LE CONTINU PHYSIQUE A PLUSIEURS DIMENSIONS

J'ai expliqué dans Science et Hypothèse d'où nous vient la notion de la continuité physique et comment a pu en sortir celle de la continuité mathématique. Il arrive que nous sommes capables de distinguer deux impressions l'une de l'autre, tandis que nous ne saurions distinguer chacune d'elles d'une même troisième. C'est ainsi que nous pouvons discerner facilement un poids de 12 grammes d'un poids de 10 grammes, landis qu'un poids de 11 grammes ne saurait se distinguer ni de l'un, ni de l'autre.

Une pareille constatation, traduite en symboles,

s'écrirait :

Ce serait là la formule du continu physique, tel que nous le donne l'expérience brute, d'où une contradiction intolérable que l'on a levée par l'introduction du continu mathématique. Celui-ci est une échelle dont les échelons (nombres commen-

surables ou incommensurables) sont en nombre infini, mais sont extérieurs les uns aux autres, au lieu d'empiéter les uns sur les autres comme le font, conformément à la formule précédente, les éléments du continu physique.

Le continu physique est pour ainsi dire une nébuleuse non résolue, les instruments les plus perfectionnés ne pourraient parvenir à la résoudre; sans doute si on évaluait les poids avec une bonne balance, au lieu de les apprécier à la main, on distinguerait le poids de 11 grammes de ceux de 10 et de 12 grammes et notre formule deviendrait:

Mais on trouverait toujours entre A et B et entre B et G de nouveaux éléments D et E tels que :

et la difficulté n'aurait fait que reculer et la nébuleuse ne serait toujours pas résolue ; c'est l'esprit seul qui peut la résoudre et c'est le continu mathématique qui est la nébuleuse résolue en étoiles.

Jusqu'à présent toutefois nous n'avons pas introduit la notion du nombre des dimensions. Que voulons-nous dire quand nous disons qu'un continu mathématique on qu'un continu physique a deux ou troirf dimensions?

LA NOTION DESPAC8 71

li faut d'abord que nous introduisions la notion de coupure, en nous attachant d'abord à l'étude des continus physiques. Nous avons vu ce qui caractérise le continu physique, chacun des éléments de ce continu consiste en un ensemble d'impressions ; et il peut arriver ou bien qu'un élément ne peut pas être discerné d'un autre élément du même continu, si ce nouvel élément correspond à un ensemble d'impressions trop peu différentes, ou bien au contraire que la distinction est possible ; enfin il peut se faire que deux éléments, indiscernables d'un même troisième, peuvent néanmoins être discernés l'un de l'autre.

Cela posé, si A et B sont deux éléments discernables d'un continu C, on pourra trouver une série

d'éléments

El, Ej, , E,

appartenant tous à ce même continu G et tels que chacun d'eux est indiscernable du précédent, que Ej est indiscernable de A et E^ indiscernable do B. On pourra donc aller de A à B par un chemin continu et sans quitter G. Si cette condition est remplie pour deux éléments quelconques A et B du continu G, nous pourrons dire que ce continu G est d'un seul tetiant.

Distinguons maintenant quelques-uns des éléments de G qui pourront ou bien être tous discernables les uns des autres, ou former eux-mémeg

un OU plusieurs continus. L*ensemble des éléments ainsi choisis arbitrairement parmi tous ceux de G formera ce que j'appellerai la ou les coupures.

Reprenons sur G deux éléments quelconques A et B. Ou bien nous pourrons encore trouver une série d'éléments

l'i! Efî > E=

tels : 1* qu'ils appartiennent tous à G ; 2" que chacun d'eux soit indiscernable du suivant ; E| indiscernable de A et E„ de B; 3^ el en outre qu^aucun des éléments E ne soit indiscernable d'aucun des éléments de la coupure. Ou bien au contraire dans toutes les séries Ej, Eo, , E. satisfaisant aux deux premières conditions, il y aura un élément E indiscernable de l'un des éléments de la coupure.

Dans le 1" cas, nous pouvons aller de A à B par uû chemin continu sans quitter G et santrencontrer les coupures ; dans le second cas cela est impossible.

Si alors pour deux éléments quelconques A et B du continu G, c'est toujours le premier cas qui se présente, nous dirons que G reste d'un seul tenant malgré les coupures.

Ainsi si nous choisissons les coupures d'une certaine manière, d'ailleurs arbitraire, il pourra se faire ou bien que le continu reste d'un seul tenant ou qu'il ne reste pas d'un seul tenant; dans

LA NOTION D*ESPACB 73

cette dernière hypothèse nous dirons alors qu'il est divisé par les coupures.

On remarquera que toutes ces définitions sont construites en partant uniquement de ce fait très simple, que deux ensembles d'impressions, tantôt peuvent être discernés, tantôt ne peuvent pas i'êlre.

Cela posé, si pour diviser un continu, il suffît de considérer comme coupures un certain nombre d'éléments tous discernables les uns des autres, on dit que ce continu est à tnie diraension; si au contraire pour diviser un continu, il est nécessaire de considérer comme coupures un système d'éléments formant eux-mêmes un ou plusieurs continus, nous dirons que ce continu est à plusieurs dimensions.

Si pour diviser un continu G, il suffît de coupures formant un ou plusieurs continus à une dimension, nous dirons que G est un continu à d<mx dimensions ; s'il suffit de coupures, formant un ou plusieurs continus à deux dimensions au plus,- nous dirons que G est un continu à troii dimensions ; et ainsi de suite.

Pour justifier cette définition, il faut voir sî c'est bien ainsi que les géomètres introduisent la notion des trois dimensions au début de leurs ouvrages. Or, que voyons-nous? Le plus souvent ils commencent par définir les surfaces comme les

limites des volumes, ou parties de l'espace, les lignes comme les limites des surfaces, les points comme limites des lignes, et ils affirment que le même processus ne peut être poussé plus loin.

C'est bfen la même idée ; pour diviser l'espace, il faut des coupures que l'on appelle surfaces ; pour diviser les surfaces il faut des coupures que Ton appelle lignes ; pour diviser les lignes, il faut des coupures que l'on appelle points ; on ne peut aller plus loin et le point ne peut être divisé, le point n'est pas un continu ; alors les lignes, qu'on peut diviser par des coupures qui ne sont pas des continus, seront des continus à une dimension; les surfaces que l'on peut diviser par des coupures continues à une dimension, seront des continus à deux dimensions, enfin l'espace que l'on peut diviser par des coupures continues à deux dimensions sera un continu à trois dimensions.

Ainsi la définition que je viens de donner ne diftere pas essentiellement des définitions habituelles ; j'ai tenu seulement à lui donner une forme applicable non au continu mathématique, mais au continu physique, qui est seul susceptible de représentation et cependant à lui conserver toutft sa précision.

On voit, d'ailleurs, que cette définition ne s'applique pas seulement à l'espace, que dans tout ce qui tombe sous nos sens, nous retrouvons les carac-

LA NOTION d'espace 75

tères du continu physique, ce qui permettrait la même classification ; il serait aisé d'y trouver des exemples de continus de quatre, de cinq dimensions, au sens de la définition précédente; ces exemples se présentent d'eux-mêmes à l'esprit.

J'expliquerais enfin, si j'en avais le temps, que cette science dont je parlais plus haut et à laquelle Riemann a donné le nom d'Analysis Sitùs, nous apprend à faire dos distinctions parmi les continus d'un même nombre de dimensions et que la classification de ces continus repose encore sur la considération des coupures.

De cette notion est sortie celle du continu mathématique à plusieurs dimensions de la môme façon que le continu physique à une dimension avait engendré le continu mathématique à une dimension. La formule.

A >. C, A :rr^ B, B :^ G

qui résumait les données brutes de l'expérience impliquait une contradiction intolérable. Pour s'en affranchir, il a fallu introduire une notion nouvelle en respectant d'ailleurs les caractères essentiels du continu physique à plusieurs dimensions. Le continu mathématique à une dimension comportait une échelle unique dont les échelons en nombre infini correspondaient aux diverses valeurs commensurables ou non d'une même grandeur.

Pour avoir le continu mathématique à n dimensions, il suffira de prendre n pareilles échelles dont

les échelons correspondront aux diverses valeurs de /■( grandeurs indépendantes appelées coordonnée?. On aura ainsi une image du continu physique à n dimensions, et cette image sera aussi fidèle qu'elle peut l'être du moment qu'on ne veut pas laisser subsister la contradiction dont je parlais plus haut.

i 4. — LA NOTION DE POINT

Il semble maintenant que la question que nous nous posions au début est résolue. Quand nous disons que l'espace a trois dimensions, dira-t-on, nous voulons dire que l'ensemble des points de l'espace satisfait à la définition que nous venons de donner du continu physique à trois dimensions. Se contenter de cela, ce serait supposer que nous savons ce que c'est que l'ensemble des points de l'espace, ou même qu'un point de l'espace.

Or. cela n'est pas aussi simple qu'on pourrait le croire. Tout le monde croit savoir ce que c'est qu'un point, et c'e^t même parce que nous le iiavons trop bien que nous croyons n'avoir pas besoin de le définir. Certes on ne peut pas exiger de nous que nous sachions le définir, car en remontant de définition en définition il faut bien