donne la valeur de dp/dn. Détplius Latin frni amont (+ = @ ), les dérivées premières de ® doivent être nulles, ® n'étant déterminé, du point de vue aérodynamique, qu'à une constante près pourra lui-même être supposé nul. ;

Les surfaces caractéristiques de l'équation (I.10) sont les cônes de Mach. Si l'un des cônes de Mach du point P découpe sur une surface (2) une région (R), l'étude classique du problème de Cauchy !*/ montre que la valeur de ® en P est une fonctionnelle linéaire continue des valeurs de ® et de dp}dn: sur R,.

Considérons alors un point M d'un écoulement supersonique tel que son avantcône ne coupe pas l'obstacle. Prenons comme surface 2%, un plan &; =, ACC arbitrairement grand. Sur Z, ® et d®/dn, qui sont des fonctions continues, seront arbitrairement petits, Par suite, la valeür de ®,-e6n M, est nulle. Ainsi se vrouve justifié un premier aspect de la règle des "signaux interdits".

Supposons que l'avant-cône de. M découpe sur l'obstaclerune région r (M) eur QE dop/dn: est donné par les conditions aux limites; ® (M) est donc une fonctionnelle Tinéaïire desvvaleurs de Ÿ'sur #-(M}:

On voit alors que, si on fait tendre M vers un’ point M, de l'obstacle, on obtiendra: une équation fonctionnelle permettant la détermination de ® sur l'obstacle, tout au moins dans les cas où l'existencé et l'unicité de la solution seront assurées (5? , Par conséquent, ® (M) ne dépend que des valeurs de dp/dn dans la région r (M); ceci justifie la: conséquence fondamentale de la règle des "signaux interdits",.(6) | -

a" ———]— A TE RER

(3)'Par exemple, dans l'étude des mouvements vibratoires d'amplitude infiniment petite autour de profils miüces,

(4) Pour le problème de Cauchy, relatif à Eee des ondes cylinôriques, voir, par exemie, les référencés 6 et 7..

(5) Une telle méthode a été utilisée par G. Temple et H.A. Jahn, dans l'étude d'une équation'aux îiérivées partielles à deux variables (ref.8).

(6) On trouvera une étude plus précise de cette question, annexe 1, à la fin de ce travail.

1: 1.5.- METHODES GENCRALES POUR L'ETUDE DES ECOULEMENTS SUPERSONIQUES LINEARISES, -

Dans un article récent (1) ayant pour objet l'étude des écoulements super Soniques linéaires, Von Karman indique qu'il existe deux grands procédés géné raux pour étudier cès écoulements, l'un appelé "la méthode des sources", l'autre "l'analogie acoustique",

La prémière, déjà ancienne, est d'un emploi théorique assez simple. Elle consiste à placer, sur la surface extérieure de l'obstacle, une répartition: convinue de singularités, appelées sources, dont la superposition donne, en chaque point de l'espace, le potentiel cherché, l'intensité locale des sources étant, en’ général, relativement facile à déterminer à l'aide des conditions aux limites. La seconde méthode utilise une solution fondamentale de l'équation (I.10),dont la composition permet d'obtenir le potentiel cherché: l'intérêt de ce procédé est de permettre l'utilisation des intégrales de Fourrier et de fournir ainsi, tout au moins dans certaihs cas particuliers, des expressions assez simples pour les efforts globaux.

Von Karman indique également, en fin d'article, un troisième procédé général, celui des mouvements coniques.

Nous nous proposons, dans ce travail, l'étude des mouvements coniques et le développement de ce troisième procédé qui utilise systématiquement la: compo- Sition des "mouvements coniques" et, plus généralement, des mouvements que nous appelerons "les mouvements homogènes d'ordre n'", Nous verrons que ce procédé permet de retrouver très ‘facilement, et souvent à moins de frais, un grand nom-: bre de résultats précédemment obtenus par d'autres méthodes, et de mener à bien l'étude de certaihs problèmes qui, à notre connaissance, n'ont pas encore été résolus.

1,2.- Généralités sur les écoulements coniques.-