CHAPITRE PREMIER

Sommaire. — Origines de la théorie des nombres. — Diophante. — Théorèmes de Fermât. — Travaux de Gauss. — Disquisitiones Arithmeticœ ,

— Équations binômes. — Sommes alternées de leurs racines. — Travaux de Cauchy sur la théorie des nombres.

MÉMOIRES. — Arithmétique, — Sur les moyens d'éviter les erreurs dans les calculs numériques. — Sur le recensement des votes. — Équations et équivalences binômes. — Formes quadratiques et facteurs radicaux,

— Questions diverses,

SOMMAIRE

Les premières recherches relatives à la théorie des nombres eurent pour objet des problèmes d'analyse indéterminée,'dans lesquels on se proposait de satisfaire, par le moyen de nombres entiers, à certaines équations renfermant plusieurs inconnues. Les questionsde ce genre étaient déjà familières aux anciens, et Diophante d'Alexandrie avait fait preuve, à cet égard, d'une rare sagacité. Mais l'analyse indéterminée n'est qu'un des objets particuliers de la théorie des nombres, ou plutôt n'a été . que l'occasion de cette théorie, en faisant découvrir acci- IL I

XII TRAVA.UX d'aUGUSTIN CACCHY.

lièresdonton trouvera le tableau dans une feuille séparée. Je dois ajouter que, dans chaque Chapitre, j'ai suivi ponr les citations Tordre d'ancienneté des recueils, ce qui tend à replacer les travaux de Cauchy dans leur ordre chronologique pour les matières contenues dans chaque section déterminée. Enfin, lorsque l'ensemble des matières d'un Chapitre se prête facilement à des subdivisions, celles-ci sont caractérisées par des titres séparés. Les premiers travaux de Cauchy ont été publiés dans les Mémoires des Savants étrangers (Académie des Sciences) et dans le Journal de V École Polytechnique. On en trou^ vera aussi un certain nombre dans le Bulletin de Férus* sac, dans le Bulletin de la Société Philomathique et dans les Annales de Gergonne. A cette première période se rattachent encore plusieurs ouvrages classiques composés à l'occasion des leçons données à^TEcole Polytechnique; ce sont principalement : le Cours' d'Analyse, \e Résumé des Leçons sur le Calcul infinitésimal, les Leçons sur le Calcul différentiel et les Leçons sur les applications du Calcul infinitésimal à la géométrie. A partir de 1 825, on trouve ub certain nombre de Mémoires détachés : le Mémoire t sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires», le Mémoire « sur les applications du calcul des résidus àdiverses questions de Physique mathématique » , et un autre concernant la < théorie des équations algébriques ».Eb même temps Camîhy publiait, sous le titre d'Exercices de Mathématiques, ur\ recueil périodiquequi fut brusquement interrompu en i83o sous Tinfluencedes événements politiques. Pendant son séjour à Turin, Cauchy composa les

e contente d'ajouter cette phrase : c nec existimo pulihrius aut generalius in numeris posse dari theorenia, ïujus demonstrationein margini inserere nec curât, nec raôat. > Parmi ces théorèmes nous remarquerons surtout e suivant : c Tout nombre est triangulaire ou composé le 2^ 3 triangulaires; carré ou composé de 2, 3, 4 carrés; pentagone ou composé de 2, 3, 4» 5 pentagones et ainsi ie suite. > Ce théorème a été démontré pour la première fois par Gauchy dans un beau Mémoire présenté à l'Académie des Sciences en 181 3; il l'a de plus complété en lui donnant une forme plus précise «t^n faisant voir généralement que : c Tout nombre peut être décomposé en m nombres polygones de m côtés, qui, à l'exception de quatre, sont zéro ou l'unité. »

Le dernier théorème de Fermât a pour objet la résolution en nombres entiers de l'équation :

Fermât affirme que le problème est impossible pour tout exposant autre que 2. Euler a montré en effet l'impossibilité pour 7w = 3, Legendre pour m = 5, M. Lejeune-Dirichlet pour m = i4, M. Lamé pour le cas de 1^1= y, qui comprend le précédent; enfin plus récemment Bf.Kummer, dépassant de beaucoup ces résultats, a prouvé l'impossibilité de l'équation pour une infinité de nombres premiers, et notamment pour tous ceux qui n'excèdent pas 100 ; mais la démonstration dans le cas général reste encore à trouver.

Parmi les savants qui ont le plus avancé la théorie des tiombres après Fermât, il faut citer Euler, Lagrange, Le- ^ndre, et surtout l'illustre Gauss, qui a conquis dans cette étude difficile un de ses plus beaux titres de gloire.

Il fut conduit, comme il le rapporte lui-même, à s'occuper

4 TRAVAUX d'aUGUSTIW CAT3CHY,

(le cette matière, par la découverte accidentelle de quelques propriétés qui lui parurent ouvrir la voie à d'autres propriétés plus générales. Après cinq ans de recherches approfondies, il publia, en 1801, son livre célèbre des Disquisitiones Arithmeticœ. Les premiers chapitres ont pour objet la théorie des congruences du premier et du second degré et les propriétés des résidus des puissances; viennent ensuite les formes et les équations indéterminées du second degré avec leurs diverses applications. Mais la partie de l'ouvrage qui, sans être la plus importante, a d'abord le plus vivement frappé l'attention des géomètres, est celle qui traite de la résolution des équations binômes et des singulières propriétés de leurs racines. Ces équations avaient déjà occupé plusieurs savants, et Ton savait les résoudre jusqu'à celle du onzième degré que Vandermonde avait analysée par des procédés particuliers. Gauss traita la question dans toute sa généralité et en déduisit une foule de propriétés utiles concernant la théorie des nombres. L'une de ses idées les plus ingénieuses consiste à ranger les diverses racines de l'unité qui se reproduisent par leurs puissances, non pas suivant l'ordre successif des puissances, qui pouvait sembler au premier abord le plus naturel, mais dans un ordre tel que chacune d'elles soit toujours une même puissance de celle qui précède; et cette disposition met facilement en évidence diverses propriétés caractéristiques, auparavant cachées. L'une des applications les plus intéressantes de la théorie des équations binômes concerne la division du cercle en parties égales au moyen de la règle et du compas. Les anciens savaient inscrire les polygones de trois et de cinq côtés : les procédés élémentaires delà géométrie suffisent pour cet objet; mais, pour généraliser la solution, il faut P recourir à certaines propriétés très-délicates des nombres.

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^.ujourd'hui on sait résoudre le problème pour une infilité de polygones; il suffit que le nombre des côtés soit m nombre premier et soit en outre égal à une puissance le 2 augmentée d'une unité; les moindres nombres qui satisfont à cette double condition sont : 3, 5, 17, et 257. Cauchy s'occupa à diverses reprises de la théorie des équations binômes. Son attention se porta surtout sur l'analyse des fonctions symétriques et des sommes alternées qu'on peut former avec leurs racines; il fut ainsi conduit à donner une extension notable aux travaux de Gauss, et découvrit en même temps plusieurs propriétés nouvelles dont il enrichit la théorie des nombres. Citons en particulier la question difficile qui a pour objet de déterminer complètement les sommes alternées des racines primitives d'une équation binôme, ou, ce qui revient au mémey les sommes des puissances qui ont pour exposants les carrés des nombres inférieurs au module donné. Dans tes Disquisitiones y Gauss avait reconnu que, si le module est un nombre premier impair, le carré de la somme cherchée se réduira, au signe prës> au module, et sera positif ou négatif suivant que le module, divisé par 4t donnera 1 ou 3 pour reste ; mais, quand on revient du carré à la somme elle-même, on a un signe à déterminer, ce qui présente de grandes difficultés. Gauss avait résolu cette partie de la question dans son Mémoire intitulé: Summatio serierum quarumdam singularium; et M. Dirichlet en avait trouvé, de son côté, une autre solution, ^H s'appuyant sur des considérations empruntées à la Uléorie des intégrales définies. La méthode de Cauchy ^fTre l'avantage de résoudre la question sans employer les ^éries de Gauss, qui donnent lieu à une démonstration 'Ompliquée, et sans recourir au calcul intégral ; elle repose simplement sur une formule donnée par Cauchy

XX TRAVAUX d'Augustin caucht.