Etude du pro blème portant
Nous nous limiterons, pour simplifier, au cas où le problème admet le plan: O,x , comme plan:de symétrie. ; Considérons la fonctidn W (z); on' peut la mettre sous la forme: : W (2) = AN, (PE NE A ON A RE
We {z)' étant la solution en W du problème: portant élémentaire (pour lequel PEU A une constante: réelle:et F (z) une fonctiôn qui! reste fihie dans le domaine où est défihie W (z): Nous poserons le long de la coupure :
fe
ONE TONER AT NS RE 0 el 2 2
posons de même Ui (al = AU CET ES Re
G (Z)' étant la: valeur de U. (z) correspondant au. cas où W (z) =F QE
Nous désifnerons par pg (x) et g' (x) les parties réelles et imagihaires de
PEMÉONCLIONMONS)EMSUTElanCcOoupire,
Si'on: remarque que, le long de la coupure D £ va d'w dx 0x
on' voit que les relatidns de compatibilité permettent d'écrire 9 dE 8 Jp! x df A © w HERO de | a de 1 x2 dx 3
1) (x): étant la: fonction donnée par hypothèse;
déoù d
do 7e DL = B EE VE 2 77)
supposons que ne soit borné, on’ peut envisager le développement en série Le =
trifonométrique de dg'/d®@, sous la: forme
(IIL.40) Se To
Or, G (z)'peut être envisagé comme le potentiel d'une répartitiôn tourbillon: nairerporveerpar latcoupure (enibarticndierelatpanmtiemréelle dent AR esS Et ntnale surliare réelrenidehors de: larcoupure).
Considérons une répartitiôon: tourbillonnaire d'intensité g (pl'=2B Sin ® .
La valeur de dg'/d® sera identique à celle: écrite dans la: formule (III.40), si et Seulement si :
comme cela: résulte de calculs très simples, déjà effectués au numéro précédent.
On'en' déduit donc la valeur de g (@) corresbondant à dg'/dp, défini.pur La formule (III.4Q), par un‘ opérateur trigonométrioue dont Le calcul numérique ré-. sulte des considérations développées au numéro 2.3.3. du chapitre 2.
On: peut aussi simplement calculer. d'abord
dg æ (RSR TA) Te DR TMRGoS fi Le do HI A
par une intégrale de Poisson, et ensuite en déduire g (®)' par simple intégration ‘en remarquant que
RP MER CAIEPOURA A PA O0, P=Tr
e problème sera: donc entièrement résolu lorsque nous aurons calculé la: constan: te: A. On peut, comme précédemment, poser
() (z,)' étant une: fonction uniforme à l'intérieur de la couronne ES *) du plan: z, précédemment défihi,
P (Z,) a une:partie réelle nulle sur le cercle CHE de rayôn'1. Par conséquent la valeur moyenne ae R[$(2,))] sut le cercle (Yo) est nulle. On en déduit donc, comme au numéro précédent que
NT NN ARC ES DEEE Er
CETI 40) AB LToS ge
w étant connu, il est donc facile de calculer A + B log q. Tout revient donc au calcul de B. |
Or, sion décrit dans le plan #%, le lacet ane entourant la: coupure (-=M, M)
dans le sens direct, la: valeur imaginaire de F (Z) doit augmenter de -'2 T B, par défihition. Or
Mais 5 est connu | formute (IT. a) | s‘et-paer suite tie % GiTn:419)) B = — ——— dx T X U x —M
En: résumé, les. opératiôns à faire sont les suivantes
1) Caleul de g' (o):
AJ Citceul: de dg/dp; =par unefhtégrale de: Poisson: 3) Calcul de g (®@); par une ihtégratibn: de dg] do. Galeul, de B [fornute (TIE- 450 |.
5) Calcul: de Afformule (III.42) |.
Le résultat s'écrit HU, =TAUU. TOLE+r 57(0) fe) Û i , u, (®) représentant la valeur de vu, pour le problème élémentaire portant quand
ne = Je ;
Application : Cône parabolique portant
