CHAPITRE PREMIER

THÉORIE DES NOMBRES

Sommaire. — Origines de la théorie des nombres. — Diophante. — Théorèmes de Fermai. — Travaux de Gauss. — Disquisitiones Arithmeticœ.

— Équations binômes. — Sommes alternées de leurs racines. — Travaux de Cauchy sur la théorie des nombres.

Mémoires. — Arithmétique. — Sur les moyens d’éviter les erreurs dans les calculs numériques. — Sur le recensement des voles. — Equations et équivalences binômes. — Formes quadratiques et facteurs radicaux.

— Questions diverses.

SOMMAIRE

Les premières recherches relatives à la théorie des nombres eurent pour objet des problèmes d’analyse indéterminée, dans lesquels on se proposait de satisfaire, par le moyen de nombres entiers, à certaines équations renfermant plusieurs inconnues. Les questionsdece genre étaient déjà familières aux anciens, et Diophante d’Alexandrie avait fait preuve, à cet égard, d’une rare sagacité. Mais l’analyse indéterminée n’est qu’un des objets particuliers de la théorie des nombres, ou plutôt n’a été que l’occasion de cette théorie, en faisant découvrir acci- II. i

2 TRAVAUX D 'AUGUSTIN CAUCIIY.

dentellement diverses propriétés, qui, après avoir été successivement développées, ont conduità des résultatsd’une généralité inattendue. Fermât, dans ses commentaires sur Diophante, en a signalé plusieurs qui sont fort remarquables, mais il n’a pas laissé de démonstrations, et les erreurs dans lesquelles il est tombé font supposer que, dans certains cas du moins, ces démonstrations lui manquaient en effet. Les théorèmes de Fermât jouissent d’une grande célébrité, tant à cause de leur importance, qu’en raison de leur difficulté.

Le plus simple de ces théorèmes s’énonce ainsi : « Soit p un nombre premier et a un autre nombre non divisible par p ; la quantité a p ~ { — i sera toujours divisible par p. » Il a été démontré par divers géomètres, notamment par Euler, qui l’a en outre généralisé en faisant voir que : « Si a elp sont premiers entre eux, et si l’on désigne par y(p) la totalité des nombres premiers inférieurs à p, la quantité i sera toujours divisible par/?. »

Dansunelettreà Pascal, Fermât énonce encore le résultat suivant : « L’expression 2 2 " 1 4- 1 ne renferme que des nombres premiers: » ce qui est inexact, comme Euler l’a montré : pour m — 5 , l’expression est divisible par le nombre 6/j 1 .

Fermât s’était aussi occupé des nombres figurés et des nombres polygones. Ces derniers sont représentés par la

formule n+ - b ; si l’on fait successivement 6 = 1,

2, 3 , 4 »» -. 011 a les nombres triangulaires, carrés, pentagones, hexagones, etc. , ainsi nommés parce qu’on peut les représenter géométriquement au moyen des figures correspondantes. Ils jouissent de plusieurs propriétés remarquables, qui ont été données par Fermât, mais toujours sans démonstration; a la suite de l’un de scs énoncés, il

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se contente d’ajouter cette phrase : « nec existimo pulchrius aut generaüus in numcris posse dari theorema, cujus demonstralionern margini inserere nec curât, nec vacat. « Parmi ces théorèmes nous remarquerons surtout le suivant : « Tout nombre est triangulaire ou composé de 2 , 3 triangulaires; carré ou composé de 2 , 3, 4 carrés; pentagone ou composé de 2 , 3, 4» 5 pentagones et ainsi de suite. » Ce théorème a été démontré pour la première fois par Cauchy dans un beau Mémoire présenté à l’Académie des Sciences en 1 8 1 3 ; il l’a de plus complété en lui donnant une forme plus précise et en faisant voir généralement que : « Tout nombre peut être décomposé en m nombres polygones de m côtés, qui, à l’exception de quatre, sont zéro ou l’unité. »

Le dernier théorème de Fermât a pour objet la résolution en nombres entiers de l’équation :

Fermât affirme que le problème est impossible pour tout exposant autre que 2 . Euler a montré en effet l’impossibilité pour m = 3, Legendre pour m = 5, M. Lejeune-Dirichlet pour m — 1 4» M. Lamé pour le cas de m = 7 , qui comprend le précédent ; enfin plus récemment M. Kummer, dépassant de beaucoup ces résultats, a prouvé l’impossibilité de l’équation pour une infinité dénombrés premiers, et notamment pour tous ceux qui n’excèdent pas 100 ; mais la démonstration dans le cas général reste encore à trouver.

Parmi les savants qui ont le plus avancé la théorie des nombres après Fermât, il faut citer Euler, Lagrange, Legendre, et surtout l’illustre Gauss, qui a conquis daos cette étude difficile un de ses plus beaux titres de gloire. Il fut conduit, comme il le rapporte lui-même, à s’occuper

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de cette matière, par la découverte accidentelle de quelques propriétés qui lui parurent ouvrir la voie à d’autres propriétés plus générales. Après cinq ans de recherches approfondies, il publia, en 1801, son livre célèbre des Disquisitiones Ariihmeticœ. Les premiers chapitres ont pour objet la théorie des congruences du premier et du second degré et les propriétés des résidus des puissances; viennent ensuite les formes et les équations indéterminées du second degré avec leurs diverses applications. Mais la partie de l’ouvrage qui, sans être la plus importante, a d’abord le plus vivement frappé l’attention des géomètres, est celle qui traite de la résolution des équations binômes et des singulières propriétés de leurs racines. Ces équations avaient déjà occupé plusieurs savants, et l’on savait les résoudre jusqu’à celle du onzième degré que Yandermonde avait analysée par des procédés particuliers. Gauss traita la question dans toute sa généralité et en déduisit une foule de propriétés utiles concernant la théorie des nombres. L’une de ses idées les plus ingénieuses consiste les diverses racines de l’unité qui se reproduient par leurs puissances, non pas suivant l'ordre succeses puissances, qui pouvait sembler au premier abord le plus naturel, mais dans un ordre tel que chacune d’elles soit toujours une même puissance de celle qui précède; et cette disposition met facilement en évidence diverses propriétés caractéristiques, auparavant cachées.

L’une des applications les plus intéressantes de la théorie des équations binômes concerne la division du cercle en parties égales au moyen de la règle et du compas. Les anciens savaient inscrire les polygones de trois et de cinq côtés : les procédés élémentaires delà géométrie suffisent pour cet objet; mais, pour généraliser la solution, il faut recourir à certaines propriétés très-délicates dçs nombres.

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Aujourd’hui on sait résoudre le problème pour une infinité de polygones; il suffit que le nombre des côtés soit un nombre premier et soit en outre égal à une puissance de 2 augmentée d’une unité; les moindres nombres qui satisfont à cette double condition sont : 3 , 5 , 1 7, et 257.

Cauchy s’occupa à diverses reprises de la théorie des équations binômes. Son attention se porta surtout sur l’analyse des fonctions symétriques et des sommes alternées qu’on peut former avec leurs racines; il fut ainsi conduit à donner une extension notable aux travaux de Gauss, et découvrit en même temps plusieurs propriétés nouvelles dont il enrichit la théorie des nombres. Citons en particulier la question difficile qui a pour objet de déterminer complètement les sommes alternées des racines primitives d’une équation binôme, ou, ce qui revient au même, les sommes des puissances qui ont pour exposants les carrés des nombres inférieurs au module donné. Dans ses Disquisiliones, Gauss avait reconnu que, si le module est un nombre premier impair, le carré de la somme cherchée se réduira, au signe près, au module, et sera positif ou négatif suivant que le module, divisé par 4 , donnera 1 ou 3 pour reste; mais, quand on revient du carré à la somme elle-même, on a un signe à déterminer, ce qui présente de grandes difficultés. Gauss avait résolu cette partie de la question dans son Mémoire intitulé: Summatio serierum quarumdam singularium; et M. Dirichlet en avait trouvé, de son côté, une autre solution, en s’appuyant sur des considérations empruntées à la théorie des intégrales définies. La méthode de Cauchy offre l’avantage de résoudre la question sans employer les séries de Gauss, qui donnent lieu à une démonstration compliquée, et sans recourir au calcul intégral ; elle repose simplement sur une formule donnée par Cauchy

en 1817, dans le Bulletin de la Société Philomathique, et qui a pour objet la transformation d’une somme d’exponentielles dont les exposants croissent comme les carrés des nombres naturels. Cette méthode est extrêmement remarquable; elle offre peut-être le plus étonnant exemple de la puissance de transformation analytique de son auteur, et il est aussi fort remarquable qu’elle ait un point de départ dans une relation essentiellement propre à la théorie des fonctions elliptiques, que l’illustre géomètre avait obtenue (ainsi que Poisson par une autre voie) bien longtemps avant les travaux d’Abel et de Jacobi. Du reste la méthode de Gauss repose elle-même sur des transformations de séries qui ressortent également de la théorie des fonctions elliptiques. La méthode de Cauchy peut encore être généralisée et étendue à d’autres déterminations analogues. Ainsi, par exemple, supposons que, le module/; étant un multiple de 3 avec 1 pour reste, on élève une racine primitive aux diverses puissances qui ont pour exposants les résidus cubiques; la somme de ces puissances, quand on y remplacera la racine primitive donnée, par d’autres, pourra successivement acquérir trois valeurs distinctes qui seront les trois racines d’une équation connue, à laquelle on parvient à l aide de la théorie de Gauss. Parmi les fonctions alternées qu’on peut former avec ces trois valeurs, la plus simple est le produit des trois différences que l’on obtient en les retranchant l’une de l’autre. La détermination complète de celte fonction est un problème analogue au précédent, mais d’un ordre plus élevé, attendu que les résidus quadratiques sont alors remplacés par des résidus cubiques.

O11 trouve encore dans les Mémoires de Cauchy dès recherches importantes concernant les formes quadratiques. Fermât avait déjà annoncé, mais sans démous-

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tration, qu’il possédait une méthode pour décomposer directement en deux carrés un nombre premier de la forme -+- 1 . Dans sÿi Mémoire sur les résidus quadratiques, en i 8 a 5 , Gauss donna une règle au moyen de laquelle on peut obtenir la racine de l’un des deux carrés dans lesquels se décompose un nombre premier de cette forme. 11 suffit pour cela de chercher le plus petit reste qu’on obtient en divisant par n la moitié du coefficient du terme moyen dans le développement de la puissance 2 n du binôme. Jacobi retrouva ensuite la règle de Gauss au moyen d’une théorie très-générale qui conduisait à d’autres résultats du même genre. Ainsi, par exemple, il a démontré que le nombre premier p, ou son quadruple !\p, peut se réduire à la forme quadratique x a -+- 7 v 2 quand p — 1 est divisible par 7, ou à la forme ar -t- 27 y 2 quand p — ! 1 est divisible par 3 . Parmi les divers résultats auxquels Cauchy est parvenu de son côté, on remarquera surtout le suivant : Si n est un nombre premier de la forme !\x -t- 3 , et p un nombre premier de la forme nx +• 1 , on peut résoudre directement en nombres entiers les équations :

x l - 4 - ny' — '

x' 1 - 4 - ny- = 4

mayant une valeur qui se déduit simplement des nombres de Bernoulli: ce sera le double du plus petit nombre entier équivalent, abstraction faite du signe, et suivant le module n , à celui des nombres de Bernoulli dont le rang est représenté par le quart de n -t- x. Plus tard, il généralisa ainsi ce résultat: Supposons que n, représentant toujours un diviseur impair d e p — 1 , soit encore de la forme f\x -+- 3 < mais cesse d’être un nombre premier; soit d’ailleurs h l’un quelconque des nombres

entiers, premiers à n et inférieurs à "• Lorsqu’on prendra

successivement pour modules les divers facteurs premiers de n, qu’on supposera inégaux entre e^x, h pourra devenir plusieurs fois un non-résidu quadratique, et ce nombre de fois pourra être pair ou impair. Cela posé, on comptera les valeurs de h qui se trouvent dans l’un des cas, et l’on retranchera du nombre de ces valeurs le nombre de celles qui se trouvent dans l’autre. Le quadruple de la puissance de/) qui aura pour exposant, ou la différence obtenue, si n est de la forme 8# -i- 7, ou le tiers de cette différence dans le cas contraire, pourra toujours être converti en un binôme de la forme x - ■+- ny-. Cauchy rencontrait ainsi pour la première fois la fonction numérique par laquelle M. Dirichlet réussissait plus tard à représenter le nombre des classes de formes quadratiques de déterminant — n . Des théorèmes analogues sont relatifë au cas où le nombre n serait pair, ainsi qu’au cas où, le nombre n étant impair, serait de la forme !\x -+- 1, pourvu que, dans ce dernier cas, le nombre p — 1 soit divisible par 4-

Citons encore une méthode au moyen de laquelle on détermine directement l’exposant d’une puissance d’un nombre premier/), représentée par un binôme de la forme w^ + vy 8 , ou va) 2 -4-vwj 2 , ou par le quart de ce binôme, w et v étant deux diviseurs premiers impairs de p — 1 , dont l’un est de la forme !\x -+- 1 , et l’autre de la forme [\x 4- 3 .

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