POLYÈDRES RÉGULIERS

I Tétraèdre.

^\ ^ Hexaèdre (ou Cube).

3 Octaèdre. f 7 Polyèdres à faces non éloilées

g i 4 Dodécaèdre (penta^^onal).

^ [ 5 Icosaèdre.

II Dodécaèdre de 3* espèce. \ » Po^I^re» de IraMltlon, oa étoiles à

,.,,.. I faces polygonales ordinaires.

2 Icosaèdre de 7* espèce. j

3 Dodécaèdre (autre) de 3' espèce. | ^pdyèdresà faces éloilées.

4 Dodécaèdre de 7* espèce.

On sait» depuis le moyen âge tout au moins (^), qu'il existe des polygones réguliers à périmètre simplement convexe et des polygones à périmètre étoile (tel que rhexagramme de Pascal ). De même, a la suite des anciens polyèdres convexes, se placent les quatre corps étoiles de Poinsot; on fera remarquer ici que deux de ces corps (un dodécaèdre de troisième espèce et un icosaèdre de septième espèce) sont en quelque sorte de transition, en ce que leurs faces (polygonales) ne sont pas des polygones étoiles j mais de simples polygones ordinaires : c'est une deuxième position, soit du pentagone, soit du triangle dans Tespace, qui engendre ces corps de transition. On sait que ce qui détermine Tespèce d'un polyèdre supérieur, c'est le nombre de fois que la sphère inscrite se trouve recouverte. {Y oiv Géométrie AeMM. Rouché et de Comberousse.)

Le dodécaèdre de transition est une figure élégante qui, de toutes parts, offre l'aspect d'un pentagone orné d'une grande étoile à cinq rayons, en applique; il a

('] Foir le Mémoire du D** Sigism. Gunther, dans le Bulletin si intéressant du prince Boncompagni.

douze sommets dans l'espace. L'icosaëdre de transition a également douze sommets, que Ton peut mettre en coïncidence avec les précédents, dans les figures coinscrites. Quant aux deux autres corps étoiles (à faces polygonales étoilées elles-mêmes), ils présentent un rayonnement multiple qu'il est inutile d'analyser ici. L'étoile polyédrique à quatorze pointes, que l'on voit au sommet de quelques monuments, n'est pas un corps régulier^ et ses rayons pyramidaux ne sont pas tous équivalents, comme c'est le cas dans les étoiles réguliers.