U GÉOMÉTRIE QUALITATIVE

Tout cela est relativement facile à comprendre et je l'ai déjà si souvent répété que je crois inutile de m'étendre davantage sur ce sujet. L'espace euclidien n'est pas une forme imposée à notre sen.sibilité, puisque nous pouvons imaginer l'espace

6d LA VALEUR DE LA gCIENCK

non-euclidien ; mais les deux espaces euclidien cl non-euclidien ont un fond commun, c'est ce continuum amorphe dont je parlais au début ; de ce continuum nous pouvons tirer soit Tespace euclidien, soit l'espace lobatchewskien, de même que nous pouvons, en y traçant une graduation convenable, transformer un thermomètre non gradué soit en thermomètre Fahrenheit, soit en thermomètre Réaumur.

Et alors une question se pose: ce continuum amorphe, que notre analyse a laissé subsister, n'est-il pas une forme imposée à notre sensibilité? Nous aurions élargi la prison dans laquelle cette sensibilité est enfermée, mais ce serait toujours une prison.

Ce continu possède un certain nombre de propriétés, exemptes de toute idée de mesure. L'étude de ces propriétés est l'objet d'une science qui a été cultivée par plusieurs grands géomètres et en particulier par Riemann et Betti et qui a reçu le nom d'Analysis Sitùs. Dans cette science, on fait abstraction de toute idée quantitative et par exemple, si on constate que sur une ligne le point B est entre les points A et G, on se contentera de cette constatation et on ne s'inquiétera pas de savoir si la ligne ABC est droite ou courbe, ni si la longueur AB est égale à la longueur BC, ou si elle est deux fois plus grande.

LA NOTION d'espace 67

Les théorèmes de l'Analysis Sitûs ont donc ceci de particulier qu'ils resteraient vrais si les figures étaient copiées par un dessinateur malhabile qui altérerait grossièrement toutes les proportions et remplacerait les droites par des lignes plus ou moins sinueuses. En termes mathématiques, ils ne sont pas altérés par une « transformation ponctuelle » quelconque. On a dit souvent que la géométrie métrique était quantitative, tandis que la géométrie projective était purement qualitative ; cela n'est pas tout à fait vrai : ce qui distingue la droite des autres lignes, ce sont encore des propriétés qui restent [uantitatives à certains égards. La véritable géométrie qualitative c'est donc l'Analysis Sitûs.

Les mêmes questions qui se posaient à propos des vérités de la géométrie euclidienne, se posent de nouveau à propos des théorèmes de l'Analysis Sitûs. Peuvent-ils être obtenus par un raisonnement déductif? Sont-cedes conventions déguisées? Sont-ce des vérités expérimentales ? Sont-ils les caractères d'une forme imposée soit à notre sensibilité, soit à notre entendement?

Je veux simplement obsen^er que les deux dernières solutions s'excluent, ce dont tout le monde ne s'est pas toujours bien rendu compte. Nous ne pouvons pas admettre à la fois qu'il est impossible d'imaginer l'espace à quatre dimensions et que

68 tA VALEUR DE l.k f-GlE!fCK

l'expérience nous démontre que l'espace a trois dimensions. L'expérimentateur pose à la nature une interrogation: est-ce ceci ou cela? et , il ne peut la poser sans imaginer les deux termes de Talternative. S'il était impossible de s'imaginer l'un de ces termes, il serait inutile et d'ailleurs impossible de consulter l'expérience. Nous n'avons pas besoin d'observation pour savoir que l'aiguille d'une horloge n'est pas sur la division 15 du cadran, puisque nous savons d'avance qu'il n'y en a que 12, et nous ne pourrions pas regarder à la division 15 pour voir si l'aiguille s'y trouve, puisque cette division n'existe pas.

Remarquons également qu'ici les empiristes sont débarrassés de l'une des objections les plus graves qu'on peut diriger contre eux, de celle qui rend absolument vains d'avance tous leurs etTorts pour appliquer leur thèse aux vérités de la géométrie euclidienne. Ces vérités sont rigoureuses et toute expérience ne peut être qu'approchée. En Analysis Sitùs les expériences approchées peuvent suffire pour donner un théorème rigoureux et, par exemple, si l'on voit que l'espace ne peut avoir ni deux ou moins de deux dimensions, ni quatre ou plus de quatre, ou est- certain qu'il en a exactement 3, car il ne saurait en avoir 2 et demi ou 3 et demi.

De tous les théorèmes de l'Analysis Sitûs, le plus

LA NOTION DESPACa 69

important est ceiui que l'on exprime en disant que l'espace a trois dimensions. C'est de celui-là que nous allons nous occuper, et nous poserons la question en ces termes : Quand nous disons que l'espace a trois dimensions, qu'est-ce que nous voulons dire?