CHAPITRE IL

œNSIDËRÀTIONS SUR LES POLYÈDRES RÉGULIERS (*).

Plusieurs personnes, professeurs de Philosophie et autres, architectes et même géomètres, ayant demandé des explications au sujet des polyèdres réguliers constituant, en vertu d*un arrêté ou décret de Son Excellence le Président de la Géométrique, la base hugodécimale de la numération courante, on croit devoir donner ici un tableau des désignations des neuf polyèdres réguliers, dont les cinq premiers étaient connus et étudiés dès une antiquité très- reculée. L'auteur en a signalé divers modèles en bronze, en ivoire, etc., dans les musées du Louvre, de Lyon, de Rouen, etc. {Voiries Procès-Verbaux^ dans le Bulletin de la Société mathématique, 1. 1 à III.)

(*) Dans la séance du % août 1875, la théorie hugodécimale a été l'objet d'une communication faite par son auteur dans le premier groupe ( Président : M. le colonel Laussedat) du Congrès international de Géographie de Paris.

POLYÈDRES EÉGDLIBRS.

^ j I Tétraèdre. .

S I 2 Hexaèdre (ou Cube). 1

g ( 3 Octaèdre. i 7PoIyèdresàfacesnonéloilée8

3 J 4 Dodécaèdre ( pentagonal ). '

•« ( 5 Icosaèdre. 1

I Dodécaèdre de 3* espèce. i * Po»TMr«i de triMitioa, on étoiles à

- . J J - . J facMpoljgoDtletordlaalres.

a Icosaèdre de f espèce. \

^ . ^ yjj^^''' i*""'™) de 3* espèce. \ ^Poiyèdresàfacesétoilées. ^^ [ 4 Dodécaèdre de f espèce. j

On sait, depuis le moyen âge tout au moins {*), qu'il existe des polygones réguliers à périmètre simplement convexe et des polygones à périmètre étoile (tel que rbexagramme de Pascal ). De même» à la suite des anciens polyèdres convexes, se placent les quatre corps étoiles de Poiusot; on fera remarquer ici que deux de ces corps (un dodécaèdre de troisième espèce et un icosaèdre de septième espèce) sont en quelque sorte de transition, en ce que leurs faces (polygonales) ne sont pas des polygones étoiles^ mais de simples polygones ordinaires : c'est une deuxième position, soit du pentagone, soit du triangle dans l'espace, qui engendre ces corps de transition. On sait que ce qui détermine l'espèce d'un polyèdre supérieur, c'est le nombre de fois que la sphère inscrite se trouve recouverte. {Y oïr Géométrie deMM. Bouché et de Comberousse.)

Le dodécaèdre de transition est une figure élégante qui, de toutes parts, offre l'aspect d'un pentagone orné d'une grande étoile à cinq rayons, en applique; il a

(*) Foir le Mémoire du D*^ Sigism. Giinther, dans le Bulletin si intéressant du prince Boocompagni.

douze sommets dans l'espace. L'icosaëdre de transition a également douze sommets, que Ton peut mettre en co'incidence avec les précédents, dans les figures coinscrites. Quant aux deux autres corps étoiles (à faces polygonales étoilées elles-mêmes), ils présentent un rayonnement multiple qu'il est inutile d'analyser ici. L'étoile polyédrique à quatorze pointes, que l'on voit au sommet de quelques monuments, n'est pas un corps régulier, et ses rayons pyramidaux ne sont pas tous équivalents, comme c'est le cas dans les étoiles réguliers.