CHAPITIB TI. — LES GAZ PARFAITS

ix^noe de Tàme, sont représentés en somme par l'échaufTement de Tarme et par les résistances qu'opposent les rayures au mouvement du projectile. Si Ton admet que relTet des résistances passives soit beaucoup moins important que, refiel dû au réchauflfement de l'arme, on peut conclure de ce qui pi^écède, au moins comme première approximation, que, dans les conditions ordinaires du tir des canons, réchauflement de Tarme a peu d'influence sur la vitesse initiale.

U en est de même pour la pression maximum développée à rintérieur de la bouche à feu, soit sur la culasse, soit sur le projectile.

TRÀTfSFORMÀTlOIfS ISODYNAXIQUBS. l45

TRANSFORMATIONS ISODTNAMIQUES.

Ia>ï de Hiro. — Effets thermiques de la détente isodynamique. — Variation de la chaleur interne. — Conséquences ^e]ati^es à Téquivalent mécaDique de la chaleur.

Lorsqu^un gaz éprouve une détente adiabatique, le gaz ne reçoit pas de chaleur des corps environnants et ne cède pas de chaleur aux corps environnants : la transformation a lieu sans variation de chaleur; en même temps le gaz effectue un travail extérieur. Il est un autre mode de détente, qui s^effectue également sans variation de chaleur, mais sans que le gaz efiectue un travail externe.

Ce mode particulier de détente est réalisé lorsqu'un gaz, renfermé dans un récipient impénétrable à la chaleur, se détend dans le vide : c'est l'expérience imaginée par Gay-Lussac, reproduite ensuite par M. Joule et par Regnault (p. 119), en La Thermodynamique. 10

l46 CHAPITRE VU.

ajoutant de plus une condition particulière : le récipient esl supposé impénétrable à la chaleur. Ce mode particulier de détente, bien distinct de la détente adiabatique, est désigné, pour abréger, sous le nom de détente isodynamique,

M. Hirn a énoncé la loi suivante, relative à la détente isodynamique :

Lorsqu' une vapeur se détend sans variation de chaleur et sans effectuer de travail externe, le produit du volume de la vapeur par la pression est constant.

M. Hirn considère cette loi comme une approximation (*). M. Zeuner, qui partage cette opinion, a montré, par une discussion approfondie, Timportance que présente la loi énoncée par M. Hirn au point de vue de la théorie des machines à vapeur (*).

La loi de détente isodynamique est une conséquence de> formules qui servent à exprimer la chaleur absorbée par un corps dans une transformation élémentaire. La chaleur de transformation élémentaire se compose, en général, de deux parties : la chaleur consommée en travail externe et la variation de la chaleur interne. La détente isodynamique est caractérisée par cette double condition : la variation de chaleur est nulle; le corps n^efiectue pas de travail extérieur. En d'autres termes, dans la détente isodynamique, la variation de la chaleur interne est nulle.

La variation de la chaleur interne est égale à Texcès de la chaleur de transformation élémentaire sur la chaleur consommée en travail externe. La chaleur de transformation éléraen-

( ' ) Exposition anit/v tique et expérimentale de la théorie de la chaleur, t. I, p. '>«»î.

(-) Théorie mccanit/ue «/«• la chaleur, p. 1*9.

TRANSFORMATIONS ISODTNAMIQUES. l47

taire peut d'ailleurs s'exprimer de trois façons différentes, suivant que Ton prend pour variables indépendantes deux, des trois quantités suivantes : le volume, la pression et la température (*).

On peut donc envisager la détente isodynamique à trois points de vue différents.

Lorsque Ton prend pour variables indépendantes le volume vl la pression, le problème de la détente isodynamique est celui-ci :

Un gaz se détend sans variation de chaleur et sans'ef" fectuer de travail externe : déterminer la relation qui existe entre le volume spécifique du gaz et la pression.

Un calcul simple conduit à la relation suivante : le produit de la pression par une certaine puissance du volume spécifique e:)t une quantité constante.

Si Ton prend pour coordonnées le volume spécifique et la pression, cette dernière relation est Téquation de la courbe appelée isodynamique par Cazin. La puissance du volume spécifique considérée ici est le coefficient de détente isodynamique.

Dans le cas des gaz parfaits, le coefficient de détente isodynamique est égal à Tunité. La courbe isodynamique est rhyperbole équilatère qui représente la loi de Mariotle : il

( ' ) Annales de Chimie et de Physique, 5" série, t. VII, p. 3i8; 1876.

I48 CIAPITKI TH.

suîl de là qae la lempératare ne varie pas dans la détente isod^namîque. C*est le cas de Texpérience citée plus haut.

Le coefficient de détente isodj-namîque d'un gaz ou d'une vapeur s^exprime simplement en fonction de la chaleur spécifique sous pression constante, de la chaleur spécifique sous volume constant, du coefficient de dilatation sous pression constante et du coefficient de dilatation sous volume constant.

Dans le cas des gaz difficilement liquéfiables, le coefficient de détente isodynamique est très voisin de T unité. Il est plus difficile de se prononcer sur la valeur de ce coefficient dans le cas des vapeurs, en général, faute de données expérimentales sufGsantes.

Un calcul approché donne, pour le coefficient de délente isodynamique de la vapeur d'eau surchauffée à aoo degrés sous la pression de Talmosphère, le nombre i,oi5, qui est très voisin de Tunité.

Dans tous les cas, le coefficient de détente isodynamique s'exprime, comme le coefficient de détente adiabatique, en fonction des deux chaleurs spécifiques et des deux coefficients de dilatation. Il existe une relation simple entre ces deux coefficients de détente.

Pour une même variation infiniment petite de volume, les variations de pression correspondantes, dans les deux mode^ de détente sans variation de chaleur, sont proportionnelles aux coefficients de délente respectifs.

Lorsque les deux chaleurs spécifiques d'un gaz peuvent être considérées comme invariables entre certaines limites, lorsque les deux coefficients de dilatation du gaz peuvent également être considérés comme invariables entre les mêmes limites, le coefficient de délente îsod3'namique est alors invariable dans ces limites. La courbe de détente isodynamique est alors une * branche d'hyperbole équilalère; Tune des asymptotes est Taxe des volumes ; l'autre asymptote est une parallèle à l'axe des

TBAMSPOIXàTIONS ISODTNàMIQUBS. 1^9

pressions, située à une distance de cet a\e d^autant plus petite que la dilatation du gaz se rapproche davantage de la dilatalion des gaz parfaits (').

Les gaz parfaits, qui éprouvent la détente isodj'namique, suivent la loi de Hirn et ne se refroidissent pas. Il est intéressant de savoir si un gaz peut suivre la loi de Hirn et peut (éprouver en même temps un refroidissement.

Lorsque Ton prend pour variables indépendantes le volume spécifique et la température, le problème de la délente isodynamique est celui-ci :

Un gaz se détend sans variation de chaleur et sans effectuer de travail externe : déterminer la relation qui existe entre le volume spécifique et la température du gaz.

Cd calcul simple conduit au résultat suivant : un gaz soumis à la détente isodjnamique se refroidit, lorsque le coefficient de dilatation du gaz sous volume constant est supérieur au coefficient de dilatation des gaz parfaits.

Si Ton admet de plus que le coefficient de dilatation du gaz MUS pression constante soit supérieur au coefficient de dilatation des gaz parfaits, le coefficient de détente isodynamique peut être supérieur, égal ou inférieur à Tunité, suivant la nature du gaz. Dans tous les cas, le gaz se refroidit par la détente sans variation de chaleur et sans travail externe. '

Lorsque le gaz effectue un travail externe en se détendant sans variation de chaleur, le refroidissement du gaz correspond à la chaleur consommée à la fois par le travail externe et par le travail interne. Au contraire, lorsque le gaz se dé-

(') Bulletin de la Société Philomathique, 7* s^rie, t. II, p. 17 ; 1877

l5o CHAPITRE ?II.

tend sans variation de chaleur et sans effectuer de travail ex^terne, le refroidissement du gaz représente la chaleur consommée par le travail interne seul. Dans ces deux modes de détente, le travail interne consomme une très petite quantité de chaleur, lorsqu'il s'agit de gaz difficilement liquéfiables.

Lorsque Ton prend pour variables la pression et la température du gaz, le problème de la détente isodynamique est celui-ci :

Un gaz se détend sans variation de chaleur et sans e/fectuer de travail externe : déterminer la relation qui existe entre la pression et la température du gaz.

Ce problème peut se traiter directement, comme les précédents; on peut également déduire la solution de ce problème des solutions obtenues pour les deux problèmes qui précèdent. Les résultats sont analogues à ceux qui ont été indiqués déjà à propos des problèmes précédents.

La loi de Hirn correspond à une expression très simple de la variation de la chaleur interne.

Lorsqu'un gaz suit la loi de Ilirn, la variation de la chaleur interne est proportionnelle à la variation qu'éprouve le produit obtenu en multipliant la pression par le volume du gaz. Cette propriété est indépendante de la nature de la transformation éprouvée par le gaz.

TKANSFORMATIONS ISODTNÀKIQUBS. lOI

Cette proposition est réciproque. Lorsque la variation de la chaleur interne est proportionnelle à Taccroissement qu^éprouve le produit de la pression par le volume, quelle que soit la nature de la transformation éprouvée par le gaz, le gaz suit la loi de Hirn.

11 n'est pas nécessaire, d^ailleurs, que la variation de la chaleur interne soit proportionnelle à l'accroissement qu^éprouve le produit de la pression par le volume dans toute transformation élémentaire, pour que la loi de Uirn soit applicable; il suffit que cette condition soit remplie pour deux transformations différentes, prises d'ailleurs arbitrairement.

Ainsi, lorsque Taccroissement delà chaleur interne est proportionnel à Faccroissement qu'éprouve le produit de la pression par le volume, lorsque le gaz se dilate sous pression constante et sous volume constant, cette propriété subsiste pour toute autre transformation éprouvée par le gaz : le gaz suit alors la loi de Hirn.

La quantité constante par laquelle il faut multiplier l'accroissement du produit de la pression par le volume pour obtenir l'accroissement de la chaleur interne, lorsqu'un gaz suit la loi de Hirn, a une expression fort simple. Cette quantité constante est une fraction ayant pour numérateur l'équivalent calorifique du travail, et pour dénominateur l'excès du coefficient de détente adiabatique par rapport à l'unité.

Lorsque le coefficient de détente adiabatique est constant, entre certaines limites, la quantité constante dont il s^agit a une valeur invariable entre les mêmes limites : dans ce cas, lexpression que l'on vient d'indiquer pour la variation de la chaleur interne s'applique à toute transformation arbitraire opérée entre ces limites.

Id2 CaAriTBE Tll.

Les résultais que Von vient d'indiquer permetlent d^exaoiiner de plu> pivs rexpèrîence fondamentale que Ton invoque pour démontrer rab>ence de travail intérieur dans les gaz.

Un gaz se détend dans le vide: on n^observe pas de refroidissement. Faut-il attribuer ce résultat à Tabsence de travail intérieur dans le caz ou à un défaut de sensibilité de la méthode calorimétrique employée pour mettre en évidence la variation de température qui peut résulter de la détente isodynamique du gaz?

Diaprés ce que Ton vient de voir, un gaz soumis à la détente isodynamique se refroidit lorsque le coefficient de dilatation du gaz sous volume constant est supérieur au coefficient de dilatation des gaz parfaits. Cette propriété peut même s*énoncer sous une forme plus générale.

Si Ton suppose que le coefficient de dilatation d^un gaz sous volume constant soit inférieur au coefficient de dilatation des gaz parfaits, le gaz se réchauffe à la suite de la détente isodynamique. Il ne s'agit pas ici de savoir s'il existe des gaz qui réalisent ces conditions; sous toutes réserves, on peut énoncer la proposition générale suivante :

Un gaz éprouve une variation de température à la suite de la détente isodynamique, lorsque le coefficient de dila* tation du gaz sous volume constant diffère du coefficient de dilatation des gaz parfaits.

Or il résulte des expériences de Regnault que le coefficient

TKAKSFORMATIOIIS ISODTIf ÀMIQUBS. l53

de dilatation sous volume constant varie d^un gaz à Tautre; il faut donc conclure que, de tous les gaz dont la dilatation sous volume constant a été observée par Regnault, un seul gaz, au plus, peut être dépourvu de travail intérieur. Pour tous les autres gaz, la détente isodynamique doit entraîner une varialion de température.

On peut donc être certain que le travail intérieur existe, en «général, dans tous les gaz que nous connaissons : un seul de ces gaz, au plus, peut être dépourvu de travail intérieur. Cette conclusion est d^ailleurs conforme aux expériences de MM. W. Thomson et Joule. Le travail intérieur existe d^une manière générale; il est très faible dans tous les gaz difficilement liquéfia))les; il ne peut être rigoureusement nul que dans le cas d'un seul gaz.

Si Texpérience ne permet pas d'affirmer, d'une manière ri- :;oureuse, l'absence de travail intérieur, il est certain, tout au moins, que le travail intérieur est très faible dans les gaz tels que Pair ou l'hydrogène, qui éprouvent un refroidissement très faible par détente isodynamique. Les coefficients de dilatation sous volume constant de ces gaz difierent à peine : ces coefficients permettent de fixer, au moins d'une manière approchée, le coefficient de dilatation des gaz parfaits. L'échelle àe% températures absolues est ainsi déterminée avec une approximation suffisante.

Le coefficient de dilatation des gaz parfaits et l'équivalent mécanique de la chaleur sont deux constantes fondamentales dans 4a théorie de la chaleur. La valeur de l'équivalent mécanique de la chaleur peut se déterminer, comme on l'a vu, au moyen de diverses expériences, qui donnent des nombres sensiblement concordants; mais, comme il existe toujours de petites différences entre les résultats d'expériences

l54 CHAPITRE Vil. — TRANSFORMATIONS, ETC.

diverses, il peut devenir utile de discuter le principe même des méthodes qui ont été employées pour déterminer Téquivalent mécanique de la chaleur.

La méthode indiquée par Mayer pour déterminer Téquivalent mécanique de la chaleur, au moyen des deux chaleurs spécifiques d^un gaz, suppose que la chaleur consommée par le travail intérieur soit négligeable. Cette méthode conduit à des valeurs sensiblement concordantes pour les gaz difficilement liquéfiables, Pair ou Thydrogéne; appliquée aux gaz facilement liquéfiables, à Tacide carbonique, la méthode doone des valeurs trop faibles de l'équivalent mécanique de la chaleur. Cela tient évidemment à ce que dans les gaz facilement liquéfiables le travail intérieur est beaucoup plus grand que dans les gaz permanents; on peut se demander quelle est Tinfluence de ce travail intérieur, supposé même très faible, dans le cas des gaz permanents.

Uétude de la détente isodynamique des gaz conduit à cette conclusion : lorsque le gaz se refroidit par détente isodynamique ou, ce qui revient au même, lorsque le coefficient de dilatation du gaz sous volume constant est supérieur au coefficient de dilatation des gaz parfaits, la relation entre les deux chaleurs spécifiques d'un gaz conduit à une valeur trop faible de l'équivalent mécanique de la chaleur.

Si Ton admet, par conséquent, que le coefficient de dilatation des gaz parfaits doive être inférieur au coefficient de dilatation sous volume constant des gaz observés, il faut conclure que la valeur déduite, pour l'équivalent mécanique de la chaleur, de la relation entre les deux chaleurs spécifiques d'un gaz, doit être considérée comme une limite inférieure de la valeur exacte de l'équivalent mécanique de la chaleur.

THÉORÈME DB GARIIOT.

THÊORfiME DE GARNOT.

Cycle de Carnot : coefficient économique. — Théorème de Carnet. — Extension aux cycles fermés réversibles. — Coefficient économique maximam. — Rendement spécifique des machines.

Sadi Carnot a imaginé un cycle particulier, formé par deux

Fig. 3o.

lignes isothermiques et par deux lignes adiabatiques. Les lignes AB, CD {fig. 3o) représentent deux lignes îso-

l56 CHAPITRE VIII.

thermiques; les deux lignes AD et BC représentent deux lignes adiabatiques.

Jusqu'à présent, il a été question des transformations que peuvent éprouver les gaz, soit à température constante, soit sans variation de chaleur; les corps solides et liquides peuvent également éprouver des transformations analogues.

Si Ton considère un corps quelconque, à un état déterminé, parmi les transformations innombrables que Ton peut imaginer, deux transformations offrent un intérêt particulier : la transformation isolhermique et la transformation adiabatique. Un état du corps étant représenté par la position A du point figuratif, il y a toujours une ligne isothermique AB et une ligne adiabatique AD.

La température est constante dans toute Tétendue de la ligne isothermique AB : cette température est la température la plus élevée que Ton puisse rencontrer dans le cycle. La température est également constante dans toute IVtendue de la ligne isolhermique DC : cette température est la température la plus basse que Ton puisse rencontrer dans le cycle.

Les lignes isolhermiques et les lignes adiabatiques représentent des opérations réversibles : le cycle de Carnot est, par conséquent, réversible. Examinons d'abord la suite des opérations lorsque le point figuratif décrit le cycle dans un sens ou dans Tautre sens.

Lorsque le point figuratif se meut dans le sens ABCD, le cycle comprend les quatre opérations suivantes :

1^ Dans le trajet AB le corps augmente de volume en même temps que la pression diminue.

Le corps, en effectuant cette transformation isothermique, absorbe de la chaleur. Pour réaliser cette opération, il suffit

THÉORÈME PB GÀRIIOT. iSj

de supposer que le corps reçoive de la chaleur d^une source à la température constante que possède le corps dans la transformation isothermique : celte source, pour abréger, sera désignée sous le nom àe foyer.

a* Dans le trajet BC, le corps se détend sans variation de chaleur.

3® Dans le trajet CD, le corps diminue de volume en même temps que la pression augmente.

Le corps, en effectuant cette transformation isothermique, abandonne de la chaleur. Pour réaliser cette opération, il dufGt de supposer que le corps cède de la chaleur à une source, à la température constante que possède le corps dans la transformation isothermique : cette source, pour abréger, sera désignée sous le nom de réfrigérant,

4* Dans le trajet DA, le corps est comprimé sans variation de chaleur.

Dans la première opération, le corps reste en équilibre de température avec le foyer et reçoit du foyer une quantité de chaleur Q. Dans la troisième opération, le corps reste en équilibre de température avec le réfrigérant et abandonne au réfrigérant une quantité de chaleur Q'.

Le cycle est fermé. La différence entre les quantités de chaleur Q et Q' est la quantité de chaleur employée à produire un travail extérieur représenté par Taire du cycle ABGD.

Lorsque le point figuratif se meut dans le sens ABCD, il y a production de travail externe; le cycle de Carnot peut être considéré comme le cycle d^une machine destinée à produire du travail. Pour abréger, on dira que le point figuratif se meut dans le sens direct, lorsqu'il y a production de travail extérieur.

Lorsque le point figuratif se meut dans le sens ADCB ou

l58 CHAPITRE VIII.

dans le sens inversCy le cycle comprend les quatre opérations suivantes :

i^ Le corps se détend sans variation de chaleur en suivant la ligne AD.

1^ Le corps augmente de volume à température constante en suivant la ligne DC.

Pour réaliser cette opération, il suffît de supposer que le corps emprunte à la source, que nous avons appelée le réfrigérant dans le cycle précédent, une quantité de chaleur Q'.

3° Le corps est comprimé sans variation de chaleur en suivant la ligne CB.

4^ Le corps diminue de volume à température constante en suivant la ligne BA.

Pour réaliser cette opération, il suffit de supposer que le corps abandonne à la source, que nous avons appelée \e foyer dans le cycle précédent, une quantité de chaleur Q.

Le cycle est fermé. Le travail extérieur, représenté par l'aire du cycle ABCD, a été appliqué au corps et employé à produire une quantité de chaleur égale à Texcès de la quantité de chaleur Q sur la quantité de chaleur Q'.

Une machine fonctionnant suivant le cycle de Carnot, en sens direct, produit du travail. La chaleur consommée en travail est Texcès de la chaleur Q prise au foyer sur la chaleur Q' cédée au réfrigérant. Le coefficient économique de cette machine ou le coefficient économique du cycle de Carnot est égal au rapport de la quantité de chaleur consommée en travail à la quantité de chaleur prise au foyer.

TBÊORfcME DB CàKNOT. 169

Le CTcl« de Caniol possède une propriété remarquable qui constilne le TmtomÈstM, de Caixot :

Le coefficient économique du cycle de Carnot, entre les mêmes limites de température, est indépendant de la /t<i« tare du corps qui parcourt le cycle.

Les limites de température du cvcle de Carnet sont données par la température du fojer et par la température du réfri'* ^^rant. Deux cvcles de Carnot fonctionnent entre los mémos liiniles de température, lorsque la température du fovcr est la même dans les deux cycles, lorsque la température du réfrigérant est la même dans les deux cycles.

Le théorème de Carnot consiste en ceci : lorsque deux corps quelconques fonctionnent suivant des cycles de Carnot entre les mêmes limites de température, le coefficient économique e^l le même pour les deux cycles.

Dans toutes les machines où Ton emploie la chaleur pour produire du travail, le corps, qui sert d'agent, emprunte de la chaleur à un foyer et transporte une partie de celle chaleur à un réfrigérant; la différence qui e\isle entre ces deux quantilés de chaleur a pour équivalent le travail effeclué. Celte propriété se présente comme une conséquence nécessaire, lorsque le corps parcourt un cycle fermé réversible.

Considérons, par exemple, une transformation isolhermique AB (Jig- 3o). Lorsque le point figuratif décrit la lifçne isothermique AB, le corps absorbe de la chaleur et effectue un travail, représenté par Taire du trapèze compris entre In hgne isolhermique AB, les ordonnées de deux points A el H et Taxe des volumes. Si le corps revient ensuite à Tétai initial en conservant la même température, le point figuratif dé-

l6o CHAPITRE VIII.

crit la ligne BA, et, lorsque le cycle est fermé, le travail etfeclué est nul. Un corps ne peut efTecluer de travail lorsque le corps, maintenu à une température constante, parcourt un cycle fermé.

Lorsque le corps a parcouru la ligne isothermîque AB, il est nécessaire, pour fermer le cycle et pour produire en même temps du travail, que le point figuratif s^abaisse au-dessous de la ligne AB : cela exige que la température du corps s'abaisse. Le cycle ne peut être fermé par deux lignes adiabatiques : une partie de chaleur empruntée au foyer est cédée à des corps qui ont une température inférieure à celle du foyer.

Si Ton admet, d'une manière générale, que tout système, partant d'un état initial donné et revenant à cet état initial, transporte nécessairement, pour produire du travail, une partie de la chaleur du foyer à des corps ayant une température plus basse, le théorème de Carnot se présente comme une conséquence de ce principe général.

Considérons un premier corps qui parcourt le cycle de Carnot en sens direct. Ce corps emprunte au foyer la quantité de chaleur Q et cède au réfrigérant la quantité de chaleur Q' : le travail © effectué par le corps est produit par la différence des quantités de chaleur Q et Q'.

Considérons un second corps qui parcourt également un cycle de Carnot entre les mêmes limites de température et en sens direct. Ce corps emprunte au foyer la quantité de chaleur Q, et cède au réfrigérant la quantité de chaleur Q' : le travail ^i effectué par ce corps est produit par la difTérence des quantités de chaleur Q, et Q'^.

Les quantités de chaleur Q' et Q\, cédées respectivement au réfrigérant par les deux corps, peuvent être égales entre elles ou inégales. Il y a deux cas à considérer.

THÉORÈME DB CARMOT. l6l

1** Les quantités de chaleur cédées au réfrigérant Q' et Q', sont égales.

Admettons que la quantité de chaleur Q empruntée par le premier corps au foyer soit supérieure à la quantité de chaleur Qi empruntée au foyer par le second corps : dans cette h^-pothèse, le travail G effectué par le premier corps est supérieur au travail 6t effectué par le second corps.

Faisons marcher le premier corps dans le sens direct : il y a production du travail G et transport de la quantité de chaleur Q' du foyer au réfrigérant.

Faisons marcher le second corps dans le sens inverse : le travail ^i est dépensé et la quantité de chaleur Q\ ou Q' est transportée du réfrigérant au foyer.

Supposons maintenant les deux corps accouplés, de manière que les deux opérations précédentes aient lieu successivement. L^état final du système est alors identique à Télat initial du système, et un travail égal à la différence des travaux 6 et (ûi est produit sans transport de chaleur.

Cette hypothèse est inadmissible. La chaleur transportée du foyer au réfrigérant est nulle; le travail produit est nul : la différence des travaux G et Gi est nulle. Les quantités de chaleur Q et Qi sont égales; les coefficients économiques ont la même valeur dans les deux cycles.

a* Les quantités de chaleur cédées au réfrigérant Q' et Q\ sont inégales.

Supposons, par exemple, que la quantité de chaleur Q' soit ^gHJe au double de la quantité de chaleur Q\,

Considérons le cycle ABCD (Jig. 3i) parcouru par le premier corps. Ce corps, se mouvant en sens direct, cède au ré- ^ngérant, dans le trajet CD, la quantité de chaleur Q' ou 2Q\. ^itC le point de la ligne isothermique CD, tel que la quan* *»lé de chaleur cédée au réfrigérant dans le trajet CC soit ^gale à la moitié de Q' ou à Q',. La quantité de chaleur cédée La Thermodynamique, ii

par le corps au réfrigérant dans le trajet CD est aussi égale à la quantité de chaleur Q\.

Menons par le point C la ligne adiabatique C'B', qui partage le cycle de Carnot en deux autres. Le cycle de Carnot ABCD équivaut à deux filtres cycles de Carnot AB'C'D et B'BCC : la ligne B'C est parcourue successivement deux fois; la première fois dans un sens, la seconde fois en sens contraire.

Les quantités de chaleur cédées au réfrigérant dans les deux trajets CC et CD sont égales. D'après ce que Ton vient de démontrer, les deux cycles AB'CD, B'BCC ont le même coefficient économique : les quantités de chaleur empruntées au foyer dans les deux trajets AB' el B'B sont égales. Le coef-

Fig. 3i.

ficient économique du cycle de Carnot ABCD est égal au coefficient économique de l'un des cycles AB'CD, B'BCC qui le composent.

D'après ce que Ton vient de démontrer, le coefficient économique a la même valeur dans le cycle AB'CD parcouru par le premier corps et dans le cycle parcouru par le second corps. Par suite, le coefficient économique a la même valeur dans le cycle ABCD parcouru par le premier corps et dans le cycle parcouru par le second corps.

Lorsque les quantités de chaleur cédées au réfrigérant Q' et Q\ sont entre elles dans un rapport quelconque, la démonstration du théorème de Carnot s'achève de la même manière,

THÉORÈMB DB GARNOT. l63

en suivant les procédés de démonstration de la Géométrie élémentaire.

M. Clausius a donné une démonstratio'frMu théorème de Carnot (*), en prenant pour point de départ le principe suivant, comme une loi déduite de Tobservation :

La chaleur ne peut passer d'elle-même d'un corps froid sur un corps chaud.

Supposons que les deux corps précédents fonctionnent en sens direct, entre les mêmes limites de température, suivant des cycles de Carnot ABCD et AiBiC|Di; supposons que ces deux corps produisent des travaux, égaux tB et ^i et transportent des quantités inégales de chaleur, Q' et Q', , du foyer au réfrigérant.

Supposons, pour fixer les idées, que la quantité de chaleur O' transportée par le premier corps soit inférieure à la quantité de chaleur Q\ transportée par le second corps.

Faisons marcher le premier corps dans le sens direct : il y a production du travail G et transport de la quantité de chaleur Q' du foyer au réfrigérant.

Faisons marcher le second corps dans le sens inverse : le travail ^ est dépensé et la quantité de chaleur Q\ est transportée du réfrigérant au foyer.

Supposons maintenant les deux corps accouplés, de manière que les deux opérations précédentes aient lieu successivement. L'état final du système est alors identique à Tétat initial : sans ()u'il y ait dépense de travail, une quantité de chaleur égale à la différence des quantités de chaleur Q\ et Q' a passé d^elle-

(*) Théorie mécanique de la chaleur, t. I, p. 53 (i85o), p. 187 et 3 lo.

164 CBAPITIB Tlll.

même du réfrigérant au fover, d'un corps froid sur un corps chaud ; cela est en contradiction avec le principe énoncé.

Les deui. quantités de chaleur Q' et Q\ sont donc égales. D'ailleurs, les travaux 6 et Ç, sont égaux; les quantités de chaleur Q etQ' empruntées au fover dans les deux cycles sont égales : les coeffîcienls économiques des deux cycles sont égaux.

On a supposé que les deux corps produisaient le même travail. Lorsque les deux corps fonctionnant en sens direct, entre les mêmes limites de température suivant des cycles de Carnot, produisent des travaux inégaux ^ et Çj, la démonstration se ramène immédiatement au cas précédent en suivant les procédés ordinaires de la Géométrie élémentaire.

Le coefficient économique du cycle de Carnot est indépendant de la nature du corps qui parcourt le cycle; il dépend seulement des limites de température. Pour calculer ce coefficient économique, on peut prendre un corps quelconque : prenons un gaz parfait.

La quantité de chaleur Q empruntée au foyer est la quantité de chaleur absorbée par le gaz dans une transformation isothermique. Cette quantité de chaleur est égale à la chaleur consommée par le travail externe dans un trajet tel que A.B. Le gaz suit la loi de Mariotte; la chaleur consommée en travail externe est facile à calculer.

11 en est de même pour la quantité de chaleur Q' cédée par le gaz au réfrigérant dans le trajet isothermique CD. Cette

THÉOMÈMB DB CAMNOT. l65

({uanûté de chaleur est égale à la chaleur consommée en travail externe dans le trajet inverse DC.

La loi de détente adiabatique est la loi de Laplace.

On a donc, dans le cas des gaz parfaits, tous les éléments nécessaires pour effectuer le calcul du coefficient économique.

En effectuant le calcul, on trouve la relation suivante :

La quantité de chaleur empruntée au foyer et la quantité de chaleur cédée au réfrigérant sont proportionnelles aux températures absolues du foyer et du réfrigérant.

Si Ton appelle T la température absolue du foyer, T' la température absolue du réfrigérant, le coefficient économique du cycle de Carnot est égal au quotient obtenu, en divisant la différence des températures T et T' du foyer et du réfrigérant par la température T du foyer.

Le coefficient économique du cycle de Carnot est égal au quotient obtenu en divisant la différence des températures du foyer et du réfrigérant par la température absolue du foyer.

Le quotient obtenu en divisant la quantité de chaleur empruntée au foyer par la température absolue du foyer est égal au quotient obtenu en divisant la quantité de chaleur cédée au réfrigérant par la température absolue du réfrigérant. Si Ton compte positivement les quantités de chaleur absorbées par le corps, et négativement les quantités de chaleur abandonnées par le corps, le théorème de Carnot peut s*énoncer de la manière suivante :

Si Von divise les quantités de chaleur empruntées aux sources par la température absolue des sources, la somme algébrique des quotients ainsi obtenus est nulle.

M. Clausius a montré que cette relation peut s'étendre à tout cycle fermé réversible (').

Considérons un cycle fermé réversible {fig. 3a). Menons

Fig. 33.

des lignes adiabatiques infiniment voisines AB, A'B'. Le cycle donné est alors partagé en une infînité de cycles élémentaires fermés et réversibles, tels que AA'B'B.

Menons par le point A la ligne isothermique AC; menons par le point B' la ligne isothermîque B'D. Le cycle élémentaire AA'B'B se décompose en trois autres cycles : un cycle de Carnot ACB'D et deux cycles AA'C, B'DB.

Le cycle de Carnot ACB'D a des dimensions finies dans la direction des lignes adiabatiques et des dimensions infiniment petites dans la direction des lignes isothermiques. Les deux, autres cycles AA'C, BB'D ont des dimensions infiniment petites en tous sens.

(') Théorie mécanique de la chaleur, t. I, p. i3o; i85{.

THÉORÈME DB GAnNOT. 167

Appelons, pour abréger, élément de transformation le quotient obtenu en divisant la chaleur absorbée par un corps, dans une transformation élémentaire, par la température absolue correspondante; convenons, en outre, de compter positivement les éléments de transformation qui correspondent à des quantités de chaleur absorbées, et négativement les éléments de transformation qui correspondent à des quantités de chaleur abandonnées par le corps.

Dans le cycle de Carnot ACB'D, le corps absorbe de la chaleur dans le trajet AC et abandonne de la chaleur dans le trajet B'D : la somme algébrique des éléments de transformation est nulle.

D'ailleurs, la quantité de chaleur absorbée par le corps dans la transformation élémentaire AA' peut être remplacée, à un inûniment près (p. 117), par la chaleur que le corps absorbe dans la transformation élémentaire AC. L^élément de transformation relatif ai\ trajet AC est égal, à un infiniment prés, àTélément de transformation relatif au trajet AA'.

On peut remplacer de même la quantité de chaleur qu^abandonne le corps dans la transformation B'B par la chaleur qu'abandonne le corps dans la transformation B'D. On peut remplacer Télément de transformation relatif au trajet B'D par l'élément de transformation relatif au trajet B'B.

D'après cela, dans le cycle AA'B'B la somme algébrique des éléments de transformation est nulle.

Le même raisonnement s'applique à tous les cycles analogues. On arrive ainsi à cette relation générale :

Dans tout cycle fermé réversible ^ la somme algébrique des éléments de transformation est nulle.

Cette relation générale, due à M. Clausius, est l'extension du théorème de Carnot à tout cycle fermé et réversible.

l58 CHAPITRE VIII.

dans le sens inverse, le cycle comprend les quatre opérations suivantes :

i^ Le corps se détend sans variation de chaleur en suivant la ligne AD.

2^ Le corps augmente de volume à température constante en suivant la ligne DC.

Pour réaliser cette opération, il suffit de supposer que le corps emprunte à la source, que nous avons appelée le réfrigérant dans le cycle précédent, une quantité de chaleur Q'.

3^ Le corps est comprimé sans variation de chaleur en suivant la ligne CB.

4^ Le corps diminue de volume à température constante en suivant la ligne BA.

Pour réaliser celte opération, il suffit de supposer que le corps abandonne à la source, que nous avons appelée le/oyer dans le cycle précédent, une quantité de chaleur Q.

Une machine fonctionnant suivant le cycle de Carnot, en sens direct, produit du travail. La chaleur consommée en travail est l'excès de la chaleur Q prise au foyer sur la chaleur Q' cédée au réfrigérant. Le coefficient économique de celte machine ou le coefficient économique du cycle de Carnot est égal au rapport de la quantité de chaleur consommée en travail à la quantité de chaleur prise au foyer.

THÉORÈHB DB CABNOT. iSq

Le cycle de Carnot possède une propriété remarquable qui constitue le TBfiORfexB db Carnot :

Le coefficient économique du cycle de Carnot, entre les mêmes limites de température, est indépendant de la na~ tare du corps qui parcourt le cycle.

Les limites de température du cycle de Carnot sont données par la température du foyer et par la température du réfri- <;érant. Deux cycles de Carnot fonctionnent entre les mêmes limites de température, lorsque la température du foyer est la même dans les deux cycles, lorsque la température du réfrigérant est la même dans les deux cycles.

Le théorème de Carnot consiste en ceci : lorsque deux corps quelconques fonctionnent suivant des cycles de Carnot entre 1e^ mêmes limites de température, le coeffîcient économique e«^l le même pour les deux cycles.

Dans toutes les machines où Ton emploie la chaleur pour produire du travail, le corps, qui sert d^agent, emprunte de la chaleur à un foyer et transporte une partie de cette chaleur à un réfrigérant; la différence qui existe entre ces deux quantités de chaleur a pour équivalent le travail effectué. Cette propriété se présente comme une conséquence nécessaire, lorsque le corps parcourt un cycle fermé réversible.

Considérons, par exemple, une transformation isothermique AB (fig- 3o). Lorsque le point figuratif décrit la ligne isothermique AB, le corps absorbe de la chaleur et effectue un travail, représenté par Taire du trapèze compris entre la ligne isothermique AB, les ordonnées de deux points A et B et Taxe des volumes. Si le corps revient ensuite à Tétat initial en conservant la même température, le point figuratif dé-

l6o CHAPITRE VIII.

crit la ligne BA, et, lorsque le cycle est fermé, le travail etfectué est nul. Un corps ne peut eiïectuer de travail lorsque le corps, maintenu à une température constante, parcourt un cycle fermé.

Lorsque le corps a parcouru la ligne isothermique AB, il est nécessaire, pour fermer le cycle et pour produire en même temps du travail, que le point figuratif s'abaisse au-dessous de la ligne AB : cela exige que la température du corps s'abaisse. Le cycle ne peut être fermé par deux lignes adiabatiques : une partie de chaleur empruntée au foyer est cédée à des corps qui ont une température inférieure à celle du foyer.

Considérons un premier corps qui parcourt le cycle de Carnot en sens direct. Ce corps emprunte au foyer la quantité de chaleur Q et cède au réfrigérant la quantité de chaleur Q' : le travail (5 effectué par le corps est produit par la différence des quantités de chaleur Q et Q'.

Considérons un second corps qui parcourt également un cycle de Carnot entre les mêmes limites de température et en sens direct. Ce corps emprunte au foyer la quantité de chaleur Q, et cède au réfrigérant la quantité de chaleur Q' : le travail ^j effectué par ce corps est produit par la différence des quantités de chaleur Q, et Q',.

Les quantités de chaleur Q' et Q', , cédées respectivement au réfrigérant par les deux corps, peuvent être égales entre elles ou inégales. Il y a deux cas à considérer.

THÉORÈMB D£ CARNOT. l6l

1^ Les quantités de chaleur cédées au réfrigérant Q' et Q\ sont égales.

Admettons que la quantité de chaleur Q empruntée par le premier corps au foyer soit supérieure à la quantité de chaleur Qi empruntée au foyer par le second corps : dans cette hy-pothèse, le travail ^ effectué par le premier corps est supérieur au travail ^i effectué par le second corps.

Faisons marcher le premier corps dans le sens direct : il y a production du travail G et transport de la quantité de chaleur Q' du foyer au réfrigérant.

Faisons marcher le second corps dans le sens inverse : le travail Si est dépensé et la quantité de chaleur Q\ ou Q' est transportée du réfrigérant au foyer.

Supposons maintenant les deux corps accouplés, de manière que les deux opérations précédentes aient lieu successivement. L^état final du système est alors identique à Tétat initial du système, et un travail égal à la différence des travaux 6 et ^1 est produit sans transport de chaleur.

Cette hypothèse est inadmissible. La chaleur transportée du foyer au réfrigérant est nulle; le travail produit est nul : la différence des travaux (s et (Bi est nulle. Les quantités de chaleur Q et Qi sont égales; les coefficients économiques ont la même valeur dans les deux cycles.

a* Les quantités de chaleur cédées au réfrigérant Q' et Q\ sont inégales.

Supposons, par exemple, que la quantité de chaleur Q' soit égale au double de la quantité de chaleur Q',.

Considérons le cycle ABCD (Jig. 3i) parcouru par le premier corps. Ce corps, se mouvant en sens direct, cède au réfrigérant, dans le trajet CD, la quantité de chaleur Q' ou aQ',. Soit C le point de la ligne isothermique CD, tel que la quan* tité de chaleur cédée au réfrigérant dans le trajet CC soit égale à la moitié de Q' ou à Q',. La quantité de chaleur cédée La Thermodj^namigue. ii

lyQ CHAPITRE VIII.

Le coefficient économique de chaque machine doit être calculé diaprés la forme du cycle et d'après la nature de Ta- <'ent mis en jeu pour produire le travail. Le coefficient économique maximum dépend uniquement des températures e\- Irémes entre lesquelles fonctionne la machine.

Le rendement spécifique, tel qu'il a été défini par M. Hirn, ost particulier à chaque machine. Le théorème de Carnot indique, d'une manière générale, que le rendement spécifique a pour limite Tunité.

On peut faire ici un rapprochement entre la théorie des machines à feu, fondée sur le théorème de Carnot, et une proposition de la Mécanique générale.

D'après un théorème général de Mécanique, la somme algébrique du travail moteur et du travail résistant, dans une machine en mouvement, pendant une certaine période, est égale à la moitié de Taccroissement de la force vive du système pendant cette période. Lorsque la machine est à Tétat de mouvement uniforme, le travail moteur est égal au travail résistant.

Lorsque la pression de la vapeur augmente dans la chaudière d'une machine, le travail moteur devient plus grand qiie le travail résistant. Lorsque la pression de la vapeur diminue, le travail résistant, au contraire, devient plus grand que le travail moteur. Le théorème général de Mécanique indique à quelles conditions le travail résistant peut être supérieur au travail moteur; la supériorité du travail résistant sur

THfiOlÈlB Dl CARNOT. I73

le travail moteur entraîne une diminution de vitesse de la machine. Un accroissement du travail moteur, par rapport au travail résistant, a, au contraire, pour eflfet d^accélérer le mouvement de la machine.

Les avantages des volants, au point de vue de la régularité (lu travail d'une machine, sont une conséquence immédiate (lu théorème du travail et des forces vives. C'est pour avoir compris d'une manière insuffisante le rôle des volants dans les machines que plusieurs personnes ont cru trouver le mouvement perpétuel.

Le travail résistant se décompose en deux parties : le travail utile et le travail des résistances passives, telles que les' frottements. Les résistances passives ne peuvent s'annuler. Dans une machine à Tétat de mouvement uniforme, le travail utile est toujours inférieur au travail moteur. C'est dans cette pro- |K>sltion fort simple que consiste Pimpossibilité du mouvement perpétuel.

Une notion insuffisante de l'équivalent mécanique de la chaleur a produit des erreurs semblables dans l'étude de la chaleur.

En brûlant du charbon, on a dépensé 1000 calories. Si cette quantité de chaleur était employée uniquement à produire du travail, il serait facile de calculer le travail effectué, à raison de 4^5 kilogramme 1res par calorie. On a souvent commis Terreur qui consiste à croire que le travail elTectué par une machine à feu puisse atteindre une pareille valeur.

Pour produire du travail en dépensant de la chaleur, on emploie une machine à feu. Lorsque l'on a dépensé looo calories dans la machine, ces looo calories ne produisent pas du travail. Le théorème de Carnot montre que le travail maximum que l'on peut obtenir pour une dépense donnée de

174 CHAPITRE TlII.

chaleur dépend des températures extrêmes entre lesquelles fonctionne la machine.

Le coefficient économique maximum a pour valeur, diaprés le théorème de Carnot,

Entre zéro et loo degrés o,a68

Entre zéro et i5o degrés o,354

Entre zéro et aoo degrés 0,4^2

Suivant que la machine fonctionne entre zéro et une température comprise entre 100 et aoo degrés, sur les 1000 calories dépensées, un nombre de calories, compris entre 268 et 422, pourra seul être utilisé pour produire du travail.

Dans la production du travail au moyen de la chaleur, le théorème de Carnot Ci\e une limite supérieure, indépendante de la nature des corps ou de la machine : cette* limite dépend uniquement des températures extrêmes entre lesquelles fonctionne la machine qui produit le travail.

SADl CARMOT : SON OEUVRE. iy5