CHAPITRE III

SoMMAiaE. — Principes de l'Analyse infinitésimale. — Leibnitz, Newtoi. Euler, Lagrange. — Théorie de Cauchy fondée sur la considération de limites et sur la notion de la continuité des fonctions. — Analyse de> symboles imaginaires.

MÉMOIRES. — Ouvrages classiques sur l'Analyse, — Calcul Hifférendrl et intégral, — Calcul des variations. — Théorie fies imaginaires. - Ses applications. — Équivalences algébriques. — Quantités géométriques. —• Interpolation. — Résultats moyens, — Méthode des moiiidres carrés. — Fonctions interpolaires; leur usage dans la théorie de» fonctions symétriques. — Valeurs moyennes des fonctions, — Questinnt diverses. — Théorèmes d'Analyse et de Calcul intégral. — Fonctioosei équations symboliques. — Fonctions discontinues. — Coefficients fiinitateurs. — Usage des régulateurs en Analyse. — Ouvrages h consulter.

SOMMAIRE

Les principes sur lesquels repose l'Analyse infinitésimale ont été, à diverses reprises, l'objet spécial des méditations des savants. La question touche à ce qu'il y a de plus délicat dans la métaphysique des mathématiques et a été souvent résolue dans des sens très-différents. Newton rattachait sa méthode des fluxions à des considérations tirées de la Mécanique et du mouvement; mais le point de vue trop particulier auquel il se plaçait a été depuis longtemps abandonné. Il en a été de même du système peu commode de notations dont il faisait usage: celui qui a prévalu et qui subsiste encore aujourd'hui est dû à Leibnitz. Toutefois, l'œuvre du philosophe allemand a subi elle-même des modifications profondes dans la partie métaphysique. Leibnitz considérait les diflerentielles comme des accroissements infiniment petits

attribués aux variables, et appelait « équations différentielles > celles qui subsistent sous forme linéaire entre ces accroissements. Ces équations avaient le grave inconvénient de n'être exactes qu'au moment où les différentielles devenaient rigoureusement nulles, ce qui faisait disparaître à la fois et les différentielles et les équations ellesmêmes. L'exactitude et la clarté des démonstrations recevaient de là une atteinte sérieuse. Cette difficulté n'avait point arrêté Euler, qui n'hésitait pas à regarder les différentielles comme de véritables zéros ayant entre eux des rapports déterminés. Pour échapper aux embarras qui naissent de l'introduction de l'infini dans les formules, Lagrange entreprit de substituer, aux différentielles de Leibnitz, sa théorie des fonctions dérivées, au moyen de laquelle il espérait ramener l'Analyse infinitésimale à une question de pure algèbre. Mais sa méthode a été, dès son apparition, l'objet de critiques fondées. Elle repose sur ce principe que les accroissements des fonctions sont développables en série, suivant les puissances ascendantes de la variable, et, dans ce développement, la fonction dérivée est le coefficient de la première puissance de l'accroissement de la variable. Or, la possibilité d'un semblable développement est peu admissible à priori; loin de pouvoir servir de base à l'Analyse, il se présente au contraire comme une conséquence qui doit être établie avec le plus grand soin et qui, du reste, est sujette à de nombreuses restrictions. Aussi les principes du Traité des fonctions n'ont-ils pas tardé à tomber en désuétude.

Les méthodes actuellement suivies dans l'enseignement sont dues, en grande partie, à Cauchy ; elles reposent sur la considération des limites et sur une théorie nouvelle de la continuité des fonctions. Ses idées ont été publiées d'abord dans le Cours d'Analyse algébrique, en i Stai , puis

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reproduites et développées dans divers Mémoires. Cesi la première fois que les principes fondamentaux ducalcul différentiel ont été présentés d'une manière simple et entièrement rigoureuse. Les notions relatives à la continuité, si familières aujourd'hui y sont données avec une entière précision, et il suffirait d'ajouter au cours d'Analyse algébrique, et aux leçons de l'École Polytechnique, quelques pages du c Mémoire sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires », pour avoir, soos une forme élémentaire, ce qu'il y a de plus caractéristique et de plus essentiel dans Tart analytique, tel que nous Ta laissé le grand géomètre.

Ajoutons encore une remarque très-importaute, sur laquelle Cauchy revient constamment, et qui concerne les conditions sous lesquelles subsistent les formules dont on fait usage en analyse. Il ne faudrait pas croire, en effet, que ces formules aient une généralité indéfinie ; en réalité, elles ne sont applicables que sous certaines conditions et pour certaines valeurs des variables qu'elles renferment, ainsi qu'on peut le voir notamment dans la théorie des séries. Avant Cauchy, on s'inquiétait peu des difficultés de ce genre et l'on était au contraire disposé à accepter, comme des démonstrations absolues, les inductions tirées de la généralité de l'algèbre. De là, une foule d'erreurs commises par des savants illustres tels que Leibnitz, Euler, etc. ; aussi l'un des services les plus considérables que Cauchy ait rendus à la science, est précisément d'avoir contribué h rétablir sur ce point l'ordre et la rigueur. Nous ne pouvons entrer dans les détails:

citons seulement, à cause de sa célébrité et de son impor-

tance, cette remarque: que, la fonctions '*^* étant nulle, ainsi que toutes ses dérivées, pour a? = o, la série de Ma-

clauriii donnera, si l'on n'a pas égard au reste, le même résultat pour une fonction /(a;) et pour/(a:) + e ^\

Théorie des imaginaires, — Les quantités ou symboles imaginaires se présentent dès l'origine de l'algèbre; on les retrouve à chaque pas dans la théorie des équations, dans celle des séries, dans celle des fonctions; enfin elles s'imposent nécessairement aux géomètres toutes les fois qu'ils veulent donner à leurs recherches la généralité qu'elles comportent.

La première tentative de Cauchy pour établir une théorie rigoureuse des imaginaires est exposée dans son cours d'Analyse algébrique. Afin de faire disparaître ce qu'il y a d'arbitraire et d'obscur dans l'usage de ces symboles, et pour donner aux démonstrations toute l'exactitude qu'on exige en géométrie, il considéra les équations imaginaires comme des formules symboliques qui, prises en elles-mêmes, n'ont aucun sens, mais desquelles on peut déduire des résultats exacts en modifiant ou altérant', suivant des règles fixes, ou ces formules, ou les symboles

qu'elles renferment. Dès lors, le signe y — ^ devient simplement un instrument de calcul, dont l'introduction dans les formules permet d'arriver plus rapidement à la solution des questions proposées.

Plus tard, Cauchy entreprit de lever d'une autre manière les difficultés inhérentes aux expressions imaginaires, en les rattachant à la théorie des équivalences algébriques. Si deux fonctions 9 [x], ^ (a;), divisées par une troisième fonction is [x], donnent des restes égaux, on dira que ces deux fonctions sont équivalentes par rapport au diviseur is^x)^ et l'on écrira :

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Cette notation, déjà employée par M. Kummer, constitoe une équivalence algébrique. Cauchy montre comment on peut substituer ces équivalences aux équations imaginaires; il en déduit sans difficulté les propriétés essentielles des modules, et en fait ressortir l'utilité au moven d'applications nombreuses, soit à l'analyse des sections angulaires, soit à la théorie des équations algébriques. Toutefois, Cauchy reconnaît lui-même qu'il est préférable de recourir à une autre méthode fondée sur l'interprétation géométrique du symbole a -f- 6 V — i •

Âpres avoir perfectionné de diverses manières la théorie des imaginaires, sous le rapport analytique, Cauchy essaya, en effet, d'en donner une interprétation géométrique. Cette dernière méthode, qui est de beaucoup la plus parfaite et la plus féconde en résultats, a définitivement prévalu, et Cauchy, après diverses tentatives, avait fini par l'adopter exclusivement. On doit consulter surtout, à ce sujet, un long Mémoire sur les quantités géométriques [Nouç. Ex., t. IV, p. 167 et suiv.). Cauchy expose d'abord en quelques mots ce qui avait été fait avant lui : « La théorie des expressions imaginaires, dit-il, a été, à diverses époques, envisagée sous divers points de vue. Dès l'année 1806, M. l'abbé Buée et M. Argand,

en partant de celte idée que y — 1 est un signe de perpendicularité, avaient donné, des expressions imaginaires, une interprétation géométrique contre laquelle des objections spécieuses ont été proposées. Plus lard, M. Argand et d'autresauteurs,particulièrementMM. François, Faure,Mourey, Vallès, etc., ont publiédes recherches qui avaient pour objet de développer ou de modifier rinlerprétalion dont il s'agit. Une grande partie des résultats de ces recherches avait été, à ce qu'il parait, obtenue avant le siècle présent, et dès l'année 1 786, par

un savant modeste, M. Henri-Dominique Triiel, qui, après les avoir consignés dans divers manuscrits, les a comipuniques, vers Tannée 1810, à M. Augustin Normand, constructeur de vaisseaux au Havre. Dans mon Analyse algébrique, publiée en 1821, je m'étais contenté de faire voir qu'on peut rendre rigoureuse la théorie des expressions imaginaires en considérant ces expressions et ces équations comme symboliques; mais, après de nouvelles et mûres réflexions, le meilleur parti à prendre me paraît

être d'abandonner entièrement l'usage du signe \/—i et de remplacer la théorie des expressions imaginaires par la théorie des quantités que j'appellerai géométriques, en mettant à profit les idées émises et les notations proposées, non-seulement par les auteurs déjà cités, mais aussi par M. de Saint-Venant, dans un Mémoire digne de remarque sur les quantités géométriques. >

Voicii du reste, en quoi consiste l'idée fondamentale de cette théorie. Une expression imaginaire peut généralement se mettre sous la forme : r(cos/? 4- V— I sin/?),rdésignant le module et /^l'argument. Cela posé, l'argument/? détermine une certaine direction de droite à partir d'une origine 0, et, sur cette droite, le module rfixe la position d'un certain point A. La droite OA, ainsi définie en grandeur et en direction, sera une quantité géométrique et donnera la représentation géométrique de l'expression imaginaire. L'étude de ses variations se trouve dès lors ramenée à l'étude des variations d'un point dans un plan et se traite par les procédés ordinaires de l'Analyse. Les mêmes considérations s'étendent du reste à la représentation des fonctions imaginaires ; elles ont donné à Gauchy le moyen de perfectionner, d'une manière inattendue, une foule de théories et de les amener à un degré d'exactitude

20 TRAVAUX d' AUGUSTIN CAUCHY.

et (le géDéralité qu'on ne soupçonnait même pas avant loi. Il convient d'ajouter que Gauss avait adopté la mènK interprétation géométrique et suivi exactement la méffie voie dans les beaux Mémoires cités par Caucliy et consacrés à la démonstration du théorème fondamental de la théorie des équations algébriques, à savoir que toute équation admet une racine imaginaire delà foroie

a -h i\/-- 1. L'un de ces Mémoires se termine mêmcp une indication rapide des questions relatives aux fonctions à détermination multiple, qui devaient devenir l'occasion des plus grandes découvertes de Caucby ; c'est là un des points ou l'on peut dire que ces deux grands géomètres se sont touchés de plus près. Mais la notion fondamentale des intégrales prises entre des limites imaginaires a entièrement fait défaut à Gauss; aussi a-t-il laissé au géomètre français, en Analyse, une supériorité égale à celle qu'on doit lui reconnaître et lui accorder sans contestation, en ce qui concerne la théorie des nombres.

Interpolation, — Dans les applications de l'Analyse ii la Géométrie, à la Mécanique, à la Physique, etc., on a deux sortes de problèmes à résoudre. Il faut, en premier lieu, trouver les équations générales qui existent entre les divers éléments de la question et qui font connaître les lois mathématiques des figures ou des phénomènes étudiés. Ces équations renferment habituellement un certain nombre de constantes arbitraires ou de paramètres qui doivent ensuite être déterminés séparément. A cet effet on supposera qu'on ait recueilli une série d'observations ou d'expériences dont on introduira les résultats numériques dans les équations générales. On obtiendra ainsi un ensemble de relations qui permettront alors de calculer les valeurs des constantes. Le nombre de ces re-

lationsde condition devra être au moins égal au nonibre des constantes, et dans le cas où il lui sera supérieur^ il s'iâgira de les conrjbiner de manière a réduire le plus possible les erreurs probables des expériences. Tel est le problème général de l'interpolation. Pour le résoudre, on possédait deux méthodes principales, la méthode des différences etcelledeLagrange; maiselles étaient sujettes à divers inconvénients. La première suppose que les valeurs attribuées à la variable indépendante soient équidistantes, ce qui est un cas exceptionnel. La formule de Lagrange, à la vérité, n'exige pas cette restriction et est directement applicable à des séries ordonnées suivant les puissances de la variable; mais si Ton veut atteindre une grande précision, il faut conserver dans la série un nombre considérable de termes, et alors on est conduit a des calculs d'une longueur excessive. En outre, les approximations successives s'obtiennent par des opérations à peu près indépendantes les unes des autres; de sorte que, plus on avance, plus les calculs se compliquent, sans qu'on puisse profiter des calculs antérieurs. . Amené, par suite de ses recherches sur la théorie de la lumière, à s'occuper de cette question, Cauchy trouva une méthode qui n'a pas d'inconvénients semblables et qui offre d'ailleurs des avantages nombreux. En premier lieu, ses formules se prêtent facilement aux calculs logarithmiques et s'appliquent aux développements en séries, quels que soient le mode de subdivision de la variable indépendante et la loi suivant laquelle les termes de la série se déduisent les uns des autres. En outre la détermination des approximations successives se fait avec une facilité de plus en plus grande, attendu que les différences des divers ordres dont on fait usage vont généralement en diminuant. Les formules étant disposées de manière

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qu'on puisse y introduire tous les nombres donnés parlo diverses observations, on fait ainsi concourir toutes les expériences au calcuU ce qui permet d'arriver àjine plus grande exactitude. A cbaque approximation, le> valeurs obtenues sont précisément celles pour lesquelles la plus grande erreur à craindre est la moindre possible. Les formules indiquent d'elles-mêmes le moment où le calcul doit s'arrêter, en fournissant alors des différences comparables aux erreurs d'observation. Enfin les quantités qu'elles déterminent satisfont à des équations de condition qui ne permettent pas de commettre la plus légère faute de calcul sans que l'on s'en aperçoive immédiatement.

Cette méthode a été appliquée par Cauchy au calcul des expériences de Frauenhofer, dans son travail sur la dispersion de la lumière. Elle a été employée ensuite par divers savants, et a donné à M. Le Verrier l'idée des procédés nouveaux dont il s'est servi pour la détermination des coefficients numériques dans le développement de la fonction perturbatrice. [VoirC. M. : 1841, 2^sem., p. 700.)

MÉMOIRES

OUVRAGES CLASSIQUES SUR l'aXALYSE.

Cauchy a publié sur l'analyse, pendant la période de son professera: plusieurs ouvrages classiques dont voici les titres :

Cours (PJ naïf se de r École royale Polytechnique. — i vol., 1821.

Résumé des leçons données a l'École royale Polytechnique sur If calcul injinitésimal. — i vol., 1823.

Leçons sur le calcul différenticL — 1 vol., 1829.

Leçons sur les applications du calcul infinitésimal à la géométrie, — a vol., 1826 et i 828.

11 faut y joindre :

Le Recueil des Résumés analytiques^ publié à Turin. — Cinq livraisons, 1833.

Ces divers ouvrages ont pour objet l'exposition des idées et des méthodes nouvelles que Cauchy a introduites en Analyse; nous nous bornerons à donner une indication sommaire des matières traitées dansu le Cours d'Analyse, qui est la plus importante de ces publications :

Hevue préliminaire des fonctions élémentaires et réelles, que l'on considère en Algèbre et en Trigonométrie.

Des quantités infiniment petites ou infiniment grandes. — Définition de la continuité des fonctions. — Valeurs singulières des fonctions. — Détermination de la valeur des fonctions qui se présentent sous une forme indéterminée.

Fonctions symétriques. — Fonctions alternées. — Fonctions homogènes. — Problème de l'interpolation.

Détermination des fonctions continues, d'une seule variable, propres à vérifier certaines conditions.

Théorie des séries. — Séries convergentes ou divergentes. — Règles de convergence. — Séries alternées. — Séries composées. — Séries ordonnées suivant les puissances d'une variable.

Expressions imaginaires. — Propriétés de leurs modules. — Formule de Moivre et racines imaginaires de l'unité. — Développements trigonométriques. — Fonctions imaginaires. — Extension des opérations élémentaires à ces fonctions. — Continuité des fonctions imaginaires. — Détermination des fonctions imaginaires d'après certaines conditions. — Séries •imaginaires convergentes ou divergentes. — Série des modules. — Théorie des logarithmes imaginaires et des exponentielles trigonométriques.

•Résolution des équations algébriques. — Théorème fondamental. — Équations binômes et trinômes. — Équations du troisième et du quatrième degré.

Développement des fractions rationnelles en fractions simples. — Séries récurrentes.

Neuf Notes relatives aux objets suivants : Théorie des quantités positives ou négatives. — Théorie des inégalités et des valeurs moyennes — Résolution numérique des équations ; limites et approximation des racines. — Formule d'interpolation de Lagrange. — Nombres figurés. — Séries doubles. — Développements trigonométriques. — Propriétés des produits composés d'un nombre infini de facteurs.

io TRAVAUX d'aUGUSTIN CAUCIIY.