LS A

Remarquons que, sur le cercle (Y); A (z,)'a hneéspirtle réelle nulle. -Suproe

Sons connue la v leur du coefficient À; sur la circonférence (ST AElLOS SZ" Héarde comme partie réelle constante: : : $ TT RUN

(TI1:36) ATOS AC À

Or, d'après un' théorème biën connu de la théorie des fonctidns harmonidues, (voir ref.29), on'saîit que, si'une fonction! harmonique, uniforme H (x,y}), défi: nie à l'intérieur d'une couronne circulaire, prend sur les deux cercles frontibres, les valeurs @ (0) et ( (9), Ô étant l'angle au centre représentant le point courant sur chaque cercle, on'a::

RT en Po (8): de CEE

Ce théorème va nous permettre de démontrer le théorème suivant

IUEORENPE OST = -tX, lalfonction u. (Mesatisfait à l'égalité

K (UM) étant la fonction elliptique de première esbèce relative au module KL:

fr KL) = EN Os ASE ES HPLSRUS cos ? ®P (o] En effet, la. valeur moyenne de la partie réelle de “à (z,) Sur lencercile LS ee, doit être nulle, or la valeur moyenne de uw sur (2 s'écrit 2T 4 K # dz 4 T $ dz ne BA 2 U dz. ——— UE ——————————— , 2 T 12, SR Ve AK \ea2-22) (1-22) o (0) en' désignant parle lacet entourant la coupure (-H, +M), dans le sens direct,

Mais la fonction u (®@) prend les mêmes valeurs, en des points ayant même abscis-: se sur le. bord supérieur et sur le bord inférieur de la coupure, par suite cétte

valeur moyenne est égale à

1 Tu (o) do

ER? UC 0S LD [o)

Pour que Ja valeur moyenne Dee ATE Aou (& 6) soit nulle, HAE Cu ira suffit que celle de u soit égale à À log qg, ce qui justifie le théorème. On utilise ce théorème de la façon suivante

p 2 / S Soit u. (@), une primitive de ——, calciülée bar la formule (III. 35), s1.: o {D

TE Ep U u, (p'd

ce J Fr ms = — FRE

La valeur de u (@} chercnée peut s'écrire:

u TB} =TATOS ONE ue (p) —- C +

Pour établir ce résultat, nous avons supposé que la. coupure s'étendait sur le segment (-U, +H), symétrièue par rapport à l'origine. Pour ramener le cas général à ce cas. partipulier, 11 suffit de faire une représentation conforme analodue à célle déjà faite au numéro 8.1.2. Soit

Les

cétte: représentation: conforme faisant correspondre à la coupure (À,H) du plan z, la’ coupure:(=k, +k) du plan'z'. On'a, en: particulier TRE MON PEN CES LEE La valeur moyènne de u sur le cercle image de la coupure (-k, +k), du plan z',

dans la représentation conforme qui’ transforme le plan z/ en'un'anneau, s'écrit d'après ce que nous venons de voir

1 usdozl 4K(k) - kZg12) (isen?) a ( en: désifnant par 2' le lacet entourant la coupure (-k, +k) dans le plan 7’ Mais da ,(1-&?} dz!' = SE SAC US ; (1-&Z ) 10%? DA er RUN a 2 (k2-z/2}:(1-2/72) = —— (1-22) (Hz) (1-03 ) ? oi à Foian) ça a. (1-aH)

Remarquons que

(1-GÀ) (1-4) H— À 1-42 k 2k La valeur moyènne s'écrit alors ( De MC

4K(k): | 24 de IE Aie) Le N)

Létant le lacet entourant dans le sens direct la coupure (À,U).

Posons enfih::

la valeur moyenne cherchée sur le bord supérieur de las Coupure”stécrit

On en' conclut, comme précédemment

S1 u, (P) est une primitive calculée à hbartir de Éd DR ARS D

T 1 |}H-À HAN Eee 2K(k):V 2k TRE x ' (e]

La valeur de u (9%) cherchée est

BE VS DEphiecu |) MAVlOÉ grec n

Tout reviënt donc au calcul:de la:constante A. Or cette constante se calcule très facilement en consiférant la partie imagihaîre uv! (x,y)'de:U. (2).

En'effet

Lorsque, dans le plan z, on entoure une fois dans le sens direct de la cou-; pure (À,H), la partie:imagihaire de U. (z)' augmente de £T A. Sion: entoure: la: coupure par le. lacet , on' remarque que #/ (x,y) prend des valeurs opposées aux deux poihts de la coupure, ayant même abscisse, mais situés sur des bords diffé-! Ténbs- rONMpeUL doncrécrire

1 [ du!

Le ut) dx , nr | a À Male, d'apres léssrelationside compatibilité, on péut. aussi: écrire’: u 1 x Dw

Ba TER dx À

ce qui! permet directement le calcul de A, à partir de la fonction :

donnée sur la coupure.

Toute: l'analyse précé'ente suppose que:.f (x) S'annule pour x = À et x = Ki. Il nous reste maintenant à ramener le cas général: à ce cas particulier. Or on! peut poser

Je {x} s'äannulant pour x = À et x = LL, et ex et CE étant deux constantes conve-' nablement ra. Le ere alors peut se ee à la superposition de trois

problèmes, BD SCNLIE TO AS ARLES PES

le second où

le troisième où :

Les deux premiers problèmes ayant déjà été traités, il ne nous reste plus qu'à traiter le dernier problème. Posons done

(7 RE TS et cherchons la: fonctiôn U (z).

f) F ta 2 2 Z WO(S) mm) dt = (UN) 2 lof 3 T / Ce TC me À CMOS adw 1 Z VS los soi -'— (M-À) , dz T Se LTE RTE Ne 07 Etrdanres #26) dU À z Us (URLS CNE bn À (Lez) USE)

d'où par intégratidn (en détermihant la constante d'ihtégration:pour que U.{1) ait une partië réelle nulle)

si DIRE 1 + 1-U z + ÉCOUNESTS

U, (5) = ='——— TER OS D NE B x À-£ 1-u? | NP (HIMIMEARS ES DIE 1. 1-Àz + (ie?) (i-A2).