CHAPITRE III

ANALYSE

Sommaire. — Principes de l’Analyse infinitésimale. — Leibnitz, Newton, Euler, Lagrange. — Théorie de Cauchy fondée sur la considération des limites et sur la notion de la continuité des fondions. — Analyse des symboles imaginaires.

MÉMOIRES. — Ouvrages classiques sur l'Analyse. — Calcul différentiel et intégral. — Calcul des variations. — Théorie des imaginaires. — Ses applications. — Équivalences algébriques. — Quantités géométriques. — Interpolation. — Résultats moyens. — Méthode des moindres carrés..— Fonctions interpolaires; leur usdge dans la théorie des fonctions symétriques. — Valeurs moyennes des fonctions. — Questions diverses. — Théorèmes d’Analvse et de Calcul intégral. — Fonctions et équations symboliques. — Fonctions discontinues. — Coefficients Jimitaleurs. — Usage des régulateurs en Analyse. — Ouvrages à consulter.

SOMMAIRE

Les principes sur lesquels repose l’Analyse infinitésimale ont été, à diverses reprises, l’objet spécial des méditations des savants. La question touche à ce qu’il y a de plus délicat dans la métaphysique des mathématiques et a été souvent résolue dans des sens très-différents. Newton rattachait sa méthode îles fluxions à des. considérations tirées de la Mécanique et du mouvement; mais, le point de vue trop particulier auquel il se plaçait a été depuis longtemps abandonné. Il en a été de même du système peu commode de notations dont il faisait usage; celui qui a prévalu et qui subsiste encore aujourd’hui v est dû à Leibnitz. Toutefois, l’œuvre du philosophe allemand a subi elle-même des modifications profondes dans la partie métaphysique. Leibnitz considérait les différentielles comme des accroissements infinijnent petits

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attribués aux -variables, et appelait « équations différentielles * celles qui subsistent sous forme linéaire entre ces accroissements. Ces équations avaient le grave inconvénient de n’ètre exactes qu’au moment où les différentielles devenaient rigoureusement milles, ce qui faisait disparaître à la fois et le^ différentielles et les équations ellesmêmes. L’exactitude et la clarté des démonstrations recevaient de là une atteinte sérieuse. Cette difficulté n’avait point arrêté Euler, qui n’hésitait pas à regarder les différentielles comme de véritables zéros ayant entre eux des rapports déterminés. Pour échapper aux embarras qui naissent de l'introduction de l’infini dans les formules, Lagrange entreprit de substituer, aux différentielles de Leibnitz, sa théorie des fonctions dérivées, au moyen de laquelle il espérait ramener l’Analyse infinitésimale à une question de pure algèbre. Mais sa méthode a été, dès son apparition, l’objet de critiques fondées. Elle repose silice principe que les accroissements des fonctions sont développables en série, suivant les puissances ascendantes delà variable, et, dans ce développement, la fonction dérivée est le coefficient de la première puissance de l’accroissement de la variable. Or, la possibilité d’un semblable développement est peu admissible à priori ; loin de pouvoir servir de base à l’Analyse, il se présente au contraire comme une conséquence qui doit être établie avec le plus grand soin et qui, du reste, est sujette à de nombreuses restrictions. Aussi les principes du Traité des fonctions n’ont-ils pas tardé à tomber en désuétude.

Les méthodes actuellement suivies dans l’enseignement sont dues, eri grande partie, à Cauchy; elles reposent sur la considération des limites et sur une théorie nouvelle de la èonlinuité des fonctions. Ses idées ont été publiées d’abord dans le Cours d' Analyse algébrique, en 1821, puis 1»

22 TR AV ,4. U X Jd’aUÊÙsTIN CAÜCITY.

reproduites et développées dans divers Mémoires. C’est la première fois que les principes fondajnentaux du calcul différentiel ont été présentés d’une manière simple et entièrement rigoureuse. Les notions relatives à la continuité, si familières aujourd’hui, sont données avec une entière précision, et il suffirait d’ajouter au cours d’Analyse algébrique, et aux leçons de l’École Polytechnique, quelques pages du « Mémoire sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires », pour avoir, sous une forme élémentaire, ce qu’il y a déplus caractéristique et de plus essentiel dans l’art analytique, tel que nous l’a laissé le grand géomètre.

Ajoutons encore une remarque très-importante, sur laquelle Cauchy revient constamment, et qui concerne les conditions sous lesquelles subsistent les formules dont on fait usage en analyse. Il ne faudrait pas croire, en effet, que ces formules aient une généralité indéfinie ; en réalité, elles ne sont applicables que sous certaines conditions et pour certaines valeurs des variables qu’elles renferment, ainsi qu’on peut le voir notamment dans la théorie des séries. Avant Cauchy, on. s’inquiétait peu des difficultés de ce genre et l’on était au contraire disposé à accepter, comme des démonstrations absolues, les inductions tirées de la généralité de l’algèbre. De là, une foule d’erreurs commises par des savants illustres tels que Leibnitz, Euler, etc.; aussi l’un des services les plus considérables que Cauchÿ ait rendus à la science, est précisément d’avoir contribué à rétablir sur ‘ce point l’ordre et la rigueur. Nous ne pouvons entrer dans les détails.; citons seulement, à cause de sa célébrité et de son impor-

tance, cette remarque : que, la fonction ê l’étant nulle, ainsi que toutes ses dérivées, pour x = o, la série de Ma-

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elaurin donnera, si l’on n’a pas égard au reste, le même

résultat pour une fonction /(a?) et pour/(a?) -+• e r \

Théorie des imaginaires. — Les quantités ou symboles imaginaires se présentent dès l’origine de l’algèbre; on lesrclrouve à chaque pas dans la théorie des équations, dans celle des séries, dans celle des fonctions; enfin elles s’imposent nécessairement aux géomètres toutes les fois qu’ils veulent donner à leurs recherches la généralité qu’elles comportent.

La première tentative de Cauchy pour établir une théorie rigoureuse des imaginaires est exposée dans son cours d’Analyse algébrique. Afin de faire disparaître ce qu’il y a d’arbitraire et d’obscur dans l’usage de ces symboles, et pour donner aux démonstrations toute l’exactitude (ju’on exige en géométrie, il considéra les équations imaginaires comme des formules symboliques qui, prises en elles-mêmes, n’ont aucun sens, mais desquelles on peut déduire des résultats exacts en modifiant ou altérant, suivant des règles fixes, ou ces formules, ou les symboles qu’elles renferment. Dès lors, le signe \ — i devient simplement un instrument de calcul, dont l’introduction dans les formules permet d’arriver plus rapidement à la solution des questions proposées.

Plus tard, Cauchy entreprit de lever d’une autre manière les difficultés inhérentes aux expressions imaginaires, en les rattachant à là théorie des équivalences algébriques. Si deux fonctions tp (x), ^ (#), divisées par une troisième fonction rs (ar), donnent des restes égaux, on dira que ces deux fonctions- sont équivalentes par rapport au diviseur rz[x), et l’on écrira :

® ( x ) ^ ( x ) [mod . o ( x )].

Cette notation, déjà employée parM. Kummer, constitue une équivalence algébrique. Cauchy montre comment on peut substituer ces équivalences aux équations imaginaires; il en déduit sans difficulté les propriétés essentielles des modules, et en fait ressortir l’utilité au moyen d’applications nombreuses, soit à l’analyse des sections angulaires, soit à la théorie des équations algébriques. Toutefois, Cauchy reconnaît lui-même qu'il est préférable de recourir à une autre méthode fondée sur l’interprétation géométrique du symbole a -+- b y — 1 .

Après avoir perfectionné de diverses manières la théorie des imaginaires, sous le rapport analytique, Cauchy essaya, en effet, d’en donner une interprétation géométrique. Cette dernière méthode, qui est de beaucoup la plus parfaite et la plus féconde en résultats, a définitivement prévalu, et Cauchy, après diverses tentatives, avait fini par l’adopter exclusivement. On doit consulter surtout, à ce sujet, un long Mémoire sur les quantités géométriques ( Nouv . Ex., t. IV, p. 157 et suiv.). Cauchy expose d’abord en quelques mots ce qui avait été fait avant lui : « La théorie des expressions imaginaires, dit-il, a été, à diverses époques, envisagée sous divers points de vue. Dès l’année 1806, M. l’abbé Buée et M. Argand, en parlant de cette idée que \/—i est un signe de perpendicularité, avaient donné, des expressions imaginaires, une interprétation géométrique contre laquelle des objections spécieuses ont été proposées. Plus tard, M. Argand et d’autres auteurs, particulièrement MjVl. François, Faure, Mourey, Vallès, etc., ontpubliédesrecherches qui avaient pour objet de développer ou de modifier l’interprétation dont il s’agit. Une grande partie des résultats de ces recherches avait été, à ce qu’il paraît, obtenue avant le siècle présent, et dès l’année 1 786, par

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un savant modeste, TVf. Henri-Dominique Truel, qui, après les avoir consignés dans divers manuscrits, les a communiqués, vers l’année 1810, à M. Augustin Normand, constructeur de vaisseaux au Havre. Dans mon Analyse algébrique, publiée en 1821, je m’étais contenté de faire voir qu’on peut rendre, rigoureuse la théorie des expressions imaginaires en considérant ces expressions et ces équations comme symboliques; mais, après de nouvelles et mûres réflexions, le meilleur parti à prendre me parait être d’abandonner entièrement l’usage du signe \j—\ et de remplacer la théorie des expressions imaginaires par la théorie des quantités que j’appellerai géométriques, en mettant à profit les idées émises et les notations proposées, non-seulement par les auteurs déjà cités, mais aussi par M. de Saint-Venant, dans un Mémoire digne de remarque sur les quantités géométriques. >

Voici, du reste, en quoi consiste l’idée fondamentale de cette théorie. Une expression imaginaire peut généralement se mettre sous la forme : r (cos/? -t- \/— 1 sin/?),r désignant le moduleel pl’argument. Cela posé, l’argument/? détermine une certaine direction de droite à partir d’une origine O, et, sur cette droite, le module rfixe la position d’un certain point A. La droite OA, ainsi définie en grandeur et en direction, sera une quantité géométrique et donnera la représentation géométrique de l’expression imaginaire. L’élude de ses variations sé trouve dès lors ramenée à l’élude des variations d’un point dans un plan et se traite par les procédés ordinaires de l’Analyse. Les mêmes considérations s’étendent du reste à la représentation des fonctions imaginaires; ellesontdonnéà Cauchy le moyen de perfectionner, d’une manière inattendue, une foule de théories et de les amener à un degré d’exactitude

2Ô TRAVAUX n’AUGUSTIN CAUCHY.

et de généralité qu’on ne soupçonnait même -pas avant lui.

Il convient d’ajouter que Gauss avait adopté la même interprétation géométrique et suivi Exactement la même voie dans les beaux Mémoires cités par -Cauchy et consacrés à la démonstration du théorème fondamental de la théorie des équations algébriques, à savoir que toute équation admet une racine imaginaire de la forme a- h- b\J~ i. L’un dé ces Mémoires se termine même par une indication rapide des questions relatives aux fonctions à détermination multiple, qui devaient devenir l’occasion des plus grandes découvertes de Cauchy; c’est là un des points où l’on peut dire que ces deux grands géomètres se sont touchés de plus près. Mais la notion fondamentale des intégrales prises entre des limites imaginaires a entièrement fait defaut à Gauss; aussi a-t-il laissé au géomètre français, en Analyse, une supériorité égale à celle qu’on doit lui reconnaître et lui accorder sans contestation, en ce qui concerne la théorie des nombres.

Interpolation. — Dans les applications de l’Analyse à la Géométrie, à la Mécanique, à la Physique, etc., on a deux sortes de problèmes à résoudre. Il faut, en premier lieu, trouver les équations générales qui existent entre les divers éléments de la question et qui font connaître les lois mathématiques des figures ou des phénomènes étudiés. Ces équations renferment habituellement un certain nombre de constantes arbitraires ou de paramètres qui doivent ensuite être déterminés séparément. A cet effet on supposera qu’on ait recueilli une série d’observations ou d’expériences dont on introduira les résultats numériques dans les équations générales. On obtiendra ainsi un ensemble de relations qui permettront alors de calculer les valeurs des constantes. Le nombre de ces re-

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lalionsde condition devra être au moins égal au nombre des constantes, et dans le cas où il lui sera supérieur, il s’agira de les combiner de manière à réduire le plus possible les erreurs probables des expériences. Tel esl le problème général de l’interpolation. Pour le résoudre, on possédait deux méthodes principales, la méthode des différences et celle de Lagrange; mais elles étaient sujettes à divers inconvénients. La première suppose que les valeurs attribuées à la variable indépendante soient équidistantes, ce qui est un cas exceptionnel. La formule de Lagrange, à la vérité, n’exige pas cette restriction et esl directement applicable à des séries ordonnées suivant les puissances de la variable; mais si l’on veut atteindre une grande précision, il faut conserver dans la série un nombre considérable de termes, et alors on est conduit à des calculs d’une longueur excessive. En outre, les approximations successives s’obtiennent par des opérations à peu près indépendantes les unes des autres; de sorte que, plus on avance, plus les calculs se compliquent, sans qu’on puisse profiter des calculs antérieurs.

Amené, par suite de ses recherches sur la théorie de la lumière, à s’occuper de cette question, Cauchy trouva une méthode qui n’a pas d’inconvénients semblables etqui offre d’ailleurs des avantages nombreux. En premier lieu, ses formules se prêtent facilement aux calculs logarithmiques et s’appliquent aux développements en séries, quels que soient le mode de subdivision de la variable indépendante et la loi suivant laquelle les termes de la série se déduisent les uns des autres. En outre la détermination des approximations successives se fait avec une facilité de plus en plus grande, attendu que les différences des divers ordres dont on fait usage vont généralement en diminuant. Les formules étant disposées de manière

Digitiz

28 , TRAVAUX d’aUGUSTIN CAUCHY.

qu’on puisse y introduire tous les nombres donnés parles f diverses observations, on fait ainsi concourir toutes les expériences au calcul, ce qui permet d’arriver à une plus grande exactitude. A chaque approximation, les valeurs obtenues sont précisément celles pour lesquelles la plus grande erreur à craindre est la moindre possible.

Les formules indiquent d’elles-mêmes le moment où le calcul doit s’arrêter, en fournissant alors des différences comparables aux erreurs d’observation. Enfin les. quantités qu’elles déterminent satisfont à des équations de condition qui ne permettent pas de commettre la plus légère faute de calcul sans que l’on s’en aperçoive immédiatement.

Cette méthode a été appliquée par Cauchy au calcul des expériences de Frauenhofer, dans son travail sur la dispersion de la lumière. Elle a été employée ensuite par divers savants, et a donné à M. Le Verrier l’idée des procédés nouveaux dont il s’est servi pour la détermination des coefficients numériques dans le développement de la fonction perturbatrice. ( VoirCk R. : a 84 « » 2 'sem., p. 700.)

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