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Telle est la notation fondamentale introduite parCaad; 1^ dans sa théorie des résidus, dont les applications embr» ■ ^' sent toute l'Analyse.

Le germe de cette théorie se trouvait déjà, ainsi que Cauchy l'a remarqué, dans un Mémoire d'Euler inâtulé : Nova Methodus fractiones quascumque rcuionaksih fractiones simplices resobendi^ et inséré dans les Actes de l'Académie de Saint-Pétersbourg pour Tannée 1780. Mais Ëuler n'avait pas aperçu les conséquences qu'on pouvait en déduire; il lui manquait pour cela la connaissance des relations qui existent entre les résidus et les intégrales définies. Cauchv, au contraire, à la suite de ses beaui travaux sur les intégrales définies, contenus principale ment dans les deux Mémoires de 1814 et de iSaS que nous avons cités précédemment, se trouvait en mesure d'approfondir la question et d'en donner une solution complète. Ses premières recherches sur les résidus sont exposées dans le recueil des Anciens Exercices ^ année 18:26. où l'on trouve les principes mêmes du nouveau calcul ainsi que de nombreuses applications; nous le verrons bientôt faire un usage continuel de ce calcul pour la solution des questions les plus difficiles et les plus variées. Parmi ces applications, nous devons citer en parliculier: la décomposition des fractions rationnelles en fractions

INTÉGRALES DEFINIES ET RESIDUS. 4?

Hfiples, la formule d'interpolation de Lagrange, le calcul ^s fonctions symétriques, la résolution des équations ^ébriques et transcendantes, le développement des ^notions en séries, la détermination des intégrales défiies, l'intégration des équations différentielles, et enfin ^ nombreuses applications à la solution des problèmes ^ Physique mathématique.

L'usage du calcul des résidus ne s'est pas généralisé armi les géomètres autant que l'importance de cette léthode le ferait désirer; il faut l'attribuer sans doute ux notations un peu compliquées dont se servait Cauchy ; (laîs ces notations pourraient être notablement simpliiées» et la nature des résultats obtenus montre assez uel avantage il y aurait a introduire ce calcul dans Analyse d'une manière définitive.

MÉMOIRES