SUR LA GÉOMÉTRIE PAN-IMAGINAIRE

( Communication faite à la Société mathématique de France. )

En parcourant le beau travail de M. Camille Jordan sur la Géométrie à n dimensions, travail inséré dans le tome III du Bulletin de la Société, j'ai été conduit par des considérations philosophiques, sur lesquelles je reviendrai prochainement, à envisager aussi, par continuité,

l'espace à— dimensions.

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('] Le dodécaèdre" a douze rayons pyramidaux à section pentagonale, ce qui le rattache à Ticosaèdre de transition (mais plus simple). Le dodécaèdre'" a vingt rayons à section droite triangulaire.

C'est ce que je nomme la Géométrie pan- imaginaire ^ dont la Géométrie idéale à n (entier) dimensions fait partie à titre de réseau particulier.

Étrange! métaphysique étrange et qui s'impose : LE RÉEL EST UN ARCHIPEL SPORADOÏDE DANS L'OCÉAN DE L'IMAGINAIRE.

La pan-imaginaire se formulerait par un ensemble de définitions imaginaires devenant réelles pour \t% phases successives où /est divisible exactement par m.

Voir la Géométrie descriptis^ de W. SPOTTISWOODE 2iU\Comptes rendus du i5 novembre 1875 et suivants, et aussi les travaux de SOPHUS LIE dans les Gôttinger Nacknchten de Tannée 1871.

SUR L'ARITHMÉTIQUE PANIMAGINAIRE

ET SUB LA COaEESPONDANCE OU ÉQUIVALENCE PHILOSOPHIQUE DES fl COORDONNEES d'une part et de la base numérale a n CHIFFRES DE L* AUTRE.

Pour faire suite à ma récente Communication sur la Géométrie pan -imaginaire (ou à — dimensions), je demande la permission d'ajouter ici quelques considérations sur une doctrine connexe.

Depuis Fépoque où j'ai commencé k travailler en vue de donner pour base philosophique à notre numération (9 chiffres et le zéro) le groupe des 9 réguliers et de la sphère, je me suis occupé parfois aussi de la théorie des systèmes de numération.

Dans quelques opérations secondaires, et par suite des nécessités du calcul, j'ai été amené ybrcome/i^ à con-

sidérer» en cas général et par intercalation^ la base nu-

mérale — • m

Cette numération a — chiffres est ce que je nomme V Arithmétique pan-imaginaire^ qui ne devient réelle et possible que lorsque / est divisible par m et que— =^n

(entier), c'est-à-dire en phases récurrentes....

Ne recherchons pas exclusivement Tutilitarisme, dans la Science, sous peine de ne produire que des théories tronquées, des simili-doctrines inférieures, et imparfaites eu leur essence

Les aperçus qui précèdent me conduisent à dire qu'il y a analogie philosophique, ou correspondance et équivalence métaphysique, entre les systèmes géométriques à - coordonnées, destinés à mesurer Tespace, et les

systèmes numériques a base— ) destinés à mesurer les

quantités.

Ces systèmes purement imaginaires, en cas général, deviennent réels et applicables par l'introduction d'une

seule condition, qui, transformant — en n, crée par cela

même la vie, et anime tout notre ensemble systématisé, tant arithmétique que géométrique.

La poursuite et la recherche de \2i pan-continuité doivent être un des grands buts, une des principales nécessités, un des premiers objectifs de la Science.

Il convient surtout de ne pas négliger les côtés métaphysiques et supérieurs, les aspirations hautes de la Science^

Reconnaissons deux manières différentes d'envisager les Mathématiques.

On peut y voir un ensemble de procédés» plus ou moins industriels, en quelque sorte, et faisant valoir l'habileté ainsi que la patience admirable du spécialiste.

On peut y voir aussi une philosophie, c'est-à-dire un ensemble où tout se classe par familles, où les doctrines se groupent dans leur connexité naturelle, pour ainsi dire; où rien n'est laissé de côté, mais où chaque chose est mise dans son jour.

C'est pour suivre un système réellement philosophique que j'ai cru devoir, moi-même, proposer la doctrine de V Équidomoîde ou Hugodomoîde.

La figure ainsi nommée est reliée à la sphère par les liens les plus étroits, comme le prisme l'est au cylindre. Elle passe donc en première ligne, au point de vue philosophique, qu'il me soit permis de le répéter.

Je crois, d'ailleurs, qu'à côté du mérite des Applications, le point de vue philosophique a bien aussi sa valeur : on pourrait aussi considérer, en conséquence, une

Algèbre pan-imaginaire à — inconnues.