J 4. — IDENTITÉ DES DIVERS ESPACES

Nous sommes donc amenés à comparer les deux continus G et G' engendrés par exemple, l'un pa mon premier doigt D, l'autre par mon second doigt D'. Ces deux continus physiques ont l'un et l'autre troig dim^ensions. A chaque élément du continu C, ou si l'on aime mieux s'exprimer ainsi, k chaque point du premier espace tactile, correspond une série de sensations musculaires S qui me font passer d'une certaine situation initiale à une certaine situation finale*. De plus un même point

1. Au lieu de dire que nous rapportons l'espace h. des axes invariablement liés à notre corps, peut-être vaudrait-il mieux dire, conformément à ce qui précède, que nous le rapportons h Jes axea invariablement liés à la situation initiale de notre corps.

L'e:?PACE E? 5S5 TROIS DIMENSIONS 11£

de ce premier espuce correspondra à S et à 2 + <^ si a est une série dont nous savons qu'elle ne fait pas bouger le doigt D.

De même à chaque élément du contiau C. ou à chaque point du second espace tactile correspond une série de sensations S', et un même point corre.-pondra à S' et S' + (/ si -:' est une série qui ne fait pas bouger le doigt D'.

Ce qui nous fait donc distinguer les séries a et c', c'est que les premières n'altèrent pas les impressions tactiles éprouvées par le doigt D et que les secondes conservent celles qu'éprouve le doigt D'.

Or voici ce que nous constatons : au début mon doigt D' éprouve une sensation À' ; je fais des mouvements qui engendrent les sensations musculaires S ; mon doigt D éprouve l'impression A ; je fais des mouvements qui engendrent une série de sensations c] mon doigt D continue à éprouver rimpression A, puisque c'est la propriété caractéristique des séries a ; je fais ensuite des mouvements qui engendrent la série S' de sensations musculaires, inverse de S au sens donné plus haut à ce mot. Je constate alors que mon doigt D éprouve de nouveau l'impression A' (11 faut bien entendu pour cela que S ait été convenablement choisie.)

Ce qui veut dire que la série S -I- -^ -f- S', conser-

vanl les impressions tactiles du doigt D' est l'une des séries que j'ai appelées <>'. Inversement si l'on prend une série (t' quelconque, S' -\- </ + S sera une des séries que nous appelons a.

Ainsi si S est convenablement choisie, S + (j + S' sera une série c', et en faisant varier a de toutes les manières possiNes, on obtiendra toutes les séries a* possibles.

Tout cela, ne sachant pas encore la géométrie, nous nous bornons à le constater, mais voici comment ceux qui savent la géométrie expliqueraient le fait. Au début mon doigt D' est au point M, au contact de l'objet a qui lui fait éprouver l'impression A' ; je fais les mouvements correspondants à la série S; j'ai dit que cette série devait être convenablement choisie, je dois faire ce choix de telle façon que ces mouvements amènent le le doigt D au point primitivement occupé par le doigt ly, c'est-à-dire au point M ; ce doigt D sera ainsi au contact de Tobjet a, qui lui fera éprouver l'impression A.

Je fais ensuite les mouvements correspondante à la série <r; dans ces mouvements, par hypothèse, la position du doigt D ne change pas, ce doigt reste donc au contact de l'objet a et continue à éprouver l'impression A. Je fais enfin les mouvements correspondants à la série S'. Comme S' est inverse de S, ces mouvements amèneront le doigt

l'espace et ses trois dimensions 121

D' au point occupé d'abord par le doigt D, c'est-à dire au point M. Si, comme il est permis de le supposer, l'objet a n'a pas bougé, ce doigt D' se trouvera au contact de cet objet et éprouvera de nouveau l'impression A' ; ... C. Q. F. D.

Voyons les conséquences. Je considère une série de sensations musculaires S ; à cette série correspondra un point M du premier espace tactile. Reprenons maintenant les deux séries S et S', inverses l'une de l'autre, dont nous venons de parler. A la série S -|- S -|- S' correspondra un point N du second espace tactile, puisque à une série quelconque de sensations musculaires correspond, comme nous l'avons dit, un point soit dans le premier espace, soit dans le second.

Je vais considérer les deux points N et M ainsi définis comme se correspondant. Qu'est-ce qui m'y autorise ? Pour que cette correspondance soit admissible, il faut que s'il y a identité entre deux points M et M' correspondant dans le premier espace à deux séries S et S', il y ait aussi identité entre les deux points correspondants du second espace N et N', c'est-à-dire entre les deux points qui correspondent aux deux séries S -f- S + S', et /S' -|- 2'+ S'. Or nous allons voir que cette condition est remplie.

Faisons d'abord une remarque. Comme S et S' sont inverses l'une de l'autre, on aura S -}- S' = 0,

Cl par conséquent S + S' -f S =z S -;- S + S' = 2, Oîi encore S + S + S' + S' = S -[- r ; mais il ne s'ensuit pas que Ton ait S + H -j- S' = S ; car bien que nous ayons employé le signe de Taddilion pour représenter la succession de nos sensations, il est clair que l'ordre de cette succession n'est pas indilTéi ont : nous ne pouvons donc, comme dans l'addition ordinaire, intervertir l'ordre des termes ; pour employer un langage abrégé, nos opérations sont associatives, mais non commutatives.

Cela posé, pour que T et S' correspondent à un même point M = M' du premier espace, il faut et il suffit que l'on ait S' r=r H -|- c. On aura alors :

Mais nous venons de constater que S 4- c -j- S' était une des séries r! . On aura donc :

ce qui veut dire que les séries S + 1/ -|- S' et S -f S -|- S' correspondent à un même point N = 1/ t'a second espace. C. Q. F. D.

Nos deux espaces se correspondent donc point à point ; ils peuvent être « transformés » l'un dans l'autre; ils sont isomorphes; comment sommesnous conduits à en conclure qu'ils sont identiques?

L ESPACE ET GES TROIS DIMENSIONS i:Sic5

Considérons les deux séries z el S + g -|- S' == cr' J'ai dit que souvent, mais non toujours, la série a conserve l'impression tactile A éprouvée parle doigt D ; et de même il arrive souvent, mais non toujours, que la série a' conserve l'impression tactile A' éprouvée par le doigt D'. Or je constate qu'il arrive irez souvent (c'est-à-dire beaucoup plus souvent que ce que je viens d'appeler « souvent ») que quand la série a a conservé l'impression A du doigt D, la série a con^-^erve en même temps l'impression A' du doigt D'; et inversement que si la première impression est altérée, la seconde l'est également. Cela arrive très souvent, m.ais pas toujours.

Nous interprétons ce fait expérimental en disant que Tobjel inconnu a qui cause l'impression A au doigt D est identique à l'objet inconnu a' qui cause l'impression A' au doigt D'. Et en effet quand le premier objet bouge, ce dont nous avertit la disparition de l'impression A, le second bouge également, puisque l'impression A' disparaît également. Quand le premier objet reste immobile, le second reste immobile. Si ces ë^'iix objets sont identiques, comme le premier est au point M du premier espace et le second au point N du second espace, c'est que ces deux points sont identiques. Voilà comment nous sommes conduits à regarder ces deux espaces comme identiques; ou mieux

voilà ce que nous voulons dire quand nous disons qu'ils sont identiques.

Ce que nous venons de dire de l'identité des deux espaces tactiles nous dispense de discuter la question de Tid entité de l'espace tactile et de l'espace visuel qui se traiterait de la même manière.