CHAPITRE IV

Sommaire. — Analyse des premiers Mémoires de Cauchy sur les intégrales définies. — Intégrales doubles. — Intégrales singulières. — Intégrales extraordinaires. — Influence de fordré des intégrations. — Analyse du Mémoire sur les intégrales définies imaginaires. — Principes et notations du calcul des résidus.

Mémoires. — Théorie tles intégrales définies. — Sur les divers genres v d’intégrales définies. — Détermination et réduction d'uh grand nombre d’intégrales définies. — Intégrales culériennes. — Relations entre les intégrales définies et la théorie des différences finies. — Calcul des résidus. — Applications diverses de ce calcul aux équations algébriques, aux séries, aux équations différentielles, aux questions de Physique mathématique, etc. — Différences finies.

SOMMAIRE

La théorie des intégrales définies occupe dans l’Analyse une place considérable, et intervient par ses résultats dans la plupart des questions de science pure ou appliquée que les géomètres ont à traiter. Euler, Laplace, Legendre avaient déjà étudié avec succès les formules de ce genre, mais les procédés dont ils se servaient étaient souvent insuffisants au point de vue de la rigueur des raisonnements. Leurs calculs reposaient sur le passage du réel à l’imaginaire, et, à cause même de l’état d’imperfection où se trouvait la théorie des symboles imaginaires, les transformations auxquelles on était conduit ne pouvaient être considérées, suivant les paroles mêmes de Laplace, que « comme des moyens de découverte semblables à l’induction dont les géomètres font depuis longtemps usage. Mais ces moyens, quoique employés

3 f> Travaux d’augustin caucht.

avec beaucoup de réserve, laissent toujours à désirer des démonstrations de leurs résultats. » Il fallait donc, avant tout, établir le passage du réel à l’imaginaire, dans les intégrales, sur une analyse directe et rigoureuse; c’est ce que fit Cauchy dans un beau Mémoire sur les intégrales définies, présenté à l’Institut en 1 8 1 4 • Les résultats de ses premières recherches lui permirent, dès l’année suivante, de traiter avec succès la question difficile du mouvement des ondes; en outre, l’étude des anomalies que présentent les intégrales, dites singulières, le conduisit bientôt au calcul des résidus, l’une des théories les plus utiles et les plus fécondes de l’Analyse. Quelques années plus tard, en 1825, il réalisait un progrès plus essentiel encore, en publiant ses recherches sur les « intégrales définies prises entre des limites imaginaires. » Ce dernier travail, qui est un véritable chef-d’œuvre, a puissamment contribué aux perfectionnements de l’Analyse; il a été, en particulier, le point de départ des nombreux travaux entrepris, depuis'Cauchy, pour constituer avec un succès extraordinaire la théorie si délicate et si difficile des fonctions doublement périodiques. Les considérations relatives aux intégrales définies reparaissent d’ailleurs constamment dans la longue suite des Mémoires de Cauchy sur les diverses branches des mathématiques : sur l’Analyse pure, la Mécanique, la Physique et l’Astronomie. On peut donc dire que ses recherches sur cette matière sont le fondement principal de presque tous ses autres travaux. Il convient donc d’en présenter le résumé avec quelques détails propres à en faire ressortir toute l’importance. ,

Le Mémoire de 18 1 4 sur les intégrales définies fut composé par Cauchy à l’âge de vingt-quatre ans, à l’époque où-, renonçant aux fonctions actives d’ingénieur, il

revint de Cherbourg à Paris, avec l’intention de se livrer exclusivement à l’étude et au progrès des sciences mathématiques.

Dans une première partie, Cauchy s’occupe de discuter avec soin les équations qui autorisent le passage du réel à l’imaginaire. Sa méthode repose sur l’analyse des intégrales doubles ; il donne, pour le calcul et la transformation de ces intégrales, un ensemble de règles, d’où l’on déduit ensuite une foule de formules utiles pour la détermination des intégrales définies simples.

Une intégrale définie double

z ) dxdz

correspond, en géométrie, à la portion de l’aire d’une surface ayant pour équation y = f{x, z) et qui se projette sur le plan des xz suivant un rectangle déterminé. Quel que soit l’ordre dans lequel on effectue les intégrations, le résultat sera généralement le même, mais les deux opérations ne présentent pas toujours une égale facilité. Quelquefois on arrivera facilement au résultat final en commençant par l’une des variables, tandis qu’en com^ mençant par l’autre on sera conduit à des transcendantes d’uu ordre élevé. Dans ce cas, en exprimant que les formules définitives sont identiques, on obtiendra des relations qui permettront de déterminer la valeur de la fonction transcendante dont le calcul direct eût été souvent impraticable. Cette méthode était déjà connue des géomètres, mais Cauchy lui donne une extensiou nouvelle eu cherchant, à priori, les conditions auxquelles doit satisfaire une intégrale double pour que l’on puisse effectuer immédiatement la première' intégration, soit par rapport à x, soit par rapport à z. Il suffit pour eela de

38 TRAVAUX d'aUGUSTIN CAUCHY. ' • r

partir d’une différentielle exacte pdx -+- qdz y satisfaisant

par conséquent à la condition et de prendre

pour y la valeur commune de ces deux dérivées parlielles.

Soit par exemple y une fonction quelconque de x et

de z, et Y une autre fonction de y, l’expression Y dy sera

line différentielle exacte et satisfera à la condition ci-

dessus. Il en sera encore de même si l’on prend pour y

une valeur de la forme M -t- N \l— 1 , M et N désignant

deux fondions réelles de x et de Mais alors l’équatioti de condition se partage en deux autres par la séparation des parties réelles et imaginaires. Celles-ci, prises séparément, donnent deux expressions qui peuvent être substituées à la place de y, et si l’on effectue les intégrations, on obtient deux équations entre des intégrales définies relatives, les unes à la variable x, les autres à la variable z. On a ainsi un moyen très-fécond de transformation qui permet de déterminer un grand nombre d’intégrales particulières. ’ . / • . ..i. i '

La méthode se généralise encore quand, après avoir fixé la nature de la fonction/, on la transforme au moyen des symboles imaginaires. Si l’on pose, par exemple, y ±=p cosr, p et r désignant deux fonctions de a;, et si l’on remplace ensuite x par u -+- v yj — i , l’équation se • partagera d’abord en deux autres par la séparation des imaginaires. On remplacera ensuite cosr par son expression en exponentielles; il y aura alors un nouveau partage, ce qui produira en tout- quatre relations entre des intégrales de forme déterminée. On aura en même temps l’avantage de rapprocher, et de rattachera une source commune, des formules déjà connues pour la plupart, mais qui, ayant été obtenues par des procédés isolés, .

n’étaient unies par aucun lien. Les relations auxquelles on arrive sont en général assez compliquées, mais on' peut les simplifier au moyen de certaines hypothèses plus restreintes; on obtieut notamment des résultats simples et élégants en prenant les limites des intégrales égales à zéro et à l’infini.

Dans la seconde partie de son Mémoire, Cauchy va plus loin, en développant une théorie qui lui appartient en propre et qui constituait, suivant les termes du rapporteur Legendre, < une véritable découverte en Analyse. »

11 s’agit de la théorie des intégrales singulières, dont l’auteur devait tirer un si grand parti pour ses recherches ultérieures.

On a coutume de dire que, dans l’évaluation d’une intégrale double, l’ordre des intégrations est indifférent; . toutefois cette proposition, vraie en général, est sujette à d’importantes restrictions. Cauchy commence par examiner certains cas où la règle est en défaut et montre que, non-seulement l’intégrale ne reprend pas la même valeur, mais qu’elle peut même se présenter sous une forme complètement indéterminée. Après avoir constaté le fait, il fallait en trouver la cause, en donner l’explication et évaluer les modifications résultant du changement d’ordre des intégrations. Cauchy fait voir que l’ano^ malie se présente toutes les fois que, après avoir effectué

la première intégration, la fonction soumise au signe J

affecte une forme indéterminée pour des valeurs des va- . riables comprises entre les limites de l’intégrale. Dans ce cas, d’ailleurs, l’indétermination est tout à fait distincte de celle qui se présente pour les fonctions d’une seule

variable sous la forme celle-ci n’est qu’apparente et

l’analyse donne le moyen de la faire disparaître. Pour

les intégrales, au contraire, l’indétermination est souvent absolue, et on ne peut la lever qu’en établissant arbitrairement une relation entre les limites de l’intégration partielle, qui, de leur nature, sont complètement indépendantes.

Cela posé, imaginons qu’on ait figuré, dans le rectangle de projection, le point auquel correspond l’indétermination, et qu’on ait tracé, autour de ce point, une aire infiniment petite «; l’intégrale singulière sera la portion de l’intégrale totale .relative à cette aire ; c’est encore la limite de la valeur que prend l’élément différentiel de la surface pour le point considéré, et cette limite dépendra généralement de la loi suivant laquelle on fera tendre vers zéro l’aire élémentaire w. Soit x = a la valeur qui rend infinie une fonction f(sc), on posera

y [x] dx — I <p(x)dx -h I cp(x)dx ■r, dx 0 da-i-ïi V

cp ( x ) dx ;

les deux premiers termes du second membre constituent la valeur principale de l’intégrale, tandis que le troisième représente l’intégrale singulière. 11 y a du reste trois cas à considérer suivant que l'indétermination se rapporte à un point situé à l’intérieur du rectangle de projection, ou sur l’un des côtés, ou bien encore à l’un des sommets.

Le Mémoire est suivi de deux suppléments, dans lesquels l’auteur se propose de répondre à diverses objections qui lui avaient été adressées par Legendre; il est, de plus, accompagné de quelques Notes composées à l’époque de l’impression, en 1825, et destinées à compléter ou à justifier certains points de détail.

Mémoire sur les intégrales définies imaginaires. — Ce Mémoire peut être considéré comme le plus important des travaux de Cauchy, et les hommes compétents n’hésitent pas à le comparer à tout ce que l’esprit humain a jamais produit de plus beau dans le domaine des sciences.

Après avoir rappelé scs recherches antérieures sur les intégrales définies prises entre des limites réelles, l’auteur annonce qu’il va appliquer la même méthode aux intégrales prises entre des limites imaginaires. Déjà Laplace et d'autres savants, tels que MM. Brisson, Oslrogradski de Saint Pét.ersbourg, avaient étudié les formules de ce genre et en avaient déduit d’utiles résultats; mais personne ne s’était encore occupé de définir exactement le degré de généralité que comportent ces intégrales et de préciser ou de classer le nombre des valeurs distinctes dont elles sont susceptibles. Tel est le point essentiel qu’il fallait d’abord éclaircir.

Pour définir l’intégrale

A + B^-i = I f(z)dz

dans laquelle on suppose z = jc-hy\J — i, on la considérera comme la limite de la somiïie de ses éléments différentiels. On introduira en outre une variable auxiliaire l et l’on posera x= <p (t)., y= (/), <p, ij/ désignant deux fonctions de forme arbitraire. L’intégrale se présentera alors sous la forme

A -I- B y/ — i — f (<?' 4- *]/ y'— i) /(<p ■+■ ^ y/— i j dl.

Si l’on admet que la fonction f reste finie et continue entre les limites de l’intégration, on démontre, par les

l\1 TRAVAUX «'AUGUSTIN CAUCHY..

principes du caleul des variations, que là valeur de l’intégrale est indépendante des fonctions <p et <]>; ou bien encore, en se reportant à la théorie géométrique des symboles imaginaires, qu’elle est indépendante du contour suivi dans l’intégration. On supposera en second lieu que la fonction f devienne infinie entre les mêmes limites, on désignera par a ■+■ b \j— i l’une des racines

simples de l’équation =o, et l’on représentera par F

la limite vers laquelle tend l’expression tf{a -t- b \/ — i-t- i) quand £ tend vers zéro. On trouvera alors que l’intégrale prend une nouvelle valeur À' B' y /— i , et si on la com-

pare à la valeur précédente, on aura la relation fondamentale :

Le double signe du second membre dépendra du signe de la variation Enfin si l’on désigne par

A" -H B" y/ — i ce que devient l’intégrale quand dip et changent de signe, on aura

A = A"-f- B" i — (A'-f- B' V— i) = ± 27 rF y/ — i .

Lorsquea + è \/— i est une racine multiple de l’ordre m, il faut substituer à la fonction F uné dérivée de l’ordré’ m — i , et l’on obtient la, nouvelle formule :

2 7tF"-' si — I i .2 3 . . .( m - 4- 1 )

Si, de plus, la fonction /(s) passe plusieurs fois par l’infini entre les limites de l’intégration, on obtiendra une série de termes de même forme, et l’on aura la formule

générale :

A == rk 2 r. ( F, -t- F, -+- Fj -+- . . . ) \J — i .

Considérons maintenant un rectangle dont les sommets extrêmes A et B auront pour coordonnées x 0 y 0 , x,y h , c’est-à-dire les valeurs de x, y qui limitent l’intégration. On pourra passer de A à B en suivant une infinité de contours. Si l’on suit la diagonale AB, on aura la valeur moyenne de l’intégrale; si l’on suit les contours mêmes du rectangle, on aura les valeurs extrêmes. Quant aux intégrales relatives à deux contours intermédiaires, elles auront la même valeur si la fonction f(z) .'ne devient infinie pour aucun des points situés sur ces contours ou compris entre eux. Dans le cas contraire, l’intégrale prendra des valeurs distinctes dont la différence sera déterminée par la formule précédente. Enfin, si quelquesuns des points critiques sont situés sur les contours euxmêmes, la différence entre les deux valeurs de l’intégrale se présentera généralement sous une forme infinie ou indéterminée. - - . v.

Après avoir exposé les principes de sa théorie, Cauchy passe aux applications. Supposons par exemple que l’on compare les valeurs extrêmes des intégrales, on aura la formule : ’

f f{x +y. \~i) dx -t- V— i f >/(*, -K r^~ 0 dy

— / fi x + T> dx^-<J—i f f(x t +y\!—i)dy

Sx, s y,

r= “21Z ( F, 4- Fà -t- F, -I- . . .) — 1.

Celle-ci subsiste pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de z, et elle équivaut à deux équations distinctes par la séparation des imaginaires; on peut ainsi en dé-

duire une foule de résultats utiles entre des expressions réelles. On trouve dans le Mémoire de Cauchy des applications nombreuses de sa méthode; on remarquera en particulier les résultats qui correspondent au cas où les limites de l’intégrale sont zéro et l’infini.

Lorsque la fonction f s’évanouit pour x = ± cc quel que soit j, et pour y = ± ao quel que soit x, la formule générale se réduit simplement à A = o. Si l’on suppose, de plus, que la fonction f soit rationnelle, on en conclut, la formule d’interpolation de Lagrange.

> Si l’équation 5.” — o admet une infinité de racines, J \ z )

ainsi que cela a lieu pour certaines équations transcendantes, la formule générale renferme une infinité de termes et peut être appliquée avec avantage à la sommation de certaines séries; ce dont Cauchy donne plusieurs exemples remarquables.

11 était ensuite naturel de rechercher si les mêmes principes étaient applicables à la détermination et à la transformation des intégrales doubles ou multiples prises entre des limites réelles ou imaginaires. Cauchy affirme qu’il en est ainsi, mais ses prévisions n’ont pas encore été réalisées; l’extension dont il s’agit est sujette à d’immenses difficultés et n’a pu être effectuée, ni par Cauchy, ni par d’autres, de sorte que le problème demeure intact. Voici en quoi consisterait la question pour les intégrales doubles. On donne une intégrale

I dz / dz'f(z, z'),

on pose

Z = <f (t, U) -+- v/— I (/,«), z' = <p, ( /, U) H- y'— l wj,

/ et« désignant des variables réelles; <f, des fonc-

tions réelles, mais arbitraires. Cela posé, il faudrait rechercher l’influence de cette substitution dans l’intégrale double et analyser ce qui arrive quand la fonction f passe par l’infini ou par des valeurs indéterminées. Un problème analogue, et lié intimement au précédent, aurait pour objet l’étude des intégrales portant sur des différentielles totales de la forme

P dz -+- Qf/2'),

P et Q désignant deux fonctions des variables z et z' .

Calcul des résidus. — *Le calcul des résidus, qui joue un si grand rôle dans la plupart des travaux de Cauchy, se rattache intimement à la théorie des intégrales définies; on en verra des applications nombreuses dans les chapitres suivants; pour le moment nous nous bornerons à donner une idée des principes sur lesquels il repose.

Supposons qu’une fonction f{x ) devienne infinie pour

x — a et que a soit racine simple de l’équation = o.

l’expression (x — a) f{x) aura généralement une valeur déterminée pour x= a. Ce sera le résidu de la fonction

proposée pour x = a, et on le représentera par la nota

lion

Si la quantité a est, au contraire une racine du degré m de multiplicité, le résidu sera la valeur finie vers laquelle tend l’expression [x — a) m /[x) pour x — a. Cette définition même indique la marche à suivre pour la

détermination du résidu. On posera ^ — y (x), et

comme ce quotient ne devient plus infini pour x — a, on

46 TBÀVAUX b’aUGUSTIK CAUCHY. '

pourra le développer au moyen de la série de Taylor; on divisera tous les termes par [x — a) m , et, dans le développement ainsi préparé, le coefficient du terme qui a x — a en dénominateur sera le résidu cherché. On écrira :