LE GROUPE DES DÉPLACEMENTS

Résumons brièveracDt les résu liais obtenus. Nous nous proposions de rechercher ce qu'on veut dire quand on dit que l'espace a trois dimensions et nous nous sommes demandé d'abord ce que c'est qu'un continu physique et quand on peut dire qu'il a n dimensions. Si nous considérons divers systèmes d'impressions et que nous les comparions entre eux, nous reconnaissons couvent que deux de ces systèmes d'impressions ne peuvent être discernés (ce que l'on exprime d'ordinaire en disant qu'ils sont trop voisins l'un de l'autre, et que nos sens sont trop grossiers pour que nous puissions les distinguer) et nous constatons de plus que deux de ces systèmes peuvent quelquefois être discernés l'un de l'autre, bien qu'étant indiscernables d'un même troisième. S'il

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en esl ainsi, on dit que l'ensemble de ces systèmes d'impressions forme un continu physique G. Et chacun de ces systèmes s'appellera un élément du continu G.

Combien ce continu a-t-il de dimensions? Prenons d'abord deux éléments A et B de G, et supposons qu'il existe une suite S d'éléments, appartenant tous au continu G, de telle façon que A cl B soient les deux termes extrêmes de cette suite et que chaque terme de la suite soit indiscernable du précédent. Si l'on peut trouver une pareille suite S, nous dirons que A et B sont reliés entre eux; et si deux élém^ents quelconques de G sont reliés entre eux, nous dirons que G est d'un seul tenant.

Ghoisissons maintenant sur le continu G un certain nombre d'éléments d'une manière tout à fait arbitraire. L'ensemble de ces éléments s'appellera une coupure. Parmi les suites 2 qui relient A à B, nous distinguerons celles dont un élément est indiscernable d'un des éléments de la coupure (nous dirons que ce sont celles qui coupent la coupure) et celles dont tous les éléments sont discernables de tous ceux de la coupure. Si toutes les suites S qui relient A à B coupent la coupure, nous dirons que A et B sont séparés par la coupure, et que la coupure divise G. Si on ne peut pas trouver sur G deux cléments qui soient sépn^-^"

par la coupure, nous dirons que I^l coupure ne divise pas G.

Ces définitions posées, si le continu G peut être divisé par des coupures qui ne forment pas ellesmêmes un continu, ce continu G n'a qu'une dimension; dans le cas contraire il en a plusieurs. Si pour diviser G, il suffit d'une coupure formant un continu à 1 dimension, G aura 2 dimensions, s'il suffit d'une coupure formant un continu à 2 dimensions, G aura 3 dimensions, etc.

Gnâce à ces définitions, on saura toujours reconnaître combien un continu physique quelconque a de dimensions. Il ne reste plus qu'à trouver un continu physique, qui soit pour ainsi dire équivalent à l'espace, de telle façon qu'à- tout point de l'espace corresponde un élément de ce continu, et qu'à des points de l'espace très voisins les uns des autres, correspondent des éléments indiscernables. L'espace aura alors autant de dimensions que ce continu.

L'intermédiaire de ce continu physique, susceptible de reprcscnlatiou, est indispensable; parce que nous ne pouvons nous représenter l'espace et cela pour une foule de raisons. L'espace est un continu mathématique, il est infini, et nous ne pouvons nous représenter que des continus physiques et des objets finis. Les divers éléments de l'espace, que nous appelons points, sont tous

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semblables entre eux. et, pour appliquer notre définition, il faut que nous sachions discerner les éléments les uns des autres, au moins s'ils ne sont pas trop voisins. Enfin l'espace absolu est un nonsens, et il nous faut commencer par le rapporter à un système d'axes invariablement liés à notre* corps (que nous devons toujours supposer ramené à une même attitude).

J'ai cherché ensiiile à former avec nos sensations visuelles un continu physique équivalent à lespace; cela est facile sans doute et cet exemple est particulièrement approprié à la discussion du nombre des dimensions ; cette discussion nous a permis de voir dans quelle mesure il est nermis de dire que « l'espace visuel » a trois dimensions. Seulement cette solution est incomplète et artificielle, j'ai expliqué pourquoi, et ce n'est pas sur l'espace visuel, mais sur Fespace moteur qu'il faut faire porter notre CiTort.

J'ai rappelé ensuite quelle est l'origine de la distinction que nous faisons entre les changements de position et les changements d'état.

Parmi les changements qui se produisent dans nos impressions, nous distinguons d'abord les changements internes volontaires et accompagnés de sensations musculaires et les changements externes^ dont les caractères sont opposés. Nous constatons qu'il peut arriver qu'un changement

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oxterne soit corrigé par un changement inlerae qui rétablit les sensations primilivfes. Les changements externes susceptibles d'être corrigés par un changement interne s'appeiient changements de position, ceux qui n'en sont pas susceptibles s'ap pellent changements d'étal. Los changements internes susceptibles de con-iger nu changement externe s'appellent déplacements du corps en bloc ; les autres s'appellent changement d^ attitude.

Soient maintenant a et ji deux changements externes, a' et p' deux changements internes. Supposons que a puisse être corrigé soit par a', soit par ^' ; et que a' puisse corriger soit a, soit fi : l'expérience nous apprend alors que ^' peut également corriger p. Dans ce cas nous dirons que a et p correspondent au même déplacement et de même que a' et p' correspondent au viême déplacement.

Gela posé, nous pouvons imaginer un continu physique que nous appellerons le continu ou le groupe des déplacements et que nous définirons de la façon suivante. Les éléments de ce continu seront les changements internes susceptibles de corriger un changement externe. Deux de cci changements internes oi et p' seront regardes ccm-me indiscernables : i° s'ils le sont naturellement, c'est-à-dire s'ils sont trop voisins l'un de l'autre ; 2"^ si a' est susceptible de corriger le mêr. ^

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changement externe qu'un troisième changement interne naturellement indiscernable de S'. Dans ce second cas, ils seront pour ainsi dire indiscernables par convention, je veux dire en convenant de faire abstraction des circonstances qui pourraient les iaire distinguer.

^•jLre continu est maintenant entièrement défini, puisque nous connaissons ses éléments et que nous avons précisé dans quelles conditions ils peuvent être regardés comme indiscernablvis. Nous avons ainsi tout ce qu'il faut pour appliquer noliC délinition et déterminer combien ce continu a de dimensions. Nous reconnaîtrons qu'il en a six. Le continu des déplacements n'est donc pas équivalenl à l'espace, puisque le nombre des dimensions n'est pas le même, il est seulement apparenté à l'espace.

Gomment savons-nous maintenant que ce continu des déplacements a six dimensions ; nous le savons par expérience.

11 serait aisé de décrire les expériences par lesquelles nous pourrions arriver à ce résultat. On verrait qu'on peut dans ce continu pratiquer des coupures qui le divisent et qui sont des continus ; qu'on peut di\iBcr ces coupures elles-mêmes par d'autres coupures du second ordre qui sont encore des continus, et qu'on ne serait arrêté qu'après les coupures du sixième ordre qui ne seraieut plu«

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des continus. D'après nos définitions cela voudrail dire que le groupe des déplacements a six dimensions.

Cela serait aisé, ai-je dit, mais cela serait assez long; et ne serait-ce pas un peu superficiel ? Ce groupe des déplacements, nous l'avons vu, est apparenté à l'espace et on pourrait en déduire l'espace, mais il n'est pas équivalent à l'espace puisqu'il n'a pas le même nombre de dimensions ; et quand nous aurons montré comment la notion de ce continu peut se former et comment on peut en déduire celle de l'espace, on pourrait toujours se demander pourquoi l'espace à trois dimensions nous est beaucoup plus familier que ce continu à six dimensions, et douter par conséquent que ce soit par ce détour, que s'est formée dans l'esprit humain la aotion d'espace.