GENERALITES

Du poiht de vue mathématique, il y a une différence essentiëlle entre le cas où le cône obstacle est entièrement intérieur à (['), et celui où, au contraire, i1 n'est pas entièrement ihtérieur. Si on se place dans le plan Z, la différence apparaît clairement. Alors que les mouvements étudiés au numéro 83.1. conduisaient à des problèmes de variable complexe, relatifs à une aîifre:annulaire, les problè-: mes qui: vont être étudiés maihtenant seront relatifs à des aîres simplement con-: nexes Ceci-simplifie considérablement l'étude, Il y a lieu de prévoir que nous n'aurons plus à utiliser la théorie des fonctiôns elliptiques, et dans l'étude numérique ou analogique des problèmes, nous éviterons les difficultés posées par la détermination de 1a: "constante d'ihtégration", pour la pression {voir N°3.2.

Mn NCtA.1. 1.4.)

sironvse place dans le Plan: Z;vles fonctions 7), Var Ne 7); eneSseron. plus identiquement nulles sur (Ce Nous allons montrer que les relatiôns de com-: patibilité prennent alors une forme particulièrement simple,

FRE 2 Z dV 212 dW III, 44): 7 = RARES : dz em dz 2 dz ?

et si. l'on remarque que sur ESS du. CALE Z ju = lee dz ONE

on-déduit des formules (III.44) les relations suivantes entre les parties réel-: LÉSU PAU, ur der US VS WU SOUPE

du “é du + du (III. 45) PU RD en Re nr d8 cos 6: dû: sin 0 d@:

La connaissance d'une fonction u, v ou w sur un arc de cercle de (C, ) en=: traîne (à une constante additive près) La connaissance des deux autres.

Il est facile d'étendre ce résultat au cas où U, V, W présentent certäihes

discontihuités., Soit A un'poiht de (C ):'d'argument on et NUPESe te QU'eMLe Mp'arer tietréelle dent (x) augmente de À w ne 0 passe de e, De + £, £ étant positif et arbitrairement petit. Soit (Y) (voir figure Fe Rose arc de cer: cle centré en: Az et ihtérieur à (Ce On'a l

Au | “A dz Ÿ az ) Mais : va | Here .

d2 dU e & : À uen | d az ;

Par conséquent, dans Le cäs où dU/d7, dV/dz; dW/d& ont en'A, un’ pôle simple, i1 suffit d'utiliser les relatidns de compatibilité, pour établir'les for:

mules

sil (III.48) HAMEU RS ne TU Conte w

cos 8 sih @

REMARQUE. -: Les formules que nous allons établir par la suite, seront démontrées dans le cas de figure où le cône obstacle se trouve en entièr dans la région:

x, > 0. Mais i1 suffit de: revenir aux généralités du numéro 1,2.2., pour recon-! naftre que les résultats obtenus seront valables dans des cas plus généraux, Dans cés conditions, on peut avoir, dans la région (A') (voir figure 2), des do-: maïhes empiétant l'un sur l'autre. Mais il n'y a:aucune difficulté car les rela: tions de compatibilité dans le plan (f, 0) formule (I.22) montrent que l'on connaft parfaitement les fonctions w, v, w, dans le plan (A') grêce aux conditions aux limites, On remarquera l'identité des formulesn(iTl, 45) er tre)

3°2.2.-' CONE DEBORDANT TOTALEMENT LE CONE DE MACH (ftgure 28).

Si onutilise JTenplan: 7%, le: problème revient à détermiher les trois fone2! Tone TOR) UMTS ET )Lodénmanièerezs ce due, V, lu," Sotént nuls sur Mesrancs TENCCTENESAA F5 A" A2 (voir. 18.46) et que w prenne des valeurs données, d'une part sur la li êne À AÂ' À,» d'autre/part sur. 1a.1ÿfne ATt- AA A!.Contrairement à ce qui se passait + le ‘problème précédent: les deux demi. esbaces, séparés par Le plan x. = ©, sont indépendants. l'un: de l'au-: tre: Du poiht de vue mathématique, il s'agit par exem-' ple de détermiher la solution dans un des demi: cer: cles détermihés dans (C,) par laCot Dire AENRASSAON Suit aumrinmaraucunetdistiactionthéoriouer entre le problème symétrique et le problème portant. On: pourra: naturellement opérer également dans le planz 11 Suranlien alors deldéterminers lamsolutionvdans un demi plan, le demi plan supérieur, par exemple, la fonctidn w = f (x) est supposée connue, le long d'un segment À KL, comprenant à son'ihtérieür le seg! ment -liirident'are réel, EI116e est nuile sur de res? te de l'axe réel.!lt!

(1) Voir Annexe n° 3