SUR LA THÉORIE VIBRATOIRE DE LA CHALEUR
1. Lorsqu^uD poinl matériel est animé d'un mouvement vibratoire rectiligne de part et d^autre d'un centre fi\e, la force qui sollicite à chaque instant le point matériel est proportionnelle à la distance au centre fixe (*).
Si Ton représente par m la masse du point matériel, par y Taccélération à Tunité de distance, par a Tamplitude de Toscillation, la valeur moyenne de la force qui sollicite le point matériel est
La durée / d'une oscillation a pour valeur
La vitesse maximum du point matériel a pour valeur
La demi-force vive maximum est
{m\]'—fa.
(') Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences, t. LXXX, p. ]o; 1875. — Bulletin delà Société philomathique, 7*scr., l. II, p. a '17; 1878.
5j6 note a.
La demi-force vive moyenne \mu* est la moitié de la demiforce vive maximum,
2. Si Ton considère la chaleur comme le résultat d^un mouvement vibratoire, on peut partager tous les points' matériels en trois groupes égaux, tels que les vibrations de ces trois groupes s^efTectuent d^une manière identique dans trois directions rectangulaires.
Considérons Fun de ces groupes. La demi-force vive moyenne du mouvement vibratoire qui constitue la chaleur est \mu*; la température absolue correspondante a une valeur T.
Supposons que le corps, dont le poids est supposé égal à Funité, éprouve une transformation élémentaire réversible, dans laquelle la température éprouve un accroissement infiniment petit dT.
La demi-force vive moyenne du mouvement vibratoire éprouve Taccroissement d{\mu*). En même temps Famplitude change; elle éprouve un accroissement e/a, et cet accroissement d^amplitude da correspond au travail /e/a.
L'accroissement de la demi-force vive moyenne du mouvement vibratoire, pour le corps tout entier, est égal à6f£ Jmu*, en étendant la somme à tous les points matériels en vibration, qui font partie du corps. L'accroissement de la chaleur réellement existante à Tintérieur du corps est égal au produit de cette quantité par l'équivalent calorifique du travail A.
Le travail élémentaire effectué par le corps est égal à ^/da, en étendant la somme à tous les points matériels. La somme des quantités de chaleur consommées en travail interne et en travail externe est égale au produit de cette quantité par l'équivalent calorifique du travail.
Si l'on imagine une transformation élémentaire, telle que
SUR LA THÉORIE VIBRATOIRE DE LA CHALEUR. Si'J
les points du corps éprouvent des déplacements insensibles, la transformation élémentaire est alors réversible et la quantité de chaleur, absorbée dans cette transformation élémentaire réversible, a pour expression
La chaleur de transformation élémentaire peut se mettre sous une autre forme.
Si Ton admet, comme on Ta dit dans le Chapitre XIX, que la chaleur réellement existante dépende uniquement de la température, la quantité Al|/raa* peut se représenter par une fonction de la température seule o(T),
A2jmM«=:o(T).
La force vive moyenne ma* est liée à la force /et à Tamplitude a par la relation
On déduit de là
ou encore
Al,/da — 2^{T) d\oga.
Lorsqu'un corps éprouve, en général, une transformation élémentaire réversible, la chaleur de transformation élémentaire peut se mettre finalement sous la forme
dQ =z do{T) -^ 2tf{T) d\oga.
3. Si Ton divise la chaleur absorbée dans chaque transformation élémentaire par la température absolue correspondante, la somme ainsi obtenue a une valeur nulle, pour tout C3'cle fermé réversible,
Cette propriété est Textension du théorème de Carnot, due à M. Clausius.
On a donc, pour tout cycle fermé et réversible, la relation
û^loffaiizo.
La fonction ç(T) dépend de la température seule; la première intégrale est nécessairement nulle,
•rf<p(T)
Cherchons la condition nécessaire pour que la seconde intégrale s'annule. Dans cette intégrale, la température absolue T et Pamplitude sont deux variables indépendantes.
Désignons par x ei y deux variables auxiliaires, définies par les relations
a7 = loga, 7=^^-
Supposons que ces deux variables x e\. y soient les coordonnées rectangulaires d'un point figuratif M {fig* 94)*
Fig. 9l.
Lorsque le corps parcourt un cycle fermé, le point figuratif M décrit une courbe fermée. L'aire comprise à l'intérieur de cette courbe représente la seconde intégrale,
dloga.
SCR LA THÉORIE YIBRATOIRB DE LA CHALBCR. Oig
Le cycle fermé est réversible; la seconde intégrale doit s^annuler; Taire comprise à l'intérieur de la courbe décrite par le point figuratif doit être nulle.
Si Ton désigne par y et y' les ordonnées des deux points M et M' qui ont une même abscisse x^ Taire de la courbe peut se représenter par
Les valeurs de y et de y* sont indépendantes de x. Pour que Taire de la courbe fermée s*annule, on doit avoir, d'une manière générale, quel que soit Xy
Si Ton désigne par T' la température absolue, qui correspond à Tordonnée y du point figuratif, on doit avoir la relation générale
Il en résulte que la fonction (p(T) est proportionnelle à la température absolue T. En désignant par K une quantité constante, on a la relation générale •
ç(T) ^- KT.
Ainsi, la chaleur réellement existante à r intérieur d'un corps est proportionnelle à la température absolue.
L^accroissement de la chaleur réellement existante est, par suite, proportionnel à Taccroissemeat de la température absolue
d9{T)^KdT.
La chaleur spécifique absolue, diaprés la définition qui a été donnée dans le Chapitre XIX, est le rapport de Taccroissement de la chaleur réellement existante à l'accroissement
OaO NOTE A.
de la température ou
La chaleur spécifique absolue est donc égale à la quantité constante K : la chaleur spécifique absolue est donc une quantité invariable. On retrouve ici une confirmation de cette propriété fondamentale, établie dans le Chapitre XIX, en admettant que la chaleur réellement existante à Tintérieur d^un corps dépende uniquement de la température.
k. La quantité de chaleur absorbée dans une transformation élémentaire réversible prend alors la forme simple
dQ = KdT-^2KTd\oga.
La somme des quantités de chaleur consommées en travail interne et externe a pour valeur
2K.T dloga.
La somme des travaux interne et externe, effectués dans une transformation élémentaire réversible, a pour expression générale, en appelant E l'équivalent mécanique de la chaleur,
é/G=:-aKTEû?loga.
Les quantités dG et dQ sont exprimées ici en fonction de deux variables indépendantes : la température absolue et Tarnplitude du mouvement \ibratoire.
5. On peut prendre pour variables indépendantes la température absolue et la durée de la vibration.
Si Ton élimine Taccélération à Tunité de distance y entre
SUR Là théorie vibratoire DE LA CHALEUR. 5a I
les deux premières équations relatives au mouvement vibratoire, on a
. .ma
On a d'ailleurs la relation
En éliminant / entre ces deux dernières équations, on w, pour expression de Tamplitiide,
I TvE \
On déduit de cette expression de Tamplitude
di I dT « 2 1
Le travail élémentaire dïB peut alors se mettre sous la forme
^cTzz.KEfc?T-f-2T
(^^T4-2tÇ')
La chaleur dQ absorbée dans une transformation élémentaire réversible, éprouvée par Tunité de poids d'un corps, se compose de deux parties :
i^ L'accroissement de la chaleur réellement existante à l'intérieur du corps, KdT\
2^ La chaleur consommée par le travail externe et le travail interne, AdG.
En remplaçant cette dernière quantité de chaleur par l'expression précédente, on obtient, pour expression de la chaleur de transformation élémentaire,
dQz=:2Kfl
=z:2K(rfT-hT^).
Si Ton considère la chaleur comme un mouvement vibratoire, l'état d'un corps est défini par la température T et par
Sas NOTE À. — SUR LÀ THÉORIE VIBRATOIRE, ETC.
la durée i d^une révolution du mouvement périodique qui constitue la chaleur. Lorsque le corps éprouve une transformation élémentaire réversible, la quantité de chaleur absorbée dans cette transformation est exprimée, par la formule précédente, en fonction de la chaleur spécifique absolue du corps, des deux variables T et /, et des variations dT et di qu'éprouvent ces deux variables dans la transformation élémentaire réversible.
Dans le cas particulier où une transformation réversible s^accomplit à une température constante, la quantité de chaleur absorbée dans cette transformation correspond à un accroissement de la période du mouvement vibratoire ou à un accroissement de Tamplitude de ce mouvement : à une même température, Tamplitude est proportionnelle à la période, d'après une formule précédente. La chaleur réellement existante reste la même dans ces transformations iso thermiques; la chaleur de transformation est consommée en travail externe et en travail interne : ce cas se présente dans les changements d'état physique, tels que la vaporisation et la fusion, lorsque ces changements d'état s'opèrent à une température invariable.
SUR Là RÉDCCTION DU TnÊORÈXE DE CÀRNOT. 5q3
