PREMIÈRE PARTIE

Recherches sur les séries. — Des séries chez les anciens et chez les modernes. — Questions qui se rattachent à cette théorie. — Cauchy établit les conditions de leur emploi. — Laplace et la Mécanique céleste. — Théorie des imaginaires. — Leur application à l'étude des équations algébriques. — A l’étude des fonctions de tous les ordres. — Calcul des résidus.- — Relations entre la science pore et la science appliquée. Travaux astronomiques. — M. Le Verrier et la planète Pallas. — Analyse et Géométrie. — Rapprochement entre Gauss et Cauchy.

Après avoir raconté les circonstances principales de la vie d’Augustin Cauchy, le moment est venu de faire connaître ses travaux scientifiques, et de caractériser au moins la nature et l’étendue de ses nombreuses découvertes, dont on trouvera le détail dans le second volume de cet ouvrage. Nous diviserons cette exposition en deux Parties : la première comprendra les recherches. qui se rapportent plus particulièremertt à l’analyse pure; la seconde aura pour objet celles qui concernent les sciences naturelles, telles que la mécanique moléculaire et la physique mathématique. Nous ne reviendrons pas, du reste, sur les Mémoires de Cauchy antérieurs à son entrée à l’Académie ; il en a été parlé précédemment.

La théorie des séries se présente d’abord comme la base et le point de départ de ses principaux travaux; c’est donc le premier sujet qu’il convient d’examiner.

La connaissance et l’usage des séries remonte très-loin dans l’histoire des sciences. Les géomètres de l’antiquité en faisaient un usage continuel dans leurs investigations, et, à vrai dire, le premier homme qui s’occupa de l’art décompter inventa la première série. La suite naturelle des nombres entiers n’est pas autre chose, en effet, qu’une. série, et la théorie de la numération est une des questions les plus utiles et les plus délicates qüe les anciens calculateurs aient eu à traiter. Toutefois, pour rencontrer des applications d’un ordre plus élevé, il faut arriver jusqu’à Archimède; c’est à lui qu’on doit la sommation des progressions, l’étude des propriétés de la spirale, la mesure du segment parabolique, celle du volume de la pyramide, et encore la détermination du rapport de la circonférence au diamètre. L’importance de ces premiers résultats aurait dû montrer dès lors tout le profit qu’on pouvait tirer de l’étude de cette branche naissante de l’analyse, mais Archimède ne fut pas compris de ses contemporains et se vit même en butte à leurs contradictions. Les sophistes de son temps allèrent jusqu’à accuser ses méthodes de fausseté. Leurs principales objections portaient sur l’introduction de la notion de l’infini dans les raisonnements, et le singulier paradoxe d’Achille aux pieds légers, poursuivant une tortue sans pouvoir jamais l’atteindre, donne une idée des arguments peu judicieux qu’on lui opposait.

Toutefois des objections plus sérieuses, auxquelles on ne savait pas répondre avec assez de netteté, inquiétaient les savants et retardèrent pendant des siècles les progrès de l’analyse. C’est au xvn c siècle seulement qu’on reprit

l’étude des séries, et on sera peut-être moins étonné de voir la science arrêtée par des difficultés mal fondées, lorsqu’on apprendra combien cette importante théorie fut peu comprise par la plupart des savants modernes. La division des polynômes conduit Vièle aux séries récurrentes; en étudiant le calcul des différences finies, Stirling et Taylor découvrent la série bien connue en analyse sous le nom de série de Taylor; de leur côté, Bernoulli, Euler, Leibnitz, appliquent les séries à l'élude des fonctions transcendantes, et cependant aucun ne se préoccupe de définir les conditions auxquelles doivent satisfaire les formules dont ils font usage. Le plus souvent, il est vrai, les résultats de leurs calculs sont exacts, mais quelquefois aussi ils sont conduits à des conséquences erronées, et, lorsqu’ils rencontrent la vérité, c’est en quelque sorte par aventure et comme h leur insu. On peut donc dire que, jusqu’au commencement de ce siècle, la plus grande confusion régnait dans la théorie des séries. Cauchy entreprit le premier de remédier à ce désordre. Dans une science qui est le type des sciences exactes, il eut l’heureuse fortune de reconnaître et de combler, sous le rapport de l’exactitude, une lacune immense laissée par Newton, Leibnitz, Euler et Lagrange.

C’était rendre aux savants un service des plus signalés, car les développements en séries infinies se rencontrent à chaque instant dans les questions les plus importantes des mathématiques pures ou appliquées. Il n’y a qu’un ’ très-petit nombre de problèmes qu’on sache résoudre au moyen des formules élémentaires de l’analyse, en se bornant par exemple aux fonctions algébriques ou circulaires; tous les autres conduisent à des fonctions d’un ordre plus élevé, qu'il n’est pas possible, du moins dans l’état de la science, d’étudier sous leur forme synthétique

et complète. On est alors obligé de recourir à des développements en série, et, par ce moyen, on obtient une foule de résultats utiles.

Souvent aussi il arrive qu’une question se compose de divers éléments dont l’importance est très-inégale; on la résout alors par des approximations successives, en tenant compte progressivement de ses divers éléments suivant leur ordre de grandeur. Dans une première approximation, on se contentera des éléments essentiels; on corrigera ensuite les résultats obtenus en se servant des éléments du second ordre, et l’on continuera ainsi jusqu’à ce qu’on ait atteint le degré d’exactitude nécessaire. Cette méthode conduit à une suite de calculs qui se développent d’après des procédés réguliers et uniformes, dont l’ensemble se rattache encore à la théorie des séries.

Mais, parmi toutes les branches des sciences mathématiques, il n’en est peut être pas où l’on fasse un emploi plus constant de ces formules que dans l’astronomie. Le problème des mouvements célestes se présente au premier abord comme étant des plus faciles. Les lois de ces mouvements ont été, depuis longtemps. déjà, assignées par Képler et Newton, et il semble que ces lois simples et élémentaires doivent donner immédiatement la solution de toutes les questions astronomiques. Toutefois, en examinant la chose de plus près, on rencontre bientôt des difficultés qui avaient échappé à un premier aperçu et qui, en s’accumulant, conduisent à des travaux immenses et à des calculs presque inextricables. Il suffit, pour en juger, de jeter un coup d’œil dans ces énormes volumes où des pages entières sont remplies par une seule formule, et où l’on trouve à chaque pas un étalage effrayant de chiffres et de notations algébriques. La raison en est cependant facile à comprendre. Si les planètes

étaient complètement indépendantes les unes des autres dans le ciel, on les verrait se mouvoir en suivant exactement les lois élémentaires, et chacune décrirait autour du soleil son orbite elliptique. .Mais tous les corps célestes sontsolidaires; ils sont unis entre eux par les liens invisibles mais très-réels de l’attraction universelle ; on ne peut faire subir un changement à l’un d’eux sans que tous en ressentent immédiatement le contre-coup; de là des écarts, des perturbations, qui modifient à chaque instant le mouvement primitif, et dont le calcul est extrêmement compliqué quand on veut avoir égard à toutes les causes dont l'influence peut être sensible. Heureusement ces causes 11’ont pas toutes la même importance; elles diminuent très-rapidement avec la masse et la distance. Dans une première approximation, on aura donc seulement égard à l’action des astres les plus gros et les plus rapprochés; mais, si l’on veut arriver a une grande exactitude, il faut ensuite tenir compte des influences secondaires, et c’est précisément là que surgissent les difficultés.

Une condition essentielle, à laquelle doivent satisfaire les séries dont on fait usage en ces diverses circonstances, c’est d’être convergentes, c’est-à-dire de se rapprocher de plus en plus d’une limite déterminée à mesure qu’on prend un nombre de termes de plus en plus grand. On appelle, au contraire, séries divergentes celles dont les termes, en s’accumulant, donnent des sommes indéfiniment croissantes. Il en est en quelque sorte des séries comme de ces verres d’optique qui, tantôt réunissent les rayons lumineux en un foyer commun, et tantôt les dispersent en faisceaux divergents. Les séries convergentes, seules, peuvent être appliquées avec sûreté dans les calculs. Ce n’est pas que les séries divergentes ne puissent

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être utilisées, mais seulement dans des conditions toutes spéciales, et, si l’on s’en servait sans précaution, on tomberait dans d-es erreurs grossières.

Avant Cauchy cependant, personne ne s’inquiétait de cette question essentielle, et l’on adoptait avec une confiance aveugle les résultats vrais ou faux de théories incertaines. Il apprit le premier la nécessité de reconnaître, avant toutes choses, la convergence des séries, il signala les fautes graves auxquelles on s’exposait par cet Oubli, et s’occupa de fonder cette partie de l’analyse sur des bases solides et inattaquables. Tel est l’objet de divers Mémoires présentés à l’Académie des Sciences, vers 1 8ao. Ces recherches frappèrent vivement les savants, et leur inspirèrent de véritables alarmes sur ceux de leurs travaux où il était fait usage des séries. Le grand ouvrage de la Mécanique céleste, que Laplace venait de terminer récemment, reposait presque en entier sur des développements de ce genre; contester la légitimité de leur emploi et convaincre quelques-uns d’erreur, c’était ébranler par la base tous les travaux du savant géomètre et remettre en question toutes ses découvertes. Laplace eut donc un moment d’effroi. On raconte qu’au sortir de la séance où 'Cauchy avait exposé ses premières recherches, il rentra précipitamment chez lui et n’en sortit pas avant d’avoir vérifié la convergence de ses formules. A la vérité, son génie l’avait bien inspiré, car son ouvrage était irréprochable et sortait victorieux de l’épreuve, mais une défaite était possible et tenait en définitive à peu de chose. Que l’orbite de la terre, par exemple, au lieu d'ètre sensiblement. circulaire , eut affecté une forme un peu plus allongée, et tout l’édifice vie la Mécanique céleste tombait en ruines.

Parmi les plus belles recherches de Cauchy, il faut

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compter aussi celles qu’il entreprit au sujet de la théorie des quantités imaginaires. Cette théorie est la plus extraordinaire et en même temps la plus féconde de t’analyse. Ici le savant n’opère plus, ni sur des nombres, ni sur des quantités géométriques, ni même sur des quantités algébriques de valeur arbitraire, mais uniquement sur des signes et de purs symboles. Les expressions imaginaires en effet, auxquelles on donne quelquefois improprement le nom de quantités, ne sont autre chose que des symboles abstraits, n’ayant absolument aucun sens par eux-mêmes; et cependant, en les combinant suivant des lois déterminées, en les soumettant à une sorte d’analyse mécanique, on déduit, pour les quantités réelles elles-mêmes, des résultats d’une grande importance, qu’on chercherait vainement à démontrer de toute autre manière.

Si en littérature et en philosophie, ou dans toute autre partie des connaissances humaines, on raisonnait ainsi sur des fictions, ou si l’on essayait de tirer des conséquences de principes purement conventionnels, il est certain que les résultats obtenus inspireraient peu de confiance et qu’on ne s’arrêterait guère à des spéculations de cette nature; c’est pourtant ce que font constamment lès géomètres dans l’analyse des symboles imaginaires, et le succès de leurs recherches a dépassé toute prévisiou. 11 est juste d’ajouter que, dans les sciences mathématiques, on peut vérifier à chaque instant l’exactitude des formules obtenues, et que, si l’on n’avait pas cette ressource, on n’accepterait peut-être pas avec la même facilité les résultats d’une théorie qui semble au premier abord si téméraire. Avant Cauchy, la théorie des symboles imaginaires était pour ainsi dire dans l’enfance ; c’est lui qui, le premier, introduisit dans cette branche

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épineuse des sciences mathématiques une clarté et une rigueur auparavant inconnues. Entre ses mains, les symboles imaginaires se prêtent aux transformations les plus délicates et les plus variées, et deviennent le procédé de généralisation le plus puissant dont la science dispose.

A propos des imaginaires, il convient surtout de rappeler l’application qu’il en fit k l’analyse des équations algébriques. Citons, par exemple, le célèbre théorème, qu’on cherchait depuis si longtemps, sur l’existence, la nature et le nombre des racines des équations, et les diverses règles qu’il a posées pour déterminer le nombre des racines d’une équation entre des limites données, règles dont le théorème bien connu de Sturm n’est luimême qu’un cas très-particulier. Ces découvertes excitèrent vivement l’attention et l’émulation des géomètres. Cauchy y était arrivé par des considérations d’un ordre très-élevé et peu accessibles à la plupart des hommes livrés k l’étude des mathématiques; il importait donc de donner aux démonstrations une forme simple et commode afin de les faire entrer dans les éléments de la science ; c’est ce qu’entreprirent bientôt avec succès MM. Sturm et Liouville dans un de leurs plus beaux Mémoires. De son côté, Cauchy, sur la simple annonce de leur travail et avant d’avoir connaissance de leur Mémoire, donna lui-même une démonstration élémentaire qui est un modèle d’élégance et de simplicité.

Cette même théorie des imaginaires lui doit encore un autre perfectionnement essentiel. Frappé de l’inconvénient de laisser k ces expressions une signification toute symbolique, il eut l’ingénieuse idée de leur attribuer une interprétation géométrique. A chaque expression imaginaire il fait correspondre un point dans un plan; k me- !.. 9

LA VIE ü AUGUSTIN CAUCHY.

sure que les éléments varient, le point se déplace suivant une courbe, et il ne reste plus alors qu’à étudier les propriétés de la courbe décrite en appliquant les principes ordinaires de la géométrie analytique. En définitive, la question se trouve ramenée à l’étude du mouvement d’un point dans un plan. Ce mode de représentation, que le plus illustre géomètre de l’Allemagne, Gauss, avait découvert de son côté, est devenu aujourd’hui un procédé habituel et a servi de base à une foule de travaux de la part des savants les plus distingués.

Les recherches de Cauchy sur la généralité et la périodicité des Fonctions se rapportent encore au même genre d’étude. Elles se trouvent développées dans divers travaux, parmi lesquels on doit citer en première ligne le beau Mémoire sur les Intégrales définies prises entre des limites imaginaires ( i), que les hommes compétents considèrent, non-seulement comme le chef-d’œuvre du savant, maisencore comme une des plus admirables productions scientifiques de l’esprit humain. Malgré la nature tout à fait spéciale de ces recherches, je voudrais, à cause de leur importance exceptionnelle, essayer au moins d'en donner une idée; elles constituent certainement le plus beau titre de gloire de Cauchy, tant à cause de leur valeur propre qu’en raison de leur difficulté et des progrès merveilleux qu’elles ont réalisés dans l’analyse.

Rappelons d’abord un fait bien connu en mathématiques. Lorsqu’on étudie des fonctions d’une certaine espèce et qu’on les compare à leurs fonctions inverses, ces dernières se présentent ordinairement avec un caractère de généralité bien supérieur à celui des fonctions

(i) Publié en août i8»5.

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primitives. Ainsi, pour prendre un exemple simple, dans le cercle, un sinus est complètement déterminé par son arc; mais le retour du sinus à l’arc donne pour ce dernier une infinité de valeurs,, de sorte que le sinus se présente alors sous la forme d’une fonction périodique qui repasse une infinité de fois par les mêmes valeurs quand l’arc croit indéfiniment. Les fonctions, dites Elliptiques , possèdent des propriétés tout à fait semblables, et, de plus, Abel a démontré, dès 182G, qu’elles jouissent d’une double périodicité, l’une réelle et l’autre imaginaire. Considérons encore les fonctions appelées Intégrales. Celles-ci se présentent naturellement dans le calcul de L’aire des courbes, et, dans ce cas, elles ont une signification réelle et bien déterminée. Mais celte signification est-elle la seule dont elles soient susceptibles? Après l’avoir cru longtemps, les géomètres ont bien dû reconnaître qu’ils s’étaient trompés et qu’ils n’avaient envisagé qu’une face très-restreinte de la question. Assurément, la considération de ce point de vue particulier avait conduit à des résultats exacts et utiles, mais on avait limité gratuitement la généralité de l’analyse, et il en résultait, dans l’étude des fonctions, des anomalies analogues à celles qui surgissent dans la théorie des équations algébriques quand on essaye de l’établir en se bornant à l’emploi des quantités réelles et en excluant les symboles imaginaires. Telle était la lacune qu’il s’agissait de combler.

Déjà, au commencement du siècle, Laplace et d’autres savants de mérite, tels que MM. Brisson et Ostrogradski, s’étaient occupés avec succès de perfectionner l’étude des intégrales en les prenant entre des limites imaginaires; mais ils étaient bien loin d’avoir résolu définitivement la question, et Cauchy, en donnant le résultat de

l3a LA vie d’aegustin caechy.

ses recherches, pouvait affirmer, sans crainte d’étre contredit, que t ni leur travail, ni aucun des Mémoires publiés jusqu’à ce jour, sur les diverses branches du calcul intégral, n’avait fixé le degré de généralité que comporte une intégrale définie prise entre des limites imaginaires, et le nombre des valeurs qu’elle peut admettre. » C’était le problème qu’il se proposait de résoudre et qu’il résolut avec une étonnante sagacité.

La matière était extrêmement délicate et difficile, aussi les savants furent longtemps avant de comprendre toute la portée et toute la fécondité des idées émises par l’illustre géomètre. En 1840» des hommes éminents, parmi lesquels on peut citer l’Allemand Eisenstein, en étaient encore à regretter vivement que l’analyse des fonctions fût remplie d’énigmes et de paradoxes, en apparence inexplicables. Il était réservé aux disciples de Cauchy d’achever son œuvre en déduisant de ses découvertes la solution de ces étranges difficultés. C’est ce que firent, en particulier, M. Hermite, dans ses travaux sur les fonctions elliptiques; M. Puiseux, dans ses recherches sur les fonctions algébriques ; et MM. Briot et Bouquet, dans leur récent ouvrage sur les fonctions doublement périodiques. La voie est maintenant tracée, et ceux qui la suivront sont assurés d’y recueillir d’abondantes moissons scientifiques.

Ce qui domine surtout dans le génie mathématique de Cauchy, c’est une puissante faculté d’invention , c’est l’art merveilleux avec lequel il savait, au milieu des complications les plus inextricables, se créer tout à coup des méthodes nouvelles. Les difficultés d’une question ne le rebutent pas; si d’autres y ont échoué avant lui, si les ressources de la science lui font défaut, il saura se frayer des routes inconnues, et souvent les problèmes les plus

désespérés seront l’occasion de ses plus belles découvertes. Telle est en particulier l’origine du Calcul des Résidus, qui est encore une de ses grandes créations. Ce calcul a été appliqué par lui successivement à l’étude d’une foule de questions d’un ordre très-élevé; à l’an.'rlyse des séries, puis à la mécanique moléculaire, à la mécanique céleste, à l’optique et aux diverses brandies de la physique mathématique. Il n’est pas possible de donner ici une idée, même sommaire, de ce merveilleux calcul, mais il n’en était pas moins nécessaire de le signaler comme une des méthodes qui ont le plus contribué aux progrès de l’analyse. Un habile mathématicien écrivait en 1 827, au sujet du Calcul des Résidus : « Je suis sûr qu’en dépit de l’envie, ce calcul restera comme l’une des méthodes les plus simples et les plus générales que les géomètres aient inventées. »

11 ne faudrait pas croire que les recherches de Cauchy, en analyse, fussent de pures spéculations dont le principal mérite serait celui de la difficulté vaincue; c’est, au contraire, un caractère très-remarquable de ses méthodes que, presque toujours, elles sont devenues pour les savants des instruments précieux pour perfectionner et étendre pratiquement le domaine des sciences appliquées. On doit dire, du reste, qu’il en est toujours ainsi des découvertes théoriques réellement sérieuses. Il y a entre les lois abstraites des quantités et les lois concrètes des phénomènes naturels, une intime correspondance et une harmonie parfaite. Quelquefois l’étude de la science pure précède les applications, mais souvent aussi l’étude de la nature se présente la première et détermine ensuite les progrès des théories mathématiques; c’est même à l’occasion de l’étude du monde physique que les plus grandes découvertes analytiques ont été réalisées. La

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nécessité de faciliter les immenses calculs des observations astronomiques a conduit Napier k la découverte des logarithmes; l’étude des mouvements célestes a fait trouver à Newton les méthodes du calcul infinitésimal; Laplace, en approfondissant les difficiles problèmes de la Mécanique céleste, a perfectionné plusieurs parties essentielles de l’analyse; au commencement de ce siècle, Fourier et Poisson, en étudiant les lois de la chaleur et des actions moléculaires, ont enrichi la science de méthodes nouvelles; c’est enfin en essayant de résoudre certaines questions de physique et de mécanique appliquée que les savants de notre époque ont été amenés k étudier avec tant de soin la théorie capitale des Fonctions elliptiques.

Ailleurs, au contraire, ce sont les spéculations abstraites qui se présenteront les premières dans l’ordre des temps. On verra, pendant de longues générations, les géomètres occupés k scruter les combinaisons des nombres et les propriétés des figures; des siècles passeront avant qu’on rencontre l’application de leurs subtiles inventions; on se demandera k quoi peuvent servir tant d’investigations curieuses, et quelle peut être l’utilité de ces beaux théorèmes, de ces profondes analyses; enfin, on sera plus porté k admirer le génie des inventeurs qu’a estimer la valeur même dé leurs découvertes. Mais un jour viendra où le physicien, désorienté au milieu de la multiplicité des phénomènes, interrogera en vain les forces et les causes de la nature; où l’ingénieur, surpris par des difficultés inattendues, demandera k l’analyse le secret de ses machines; où l’astronome, perdu dans la complication inextricable de ses formules, implorera une main secourable qui lui vienne en aide et lui offre un fil conducteur dans le labyrinthe de ses interminables calculs.

SES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. l35

Ce sera le moment du triomphe des géomètres adonnés à l’étude de la science pure. Ou cessera de dédaigner leurs patientes recherches, et on viendra leur emprunter avec reconnaissance leurs méthodes et leurs procédés de calcul. Les propriétés des sections coniques avaient été étudiées avec une remarquable persévérance depuis les temps anciens, mais sans utilité pratique, lorsque Képler vint révéler les relations inattendues de ces courbes avec les orbites planétaires; il s’est ainsi trouvé que, par une disposition en quelque sorte providentielle, Apollonius et ses successeurs, depuis près de deux mille ans, préparaient par leurs travaux spéculatifs les progrès futurs de l’Astronomie. Quelle théorie a essuyé plus de critiques que celle dont l’objet est l’étude des propriétés des nombres? Depuis Diophante jusqu’à Fermât, depuis les Indiens jusqu’aux modernes, les analystes s’en occupaient sans relâche, mais sans résultat apparent. Aujourd’hui cependant cette théorie est une de celles qui rendent le plus de services dans les sciences appliquées. L’étude de la Mécanique moléculaire, en particulier, lui doit des perfectionnements considérables. « Cette étude, dit un géomètre éminent (i), serait superficielle et incomplète si l’on n’avait pas recours aux propriétés des formes quadratiques des nombres entiers; à cette Théorie des Nombres, si souvent anathématisée par les détracteurs de la science pure, par les praticiens exclusifs. > On voit, par ces exemples, avec quelle précaution il faut juger les travaux spéculatifs, et de quelle réserve il faut user avant de les condamner comme inutiles.

Ces réflexions s’appliquent également aux travaux de Cauchy. La tendance naturelle de son esprit le portait de

(i) M. Lamé, Leçons sur l'élasticité des corps solides.

1 36 LA VIE d’aUGUSTIN CAUCHY.

préférence vers les recherches abstraites, vers les régions élevées de la science. ‘Il semblera d’abord exclusivement occupé de pénétrer les subtiles combinaisons des nombres et des symboles algébriques, mais bientôt il descendra aux applications; le géomètre paraîtra avec ses Modules, avec ses Résidus, avec tous les instruments de sa mystérieuse algèbre; son génie lui fera apercevoir, dès le premier abord, les analogies et les harmonies cachées qui existent entre ses recherches et les lois des phénomènes naturels; quelques jours de méditation, quelques pages de calcul lui suffiront pour vaincre les difficultés, et les savants, tout à l’heure désespérés de l’inutilité de leurs efforts, applaudiront avec enthousiasme aux découvertes du géomètre.

Parmi les circonstances où Cauchy montra le degré de puissance ou l’analyse pouvait atteindre entre ses mains, il n’en est peut-être point de plus remarquable, ni qui ait produit une plus vive sensation, que celle où il fut amené à perfectionner les méthodes de calcul en astronomie. Ses principales recherches à ce sujet remontent à l’année 1840, h l’époque où il venait d’être élu Membre du Bureau des Longitudes. M. Le Verrier, dont les travaux astronomiques sont connus de tout le monde savant, avait présenté à l’Académie un grand Mémoire sur la planète Pallas. La théorie des mouvements de cet astre laissait beaucoup à désirer, et M. Le Verrier avait entrepris d’en faire une étude plus approfondie; mais il se servait pour cet objet des seules méthodes alors en usage, et était ainsi conduit à des calculs d’une complication extrême. Dès lors, comment vérifier les résultats de l’astronome et contrôler sa théorie? Quel serait l’académicien assez dévoué et assez habile pour entreprendre cette lourde tâche? Dans la plupart des cas, il est facile

à un savant exercé de juger les Mémoires soumis à son examen ; il aura bientôt vu et apprécié la méthode de l’auteur, il mettra en évidence les résultats principaux, et, au moyen de quelques vérifications, ordinairement assez simples, il lui sera aisé d’en contrôler l’exactitude. Les méthodes employées dans le Mémoire sur Pallas étaient bien connues; d’un autre côté les résultats étaient faciles à saisir, car ils se réduisaient en définitive à un certain nombre d’éléments numériques, propres à la construction des tables astronomiques ; mais il n’en était pas de même de leur vérification. Pour s’assurer de leur exactitude, il fallait suivre 1 auteur pas à pas et refaire avec lui tous ses calculs; il fallait en deux mots recommencer son travail tout entier. En pareille circonstance, l’Académie se borne ordinairement à accueillir les travaux; elle laisse aux savants le soin de se contrôler mutuellement, et ne tient les résultats pour complètement acquis que lorsque divers savants sont arrivés aux mêmes conséquences par des méthodes différentes. On comprend tout ce qu’une telle manière de procéder a de fâcheux ; les questions les plus importantes sont ainsi exposées à demeurer indéfiniment en suspens, au grand détriment de la science. Cette fois du moins, les choses se passèrent autrement. Cauchy fut chargé de l’examen du Mémoire; il se mit aussitôt à l’œuvre, et déploya dans ce travail toutes les ressources de son inépuisable talent. Il tenait d’ailleurs à justifier l’élection récente dont il venait d’être l’objet, et à l’égard de laquelle le refus du serment politique lui suscitait tant d’ennuis. Il accepta le fardeau sans hésiter, et bientôt il reparut à l’Académie avec, le résultat complet de ses recherches. Refaire tous les calculs, était une marche impraticable à laquelle il ne fallait pas s’arrêter. Cauchy le comprit, et sa pre-

1 38 LA VIE d’augustin CAUCHY.

mière pensée fut de rechercher des procédés plus directs. Il retrouva dans cette circonstance toute sa vigueur et son initiative de jeune homme, lorsque, trente ans auparavant, il devinait, par une intuition de génie, la démonstration des théorèmes d’Euclide et de Fermât. Mais il y a plus; il s’était d’abord uniquement préoccupé de vérifier un Mémoire d’astronomie, et en même temps il découvrait des méthodes nouvelles destinées, par leur importance, à produire dans la science astronomique une véritable révolution.

Complétons eet exposé sommaire par quelques réflexions sur un caractère particulier des travaux scientifiques de Cauchy.

L’Analyse et la Géométrie sont les deux instruments essentiels des recherches mathématiques; le premier permet de découvrir les propriétés et les lois des quantités considérées à un point de vue général et abstrait; le second permet de poursuivre la réalisation et l’application de ces lois dans l’étude de l’étendue figurée. De là, deux méthodes principales dont les savants se servent habituellement dans leurs recherches, recourant tantôt à l’une et tantôt à l’autre, suivant la nature du sujet et la tournure propre de leur esprit; méthodes qui ont des liens intimes et se prêtent sans cesse un mutuel appui. Cependant, si l’on compare leur influence sur le progrès des sciences, il n’est pas douteux que la méthode analytique ne possède un avantage très-réel. C’est elle qui a présidé aux grandes découvertes des temps modernes, et qui a communiqué à l’étude des sciences exactes cette puissante impulsion dont nous recueillons, depuis bientôt deux siècles, les fruits merveilleux. On peut certainement réaliser dans le domaine de la Géométrie pure des inventions vraiment neuves; on doit même ajouter que,

comme moyen d’exposilion, les procédés géométriques ont une évidence, une simplicité, une élégance, souvent supérieure à celle des procédés analytiques. Mais enfin, il n’est pas impossible de communiquer ces précieuses qualités à l'Analyse elle-même, et cette dernière conservera toujours une prééminence incontestable lorsqu’il s’agira d’aborder l’étude de problèmes tout à fait nouveaux. L’Analyse constitue dans les sciences mathématiques la véritable méthode d’invention, et c’est en cela surtout que réside sa supériorité.

Dans la plupart de ses travaux, Cauchy a fait un usage presque exclusif de la méthode analytique, et c’est dans les recherches de ce genre qu’il a obtenu ses plus beaux triomphes. 11 ne dédaignait pas cependant les recherches géométriques, et, à diverses époques de sa vie, il a montré que dans cette voie il pouvait également prétendre h un rang éminent. Ses premiers travaux, ceux qui attirèrent sur lui, à l’origine de sa carrière, l’attention des savants, étaient de l’ordre géométrique; plus tard, lorsqu’il faudra préciser les lois des séries, interpréter les symboles imaginaires ou restituer à la théorie des Fonctions toute sa généralité, c’est encore à la Géométrie qu’il aura recours; enfin, dans tous ses travaux on le verra employer parallèlement les deux méthodes, Par l’ensemble de ses divers ouvrages il a mérité, mieux que personne, cette dénomination de Géomètre, par laquelle on a coutume de désigner les hommes qui embrassent dans leurs études toutes les branches des Mathématiques pures.

Un seul nom peut lui être comparé à notre époque, c’est celui de l’illustre Gauss, son contemporain et son émule. A cause de la similitude que présente leur brillante carrière scientifique, il ne sera pas sans intérêt de

l4o LA. VIE d’ AUGUSTIN CAUCHY.

rapprocher un moment les figures de ces deux hommes illustres. Né à Brunswick, en «777, Gauss, de même que Cauchy, s’était fait connaître de bonne heure par des travaux de premier ordre. Dès la fin du siècle dernier, à l’âge de ving-deux ans, il publiait de savants Mémoires d’analyse. Deux ans plus tard, il donnait son célèbre traité des Disquisition.es Arithmeticœ , qui a renouvelé l’Arithmétique transcendante ; devenu, en 1807, professeur d’astronomie à Goettingue, il mettait bientôt au jour son ouvrage classique : Theoria mollis corporum cælestium. En même temps il s’occupait avec succès de l’étude de la Physique, et ses recherches sur le magnétisme sont demeurées justement célèbres. Il put ainsi réunir à*la fois dans sa personne les trois titres glorieux de Géomètre, d’Astronome et de Physicien. Ce sont précisément ceux que les savants ont décernés à Cauchy. Nous avons déjà parlé des travaux de ce dernier comme géomètre et comme astronome, et nous essayerons tout à l’heure de donner une idée des services qu’il a rendus à la physique et à la mécanique. Il ne nous appartient pas de nous prononcer sur le mérite personnel de ces deux grands génies, sur l’importance et la fécondité de leurs découvertes; qu’il nous soit permis seulement d’exprimer ici une opinion, en nous faisant l’écho des hommes les plus compétents, et de dire que, si sur certains points, sur la théorie des Nombres, par exemple, Gauss a un avantage marqué, Cauchy reprend une supériorité incontestable dans ses recherches sur les Fonctions. Personne avant lui n’avait pénétré aussi loin dans les profondeurs de l’Analyse pure, et n’avait déployé une telle sagacité dans les régions abstraites de la science. Sous ce rapport, il est sans rival.