A. — LES CONDITIONS SONT NÉCESSAIRES
Nous venons de démontrer que la surface-coupe, si elle
existe, est un plan, qui passe de toute évidence par 0.
RE
Nous avons également démontré que la trajectoire de F se déduisait de celle de o par une homothétie.
Il nous reste à démontrer maintenant que le mouvement du sujet H est une translation, et que P est parallèle à I.
Pour cela, nous rapporterons la figure aux axes suivants, qui nous serviront très souvent par la suite (fig. 3).
Leur origine est le point vw, l’axe des z est perpendiculaire à IT, l'axe de y est situé dans IT, il est parallèle à la direction à, définie précédemment, enfin wx, perpendiculaire aux deux précédents, est situé dans IT, il est perpendiculaire à à.
Considérons un point m du plan de coupe P, tel que om soit parallèle à xwz. Comme la direction à se conserve au cours du déplacement de P, om reste parallèle à xwz. L’angle 4 que fait om avec une parallèle à wx menée par 0, si le plan de coupe P est animé d’une rotation autour de à, est lonction du temps, et, connaissant la position du point o, il achève de définir la position du plan-coupe P.
La position du foyer F dépend du temps, ses coordonnées sont :
Din il) dar =NQ) Zn ((t).
Les coordonnées de o sont :
D NOT), JS TN 0 GX NU CL)
EN
K est un coefficient constant (Lemme Il) indépendant du temps.
Si nous appelons d la longueur om, les coordonnées de m sont :
Lu = 2% + dcos 0 —"Kf.+ d'cos 6; VU UN KT; Zm —= 20 + dSin0 — Kh + d sin 0.
Enfin, comme la condition de stigmatisme est vérifiée pour m, qui est situé dans P, les coordonnées de u, image de m, Sont tu — Ë, Ya — 7, zx = 0; € et n sont des constantes indépendantes du temps.
On obtient leur valeur en écrivant que le rayon Fm rencontre IT au point u, c’est-à-dire que les projections du rapport um/uF — K’ sont les mêmes sur les trois axes, car y, m et F sont alignés.
Ceci nous fournira les relations :
Ki déos ti ce Kg 1 RE doudo :
Lee dei h K’ ne dépend pas du temps d’après le lemme du paragraphe précédent.
Ces relations impliquent que Kg — n/g — n est une constante, ce qui ne peut être réalisé que de deux manières.
4% cas. — Si g est variable, il faut et il suffit que n — 0, ce qui entraîne deux conséquences :
est Sur wx,
K — K”, ce qui implique que om est parallèle à wx au cours du déplacement.
La surface-coupe ne subit pas de rotation. Le sujet H, qui lui est lié, non plus, P est en outre parallèle à IT. C’est ce qu'il fallait démontrer.
2° cas. — Si g est une constante, le foyer F décrit une
trajectoire plane (C) dans un plan perpendiculaire à IT.
En choisissant w de telle sorte que g — 0, o et m seront dans le plan de (C).
n — 0, Kg — n/g — n — 0/0, rapport indéterminé.
7, Be En éliminant #, on trouve que (C) est un cercle d’équation.
