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34 TRAVAUX d'aUGDSTIW CAUCHY.

C. R. : 4848, a* sem.^ passim, — Énoncés de divers Mémoires relalib k des questions d'Analyse.

C. R. : 4852, i**" sem,^ p. 265. — Siir l'application du calcul infinité' $imal h la détermination des fonctions implicites,

C. R. : 4853, a* sem., p. i5o. — Sur les coefficients limitateurs.

G. R. : 4854, i^ sem., p. 169.— Sur Vinduction en Analyse et sur l'emploi des formules symboliques,

C. R. : 4855, 1" sem,, p. a6i. — Sur les avantages que présente Tintroduction d^un paramètre variable, et des notations propres au calad des variations, dans quelques-unes des principales fornudes ile l" Analyse infinitésimale,

C. R. : 4856, a* sem., p. 169. — Sur les produits symboliques et les fonctions symboliques.

C. R. : 4856, a* sem,, p. a6i. — Sur la transformation des fonctions symboliques en moyennes isotropiques.

C. R. : 4857, i" sem,, p. 849. — Sur les avantages que présente Ventploi des régulateurs dans l'analyse mathématique.

Su i Metodi analitici. — Mémoire publié à Milan dans le recueil intitulé : Biblioteca Italinna.

Dei metodi analitici Mcmoria. — Roma, i843.

Ouvrage! à ooniulter.

Traité de calcul différentiel et intégral, d'après les méthmles de Cauchy, par M. l'abbé Moigno.

Traité du calcul des variations, par le môme auteur.

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3G TRAVAUX d'aUGUSTIW CAUCHY.

avec beaucoup de réserve, laissent toujours à désirer des démonstrations de leurs résultats. > Il fallait donc, avant tout, établir le passage du réel à rimagioaire, dans les intégrales, sur une analyse directe et rigoureuse; c'est ce que fit Cauchy dans un beau Mémoire sur les intégrales définies, présenté à l'Institut en i8i4- Les résultats de ses premières recherches lui permirent, dès Tannée suivante, de traiter avec succès la question difficile du mouvement des ondes; en outre, l'étude des anooialies que présentent les intégrales, dites singulières^ le conduisit bientôt au calcul des résidus, l'une des théories les plus utiles et les plus fécondes de l'Analyse. Quelques années plus tard, en iSsS, il réalisait un progrès plus essentiel encore, en publiant ses recherches sur les t intégrales définies prises entre des limites imaginaires. > Ce dernier travail, qui est un véritable chef-d'œuvre, a puissamment contribué aux perfectionnements de l'Analyse; il a été, en particulier, le point de dépari des nombreux travaux entrepris, depuis Cauchy, pour constituer avec un succès extraordinaire la théorie si délicate et si difficile des fonctions doublement périodiques. Les considérations relatives aux intégrales définies reparaissent d'ailleurs constamment dans la longue suite des Mémoires de Cauchy sur les diverses branches des mathématiques : sur l'Analyse pure, la Mécanique, la Physique et l'Astronomie. On peut donc dire que ses recherches sur cette matière sont le fondement principal de presque tous ses autres travaux. Il convient donc d'en présenter le résumé avec quelques détails propres à en faire ressortir toute l'importance.

Le Mémoire de i8i4 sur les intégrales définies fut composé par Cauchy à l'âge de vingt-quatre ans, à l'époque où, renonçant aux fonctions actives d'ingénieur, il

INT3ÉGRALES DÉFIIVIES ET RÉSIDUS. ?i'J

revint de Cherbourg à Paris, avec l'intention de se livrer exclusivement à l'étude et au progrès des sciences mathématiques.

Dans une première partie, Cauchy s'occupe de discuter av€c soin les équations qui autorisent le passage du réel à l'imaginaire. Sa méthode repose sur l'analyse des intégrales doubles; il donne, pour le calcul et la transformation de ces intégrales, un ensemble de règles, d'où l'on déduit ensuite une foule de formules utiles pour la détermination des intégrales définies simples.

Une intégrale définie double

' / /(^, z)dxdz

correspond, en géométrie, à la portion de l'aire d'une surface ayant pour équation j =f[x, z) et qui se projette sur le plan des xz suivant un rectangle déterminé. Quel que soit l'ordre dans lequel on effectue les intégrations, le résultat sera généralement le même, mais les deux opérations ne présentent pas toujours une égale facilité. Quelquefois on arrivera facilement au résultat final en commençant par l'une des variables, tandis qu'en commençant par l'autre on sera conduit a des transcendantes d'un ordre élevé. Dans ce cas, en exprimant que les formules définitives sont identiques, on obtiendra des relations qui permettront de déterminer la valeur de la fonction transcendante dont le calcul direct eût été souvent impraticable. Cette méthode était déjà connue des géomètres, mais Cauchy lui donne une extension nouvelle en cherchant, àprioHj les conditions auxquelles doit satisfaire une intégrale double pour que l'on puisse effectuer immédiatement la première intégration, soit par rapport à a?, soit par rapport a z. Il suffit pour cela de

38 TRAVAUX d' AUGUSTIN CAUCHY.

partir d'une différentielle exdiCie pdcc -+- qdz^ satisfaisant

par conséquent a la condition -^ = -^^y et de prendre

pour y la valeur commune de ces deux dérivées partielles.

Soit par exemple j une fonction quelconque de a: et de z, et Y une autre fonction de y, Texpressioa Yrf^sera une différentielle exacte et satisfera à la condition cidessus. Il en sera encore de même si Ton prend pour v

une valeur de la forme M + N^— i,MetN désignant deux fonctions réelles de œ et de z. Mais alors Téquation de condition se partage en deux autres par la séparation des parties réelles et imaginaires. Celles-ci, prises séparément, donnent deux expressions qui peuvent être substituées à la place dey, et si l'on effectue les intégrations, on obtient deux équations entre des intégrales définies relatives, les unes à la variable x, les autres à la variable z. On a ainsi un moyen très-fécond de transformation qui permet de déterminer un grand nombre d'intégrales particulières.

La méthode se généralise encore quand, après avoir fixé la nature de la fonction/, on la transforme au moyen des symboles imaginaires. Si l'on pose, par exemple, j =^cosr, /> et r désignant deux fonctions de a?, et si

l'on remplace ensuite oo par u -\- i^ yj—- i , l'équation se partagera d'abord en deux autres par la séparation des imaginaires. On remplacera ensuite cosr par son expression en exponentielles; il y aura alors un nouveau partage, ce qui produira en tout quatre relations entre des intégrales de forme déterminée. On aura en même temps l'avantage de rapprocher, et de rattacher à une source commune, des formules déjà connues pour la plupart, mais qui, ayant été obtenues par des procédés isolés,

INTÉGRALES DÉFIKIES ET RÉSIDUS. 'i^

n'étaient unies par aucun lien. Les relations auxquelles on arrive sont en général assez compliquées, mais on peut les simplifier au moyen de certaines hypothèses plus restreintes; on obtient notamment des résultats simples et élégants en prenant les limites des intégrales égales à zéro et à l'infini.

Dans la seconde partie de son Mémoire, Gauchy va plus loin, en développant une théorie qui lui appartient en propre et qui constituait, suivant les termes du rapporteur Legendre, t une véritable découverte en Analyse. » Il s'agit de la théorie des intégrales singulières, dont l'auteur devait tirer un si grand parti pour ses recherches ultérieures.

On a coutume de dire que, dans l'évaluation d'une intégrale double, l'ordre des intégrations est indifférent; toutefois cette proposition, vraie en général, est sujette à d'importantes restrictions. Gauchy commence par examiner certains cas où la règle est en défaut et montre que, non-seulement l'intégrale ne reprend pas la même valeur, mais qu'elle peut même se présenter sous une forme complètement indéterminée. Après avoir constaté le fait, il fallait en trouver la cause, en donner l'explication et évaluer les modifications résultant du changement d'ordre des intégrations. Gauchy fait voir que l'an^ malie se présente toutes les fois que, après avoir effectué

la première intégration, la fonction soumise au signe /

affecte une forme indéterminée pour des valeurs des variables comprises entre les limites de l'intégrale. Dans ce cas, d'ailleurs, l'indétermination est tout à fait distincte de celle qui se présente pour les fonctions d'une seule

variable sous la forme-; celle-ci n'est qu'apparente et l'analyse donne le moyen de la faire disparaître. Pour

4o TRAVAUX D* AUGUSTIN CAUCHT.

les intégrales, au contraire, l'indéterinination est souvent absolue, et on ne peut la lever qu'en établissant arbitrairement une relation entre les limites de riotégration partielle, qui, de leur nature, sont complètement indépendantes.

Cela posé, imaginons qu'on ait figuré, dans le rectangle de projection, le point auquel correspond l'indétermination, et qu'on ait tracé, autour de ce point, une aire infiniment petite o); l'intégrale singulière sera la portion de l'intégrale totale relative k cette aire ; c'est encore la limite de la valeur que prend Télénaent différentiel de la surface pour le point considéré, et cette limite dépendra généralement de la loi suivant laquelle on fera tendre vers zéro Taire élémentaire ». Soit x = a la valeur qui rend infinie une fonction 9 (â?), on posen

' (^{x)dx=j (^{x)dx-hj <^{x)dx

' 9 ( -3^ ) dx ;

les deux premiers termes du second membre constituent la \ai\euv principale de l'intégrale, tandis que le troisième représente l'intégrale singulière. 11 y a du reste trois cas à considérer suivant que Tindéterminalion se rapporte à un point situé à l'intérieur du rectangle de projection, ou sur l'un des côtés, ou bien encore à l'un des sommets. Le Mémoire est suivi de deux suppléments, dans lesquels l'auteur se propose de répondre à diverses objections qui lui avaient été adressées par Legendre; il est, de plus, accompagné de quelques Notes composées à l'époque de l'impression, en 1825, et destinées à compléter ou à justifier certains points de détail.

Mémoire sur les intégrales définies imaginaires. — Ce iMémoire peut être considéré comme le plus important ides travaux de Cauchy, et les hommes compétents n'hé- Bsitent pas a le comparer à tout ce que l'esprit humain a jamais produit de plus beau dans le domaine des sciences. |. Après avoir rappelé ses recherches antérieures sur les i intégrales définies prises entre des limites réelles, l'auiteur annonce qu'il va appliquer la même méthode aux } intégrales prises entre des limites imaginaires. Déjà [Laplace et d'autres savants, tels que MM. Brisson, Ostroi gradski de Saint Pétersbourg, avaient étudié les formules {de ce genre et en avaient déduit d'utiles résultats; mais [personne ne s'était encore occupé de définir exactement le degré de généralité que comportent ces intégrales et de préciser ou de classer le nombre des valeurs distinctes dont elles sont susceptibles. Tel est le point essentiel qu'il fallait d'abord éclaircir.

Pour définir l'intégrale

A + By^-i^ / f{z)dz

dans laquelle on suppose 2 = x + j v/ — i , on la considérera comme la limite de la somme de ses éléments difierentiels. On introduira en outre une variable auxiliaire /et l'on posera x=-(f[t), y= ^ {t), 9, ^ désignant deux fonctions de forme arbitraire. L'intégrale se présentera alors sous la forme

Si l'on admet que la fonction / reste finie et continue entre les limites de l'intégration, on démontre, par les

4^ TRAVAUX d'Augustin cauchy.

principes du calcul des variations, que la valeur de Fiitégrale est indépendante des fonctions 9 et ij^ ; ou bin encore, en se reportant à la théorie géométrique des symboles imaginaires, qu'elle est indépendante ducoitour suivi dans l'intégration. On supposera en seconl lieu que la fonction / devienne infinie entre les mènes

limites, on désignera par a-h b \/— 1 Tune des raeines simples de l'équation ^r— r = o, et Ton représentera parî

la limite vers laquelle tend l'expression g/ (a -f-iV — '"*"=! quand e tend vers zéro. On trouvera alors que Tint^rak

prend une nouvelle valeur A' -h B' y/ — i , et si on la compare à la valeur précédente, on aura la relation fondamentale :

A'4.B'^^-(A4-Bv^^=±7rF y/^.

Le double signe du second membre dépendra du sigw de la variation (p'&^ — ^'^(p. Enfin si l'on désigne par ^//j B//y/ I Ç.Q qyg devient l'intégrale quand c^çel^y changent de signe, on aura

Lorsquea-4- è\/— 1 est une racine multiple de Tordre m, il faut substituer a la fonction F une dérivée de ronlr^ m — i, et Ton obtient la nouvelle formule :

Az^A^4-B^/=^-(A- + Bv^)==i= ^^J"^'V^-',.

Si, de plus, la fonction/(5) passe plusieurs fois par Tinfini entre les limites de Tintégralion, on obtiendra une série de termes de même forme, et Ton aura la formule

générale :

A = ±27r(F,-hF,H-F3-+-...)v/"-i-

Considérons maintenant un rectangle dont les sommets extrêmes A et B auront pour coordonnées ^o Jo>^4 Ji ♦ Vest-à-dire les valeurs de a?, y qui limitent l'intégration. On pourra passer de A à B en suivant une infinité de contours. Si Ton suit Ta diagonale AB, on aura la valeur '^moyenne de l'intégrale; si l'on suit les contours mêmes du rectangle, on aura les valeurs extrêmes. Quant aux ^.intégrales relatives à deux contours intermédiaires, elles '" auront la même valeur si la fonction /{z) ne devient in- ^' finie pour aucun des points situés sur ces contours ou "•^ compris entre eux. Dans le cas contraire, l'intégrale prendra des valeurs distinctes dont la différence sera déterminée par la formule précédente. Enfin, si quelqueslins des points critiques sont situés sur les contours euxmêmes, la différence entre les deux valeurs de l'intégrale ^e présentera généralement sous une forme infinie ou indéterminée.

Après avoir exposé les principes de sa théorie, Cauchy passe aux applications. Supposons par exemple que l'on compare les valeurs extrêmes des intégrales, on aura la formule :

f[x-^y\sl—i)dx'\-^—i ï f[xy-\'xsj'-'i)dy

jr*x^ r*J\

Celle-ci subsiste pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de jz, et elle équivaut à deux équations distinctes par la séparation des imaginaires; on peut ainsi en dé-

44 TRAVAUX d' AUGUSTIN CAUCHY.

duire une foule de résultats utiles entre des expression 1ti< réelles. On trouve dans le Mémoire de Cauchy des appii- \t\ cations nombreuses de sa méibode; on remarque» et I d particulier les résultats qui correspondent au casoiiks|f limites de l'intégrale sont zéro et l'infini.

Lorsque la fonction/ s'évanouit pour jc" = it x qnd que soit y, et pour j = rb oo quel qjie soit a?, la formok générale se réduit simplement à A= o. Si Ton suppose, de plus, que la fonction/ soit rationnelle, on en conclut la formule d'interpolation de Lagrange.

Si l'équation -jrr-, = o admet une infinité de racines,

ainsi que cela a lieu pour certaines équations transceodantes» la formule générale renferme une infinité de termes et peut être appliquée avec avantage à la somnl^ tion de certaines séries; ce dont Cauchy donne ploFienn exemples remarquables.

Il était ensuite naturel de rechercher si les mêmes principes étaient applicables à la détermination et à la transformation des intégrales doubles ou multiples prises entre des limites réelles ou imaginaires. Cauchy aflBrme qu'il en est ainsi, mais ses prévisions n'ont pas encore été réalisées; l'extension dont il s'agit est sujette à d'immenses difficultés et n'a pu être effectuée, ni par Cauchy. ni par d'autres, de sorte que le problème demeure intact. Voici en quoi consisterait la question pour les intégrales doubles. On donne une intégrale

dz \ dz'f[z,z'),

a Ja'

on pose

/et M désignant des variables réelles; ç, 4'>?i, J'i desfonc-

-^ens réelles, mais arbitraires. Cela posé, il faudrait re- ;^hercher l'influence de cette substitution dans l'intégrale ■iouble et analyser ce qui arrive quand la fonction/ ^»asse par l'infini ou par des valeurs indéterminées. Un problème analogue, et lié intimement au précédent, au- =fait pour objet l'étude des intégrales portant sur des ajAifférenti elles totales de la forme

C(Vdz-hQdz'),

P et Q désignant deux fonctions des variables z et z\

Calcul des résidus. — Le calcul des résidus, qui joue ilD si grand rôle dans la plupart des travaux de Cauchy, «e rattache intimement à la théorie des intégrales défiilies; on en verra des applications nombreuses dans les chapitres suivants; pour le moment nous nous bornerons ^ donner une Idée des principes sur lesquels il repose.

Supposons qu'une fonction/(a:) devienne infinie pour

37 = a et que a soit racine simple de l'équation -jri— = o,

rexpression (^— cl) f[^) aura généralement une valeur déterminée pour x=i a. Ce sera le résidu de la fonction proposée pour x=^a^ et on le représentera par la notation

Si la quantité a est, au contraire une racine du degré m de multiplicité, le résidu sera la valeur finie vers laquelle tend l'expression {x — a)^f[x) pour x^=^ a. Celte définition même indique la marche à suivre pour la

détermination du résidu. On posera -^ ^ = y (a?), et

comme ce quotient ne devient plus infini pour a? = a, on

46 TRAVAUX d'aUGUSTIN CAUCHT.

pourra le développer au moyen de la série de Taylor;M divisera tous les termes par {jc — a)*", et, dans le dw l"^ loppement ainsi préparé, le coefficient du terme qulip"^

x — aeiï dénominateur sera le résidu cherché. On écrin: Y^*-

^ [[x — a)] i.2.3...(m— I) jj^]

\d'^'{f(x)[x^aY\\