CHAPITRE X

Sommaire. — Considérations générales sur la constitutic Réduction des forces de la nature à l'unité. — Élasti* Féther. — Équations générales des mouvements moléc vaux de Navier, Poisson, Cauchy. — Réduction dcforme linéaire. — Intégration de ces équations. — Mr ment petits. — Mouvements simples. — Mouvements ]

— Conditions relatives aux limites des corps. — Ap^problèmes de Mécanique.

MÉMOIRES.' — Principes généraux de la Mécanique. -

— Moments d'inertie. — Forces vives. — Choc des c« plaques élastiques. — Équilibre et mouvement des . les systèmes Simples ou doubles de points matériel> se repoussent à de petites distances. — Pressions, tf. tions, dilatations. — Sur les pressions, les tensions. et les dilatations qui se produisent dans les systeirn- Conditions relatn>es aux limites des corps. — Applicii' des équations de conditions relatives aux surface milieux. — Questions diverses. — Rapports.

SOMMAIRE

Les corps doivent être considérés comi blages de molécules douées des forces à'\\\ répulsion mutuelles qui se font équilibre ii I Dans les fluides, les molécules peuvent se ^. ment en tous sens; dans les solides, au • occupent des positions déterminées, ce (|u donné lieu à traiter ceux-ci comme des gure invariable. Mais, en réalité, tous !(> ceux qu'on appelle Wfrf^^, sont sujets à d»

MECANIQUE. I IQ

continuelles. Sous l'influence des forces extérieures, un nouvel état d'équilibre s'établit; les molécules, après avoir été écartées de leur position primitive, tendent inces.samment à y revenir en exécutant une série de vibrations infiniment petites. De la naissent des tensions ou des pressions, des condensations ou des dilatations, dont l'étude sert de base à la théorie de l'élasticité, l'une des plus importantes de la Mécanique. La stabilité des constructions, le fonctionnement régulier et permanent des machines, la production du son, la propagation de la chaleur et de la lumière sont autant de questions qui s'y rattachent directement. Ajoutons encore qu'une foule d'autres phénomènes dont l'origine n'est pas encore bien connue, tels que ceux de l'électrScité, du magnétisme, peut-être aussi de la pesanteur universelle, sont liés, suivant toute apparence, d'une manière intime à cette propriété générale de la miatière. Les progrès récents des sciences tendent de plus en plus à confirmer ces prévisions, et à ramener la Mécanique tout entière à l'étude d'une force unique dont l'élasticité serait la principale manifestation.

A côté de la matière pondérable vient se placer l'éther, fluide d'une ténuité extrême et d'une élasticité parfaite, qui remplit tout l'univers. L'existence de l'éther dans les espaces célestes était déjà établie par la propagation des ondes lumineuses à travers le vide sidéral ; le passage de la lumière a travers les corps diaphanes et le phénomène de la double réfraction ont ensuite démontré que l'éther existe dans tous les corps, où il constitue autour de chaque molécule une sorte d'atmosphère plus ou moins dense au milieu de laquelle nagent les particules matérielles.

Telles sont les idées universellement admises aujour-

laO TRAVAUX D AUGUSTIN CAUCHY.

d'hui sur la constitution intime de la matière. Les besoi travaux de Fresnel en optique avaient d'abord tranché définitivement Tancien débat entre les deux théories de rémission et des ondulations; mais, ayant en vue un bot particulier, il ne s'était pas préoccupé des conséquences qui pouvaient découler de ses principes pour la 3Iécanique générale. Navier est le premier qui ait entrepris d'analyser les lois élémentaires de l'équilibre et du mouvement des systèmes; ses recherches ont fait l 'objet de plusieurs Mémoires publiés en i83i : on y trouve enfin les équations difTérentielles du problème. Parmi les divers géomètres qui s'occupèrent de la même question, vers cette époque, on doit citer surtout Lagrange, Poisson et Cauchy. Ce dernier s'appliqua principalement à généraliser la solution et à la rendre indépendante des diverses conditions particulières auxquelles on s'était d'abord assujetti. Ainsi, par exemple, l'un des inconvénients les plus graves des méthodes suivies avant lui provenait de l'hypothèse qu'on faisait sur la continuité de la matière, hypothèse qui paraissait nécessaire pour ramener les calculs à des intégrations. Mais une pareille supposition est tout à fait inadmissible; nonseulement la matière n'est pas continue dans les corps, mais certains phénomènes permettent d'affirmer que les diverses molécules sont séparées les unes des autres par des espaces extrêmement considérables relativement à leurs propres dimensions. Les efforts de Poisson, pour lever cette difficulté, avaient été infructueux : Caucliv

fut plus heureux. Au principe de la continuité de la matière, il substitua la notion incontestable de la continuité des déplacements géométriques; d'ailleurs les couples de molécules qui réagissent mutuellement restent complètement indéterminés, leur nombre et leurs dimensions

peuvent varier d'un milieu à un autre, et, par suite, leurs distances réciproques sont tout à fait arbitraires; les résultats de la théorie en demeurent indépendants. 11 y a plus : Cauchy avait d'abord considéré les corps comme des systèmes de points matériels simples, et cette hypothèse lui avait suffi pour expliquer la plupart des phénomènes; toutefois il en est d'autres pour lesquels il convient d'étendre ce point de vue et de regarder les molécules élémentaires comme étant ellesrmêmes composées d'atomes groupés de diverses manières, ce qui est conforme à la réalité. Les formules générales de Cauchy s'adaptent également à un système de cette nature.

Enfin, il ne suffit pas toujours de soumettre au calcul un système unique de molécules, même composées; par ce moyen, on explique bien un certain ensemble de phénomènes : le son, l'élasticité, les vibrations des tiges et des membranes, etc; mais on est obligé de recourir à des considérations d'un ordre plus élevé pour interpréter des phénomènes d'un autre genre, particulièrement ceux qui se présentent en optique, lorsque Ja lumière traverse des corps diaphanes. L'éther est le milieu qui produit et propage les vibrations lumineuses, et, dans le vide sidéral, il se comporte comme un milieu isotrope, c'est-àdire comme un milieu dans lequel les mouvements se transmettent de la même manière en tous sens; mais dans les corps sa constitution est différente. L'éther agit sur les molécules de matière pondérable; celles-ci réagissent à leur tour sur les molécules éthérées, les attirent, les groupent suivant des lois toutes nouvelles et modifient profondément la nature de leurs mouvements. Pour obtenir une théorie complète de la lumière, il faut donc poser autrement le problème, et analyser d'une manière générale les mouvements qui peuvent coexister dans un

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double système de molécules qui se pénètrent matuelk-|»c ment. lit

Lorsqu'un système vient a être dérangé de sa positiii|K naturelle d'équilibre par des forces quelconques» iule- lu rieures ou extérieures, il en résulte des déformations d 11 des changements de densité et de pression dont Tétode |i offrait de grandes difficultés. Diverses tentatives avûetf déjà été faites pour les lever; Poisson, par exemple, dau sa théorie mathématique de l'action capillaire, avûtiitroduit avec succès la notion du changement de denàà près de la surface des corps; mais, malgré des efforts partiels, les difficultés subsistaient encore dans leur essemble. Plusieurs des principes admis étaient même défectueux. Ainsi, en ce qui concerne les pressions exercées à l'intérieur des corps, on supposait qu'elles étaient dirigées normalement aux éléments des surfaces pressées, et que, de plus, elles étaient les mêmes en tous sens autour d'un point. Mais celte hypothèse est rarement admissible, et il était important d'établir les équations générales de l'équilibre et du mouvement sans y avoir recours. C'est ce que fit Cauchy dans une série de Mémoires où il étudie les lois de variation des pressions et des tensions, des condensations et des dilatations dans les systèmes. Ses recherches sur cette matière l'ont conduit à une foule de résultats remarquables parmi lesquels on doit noter la vérification des lois de Fresnel relativement au phénomène de la double réfraction.

L'établissement des équations générales exige qu'on sache exprimer l'équilibre des forces appliquées à un élément quelconque de masse pris dans les corps. La forme de cet élément peut, du reste, être choisie arbitrairement; la figure du parallélipipède est la plus simple et se présente naturellement; aussi est-elle habituelle-

nt employée ainsi que celle du cylindre, du prisme et la sphère. Cauchy y joint les conditions d'équilibre latives à un élément tétraédrique, ce qui permet d'é- ^kidier plus facilement les phénomènes qui se passent Klads le voisinage de la surface des corps. Cette dernière "îbriïie conduit à divers résultats qu'il serait diftîcile 31'obtenir d'une autre manière et a été adoptée, depuis IHauchy, par plusieurs savants.

Signalons encore une autre difficulté. Pour qu'un problëaie de Mécanique puisse être résolu, il ne suffit pas de définir exactement la constitution des systèmes et les conditions variées auxquelles ils sont assujettis; il faut encore connaître la nature et les lois des forces qui sollicitent chaque point matériel. Ainsi, les mouvements des corps pesants n'ont pu être calculés qu'après que Galilée eut établi les lois de la pesanteur, et, d'un autre côté, les découvertes de Kepler et de Newton sur la gravitation universelle étaient la condition nécessaire des progrès naodernes de l'Astronomie. On pouvait donc supposer que, pour entreprendre l'étude de la Mécanique moléculaire, il était également indispensable de trouver d'abord les lois des forces intérieures en vertu desquelles les molécules s'attirent ou se repoussent. Mais la détermination à priori de ces lois parait extrêmement difficile, et aujourd'hui encore, on sait très-peu de chose a ce sujet. Heureusement cette connaissance n'est pas indispensable : les mouvements moléculaires des corps sont de l'ordre des infiniment petits, et, pour les analyser, il suffit de savoir — ce qui est un fait d'expérience — que les actions élémentaires s'exercent à des distances insensibles et s'évanouissent aussitôt que la distance devient appréciable. Cette circonstance permet de ramener immédiatement les équations à la forme li-

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néaire, et on en déduit l'explication des phéDoroèMly!; sans avoir besoin de faire aucune autre hypothèse sur Iflit'. lois de variation des forces avec les distances. La disc»|K,> sion comparative des expériences avec les formules cii-|jeri duira au contraire, dans certains cas, à des conséquenm imprévues, ou, au moins, à des aperçus utiles sorb nature même des forces. Pour n'en citer qu'un exem^ nous dirons que le fait de la non- dispersion de la lumiôt dans le vide a permis à Cauchy de conclure que lesii' lécules d'éther se repoussent en raison inverse du bicarrr de la distance.

tu; ni

Mous^ements infiniment petits. — L'étude de la Métt- 1 . nique moléculaire se ramène donc à l'analyse des moovements infiniment petits des systèmes simples oi doubles de points matériels, et voici à cet égard qœlques-uns des principaux résultats auxquels Cauchy est parvenu.

Les mouvements dont il s'agit se représentent par(le> équations dans lesquelles entrent trois variables imaginaires, respectivement égales aux produits de trois constantes imaginaires par une même exponentielle donlTev posant imaginaire est une fonction linéaire des coordonnées et du temps. Ces trois variables imaginaires mesurenî ce que Cauchy appelle les déplacements symboliques d»* chaque molécule, tandis que les parties réelles de ce* mêmes variables représentent les mouvements simples à\\ système. On en déduit que tout mouvement simple est un mouvement par ondes planes, les diverses molécules se mouvant dans des plans qui sont parallèles entre eux. sans être nécessairement parallèles aux plans des ondes On remarquera ensuite que l'exponentielle variable i laquelle les déplacements symboliques sont proporlioo-

iels est le produit d'un facteur réel par une exponenielle trigonométriquè; ce facteur sera le module du nouvement simple dont l'exponentielle trigonométriquè lera V argument. Cela posé, si le module est indépendant Su temps, le mouvement simple sera durable et persistant, et chaque molécule décrira une ellipse, qui peut se Véduire à un cercle ou à une portion de droite, ce qui correspond à divers modes de polarisation. Si, de plus, le module est égal à l'unité, le mouvement correspondant I6e propagera sans s'éteindre, et les ellipses décrites seront toutes parallèles les unes aux autres. Si, au contraire, le module est différent de l'unité et ne se réduit à l'unité ' que pour des points situés dans un certain plan, alors i ramplitude d'une vibration moléculaire, mesurée par le i grand axe de l'ellipse décrite, décroîtra en progression E géométrique, tandis que la distance de la molécule au r plan croîtra en progression arithmétique. Ces notions générales, applicables à tous les mouvements simples, serviront un peu plus loin, en optique, à caractériser les rayons désignés par Cauchy sous le nom de rayons évanescents.

Conditions relatives aux limites des corps. — La solution d*un grand nombre de questions de Physique mathématique dépend des équations de condition relatives aux limites des corps; telles sont : les vibrations des plaques élastiques, la transmission du son d'un milieu dans un autre, la réfleicion et la réfraction de la lumière à la surface des corps. Dans ces divers cas, du reste, il suffît de considérer les mouvements infiniment petits représentés par des équations aux dérivées partielles, linéaires et à coefficients constants. De plus, tout mouvement vibratoire de cette nature, propagé dans un milieu homogène.

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se réduit à des mouvements simples par ondes plaiMi,| nubien résulte de la superposition d'un nombre finie infini de mouvements simples. La question se tronel donc ramenée à la recherche des lois suivant lesqueDB! un mouvement simple est modifié en passant d'un miliei dans un autre.

La recherche de ces lois avait inutilement occupé ks géomètres» et la plupart de leurs résultats reposais sur des hypothèses contestables. Dans divers Mémoire publiés en 1839 et 1840, Cauchy fit connaître les Téritables principes de la solution. A cet efTet» il analysa Itf variations de pression qui se produisent vers la surbce de séparation des corps, en se servant d'un élément cylindrique dont Tune des bases est prise dans le premier

milieu, et l'autre dans le second, la hauteur de ce es-

lindre étant très-petite, mais cependant supérieure ib rayon de la sphère d'activité des molécules. Le calcol indique alors deux sortes de modifications distinctes. Il en est qui n'altèrent pas la vitesse de propagation, de sorte que les mouvements demeurent isochrones et correspondants; la considération de ces mouvements suffît, par exemple, en optique, pour établir les lois connues de la réflexion et de la réfraction de la lumière. Il en est d'autres qui influent sur la direction et les amplitudes des vibrations; on en déduit les lois de la polarisation et les variations d'intensité de la lumière réfléchie ou réfractée. On commence par exprimer que chaque élément de la surface de séparation est en équilibre sous l'action des pressions intérieure et extérieure, ce qui donne immédiatement trois équations de condition. Ces équations seront suffisantes si chacun des deux milieux ne renferme qu'un seul système de molécules, et c'est le cas de la théorie du son ou des corps élastiques;

MÉCANIQUE. lay

maïs, en optique, les mouvements se propagent dans un 'double système composé des molécules matérielles et de Fjéther, et il faut recourir à un second principe que Cauchy appelle le principe de continuité. Il consiste à admettre que les molécules d'éther, intérieures ou extérieures, forment un système unique et continu, et que les r déplacements moléculaires, ainsi que leurs dérivées parai tielles, varient par degrés insensibles quand on passe d'un } milieu k Tautre. Ce principe, joint à celui de l'équilibre I des pressions, fournit tous les éléments nécessaires pour { étudier la nature et les propriétés diverses des rayons ^ réfléchis ou réfractés.

Questions diverses, — Le premier travail de Cauchy sur 1 la Mécanique concerne la théorie des ondes et fut composé en i8i 5, à l'occasion d'un concours ouvert par l'Académie pour le grand prix de mathématiques. La question était proposée dans les termes suivants : c Une masse fluide pesante, primitivement en repos, a été mise en mouvement par l'effet d'une cause donnée; on demande, au bout d'un temps déterminé, la forme de la surface extérieure du fluide et la vitesse de chacune des molécules situées à cette même surface. > Dans un Mémoire qui remporta le prix, Cauchy résolut complètement le problème, et, de plus, généralisa la solution en étudiant, non-seulement l'état de la surface extérieure, mais encore celui de la masse entière du fluide. Son travail est divisé en trois parties. Il détermine d'abord l'état initial du fluide quand on connaît, à l'origine, la forme de la surface extérieure et les forces qui agissent sur elle; il établit ensuite les équations qui définissent, à un moment quelconque, l'état de la masse et celui de la surface libre; enfin il examine les conséquences qui résultent de

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ces équations et calcule les valeurs numériques descoDstantes que renferment les formules employées.

La discussion du mouvement des ondes exigeait !> tude préliminaire de plusieurs points d'Analyse relatif à la théorie des intégrales définies et a leurs développements en séries. Ces questions accessoires ne pouvaient être introduites sans inconvénient dans le corps méfluedo Mémoire; elles se trouvent exposées dans une série de vingt Notes placées en appendice. Quelques-unes accompagnaient le travail primitif; les autres ont été ajoutées à l'époque de l'impression, en iSaS.

Parmi les problèmes de Mécanique dont Cauchy s*est le plus occupé se trouve encore la théorie de l'équilibre et du mouvement des tiges et des plaques élastiques» qoi a fait l'objet de divers Mémoires insérés dans les Andens Exercices. Plusieurs savants avaient déjà traité cette question, et l'on doit citer notamment les recherches d'Euler, dans les Mémoires de V Académie de ScUiU-Pétersbourg pour 1779; celles de Poisson, dans le t. VIII des Mémoires de T Académie des Sciences ; et enfin celles de M"* Sophie Germain, dans un Mémoire couronné par l'Institut en i8i5. Cauchy ajouta beaucoup aux recherches de ses devanciers, donna une explication nouvelle des faits déjà connus et en découvrit d'autres que l'expérience a ensuite vérifiés. 11 convient de consulter à ce sujet les belles recherches expérimentales de Savarl, dont les résultats sont exposés dans les Annales de Chimie ef de Physique,

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