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Telle est la notation fondamentale introduite par Cauchy dans sa théorie des résidus, dont les applications embrassent toute l’Analyse. ,

Le germe de cette théorie se trouvait déjà, ainsi que Cauchy l’a remarqué, dans un Mémoire d’Euler intitulé : Nova Methodus fractiones quascumque rationales in fractiones simplices resolvendi, et inséré dans les Actes de l’Académie de Saint-Pétersbourg pour l’année 1 780. Majs Euler n’avait pas aperçu les conséquences qu’on pouvait en déduire; il lui manquait pour cela la connaissance des relations qui existent entre les résidus et les intégrales définies. Cauchy, au contraire, à la suite de ses beaux travaux sur les intégrales définies, contenus principalement dans les deux Mémoires de 1814 et de 1825 que nous avons cités précédemment, se trouvait en mesure d’approfondir la question et d’en donner une solution complète. Ses premières recherches sur les résidus sont exposées dans le recueil des Anciens Exercices, année 1 826, où l’on trouve les principes mêmes du nouveau calcul ainsi que de nombreuses applications; nous le verrons bientôt faire un usage continuel de ce calcul pour la solution des questions les plus difficiles et les plus variées. Parmi ces applications, nous devons citer en particulier : la décomposition des fractions rationnelles en fractions

simples, la formule d’interpolation de Lagrange, le calcul des fonctions symétriques, la résolution des équations algébriques et transcendantes, le développement des fonctions en séries, la détermination des intégrales définies, l’intégration des équations différentielles, et enfin de nombreuses applications à la solution des problèmes de Physique mathématique.

L’usage du calcul des résidus ne s’est pas généralisé parmi les géomètres autant que l’importance de cette, méthode le ferait désirer; il faut l’attribuer sans doute aux notations un peu compliquées dontse servait Cauchy; mais ces notations pourraient être notablement simplifiées, et la nature des résultats obtenus montre assez quel avantage il y aurait à introduire ce calcul dans l’Analyse d’une manière définitive.

' ' - MÉMOIRES

THÉORIE DES INTÉGRALES DÉ El NI ES.

Sav. Êtr. : t. I, p. 599 (200 pages). - Bull. Phil : 1814, p. 161, 1 85. — Mémoire sur la théorie des intégrales définies, lu à l'Institut, le 22 août 1814, et imprimé en 1825.

Ce Mémoire est précédé d’un Rapport de Legendre.

Sav. ÊtT. : t. I, p. 3. — Mémoire sur In propagation des ondes à la surface d’un liquidé pesant.

La discussion de cette question exigeait l’étude préliminaire de plusieuîs points d’Analyse qui, pour la plupart, concernent la théorie des intégrales définies et leur développement en séries. Ces recherches accessoires ne pouvaient être introduites sans inconvénient dans le corps même du travail principal. Elles sont exposées dans une suite de vingt Notes placées on appendice. La plupart accompagnaient le Mémoire primitif, les autres ont été ajoutées à l’époque de l’impression.

48 TRAVAUX d’ AUGUSTIN CAUCHY,

Bull. Phil. : 1817 , p. 121; 1818 , p. 178. — Sur une loi de réciprocité qui existe entre certaines fonctions.

Ann. Gerg. : t. XVI, p. 97, et t. XVII, p. 84. — Mémoire sur les inté-, grales définies , où l'on donne une formule générale tic laquelle se (U-duisent les valeurs Mc la plupart des intégrales définies connues et celles d’un grand nombre d’autres.

te. Pol. : cata. XXVIII, p. 147 ( 1 02 pages). — Sur diverses formules relatives à la théorie des intégrales définies, et sur la conversion dits différences finies en intégrales de cette espèce.

Sur la transformation des intégrales simples par le moyen des intégrations doubles. — Applications diverses. — Sur une formule générale relative à la transformation des intégrales simples prises entre les limites o et 00 de la variable. — Sur la transformation des différences finies des puissances en intégrales définies

Ce Mémoire avait été présenté à l’Institut le 2 janvier i 8 t 5 .

Mém. Dét. : 1825 (68 pages). - Bull. Fér. : t. 111 , p. 214 (Extrait). -*• Mémoire sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires.

Il a été rendu compte, plus haut, de ce travail important.

Ane. Ex. : t. I, p. 54 . — Sur une formule relative à la détermination des intégrales simples prises entre des limites o et as de la variable.

Ane. Ex. : t. I, p. 57. -e Sur les intégrales dites extraordinaires.

Ce Mémoire se rapporte à la conversion des différences finies des puissances en intégrales définies.

Ane. Ex. : t. I, p. 85 . - Bull. Phil. : 1822 . — De l’influence que peut avoir, sur une intégrale double, l’ordre dans lequel on effectue les intégré lions.

Ane. Ex. : 1. 1, p. g 5 . — Sur diverses relations qui existent entre les résidus des fonctions et les intégrales définies.

Ane. Ex. : t. II, p. 91. — Sur les propriétés de la fonction 1'.

Ane. Ex. : t. II, p. 112. — Sur la transformation des fonctions d’une seule variable en intégrales doubles.

Consulter sur cette question les travaux de Fourier. — Cauchy remplace, dans ses formules, les lignes trigonométriques, dont Fourier faisait usage, par des exponentielles imaginaires. — On trouvera d'autres déve 1 loppements sur cette matière dans le XIX e cahier du Journal de l'École Polytechnique , dans l’ Analyse des Travaux de l’ Académie pour 1821, et dans le Bulletin de la Société Philomathique pour la même année.

Ane. Ex

• : t. II, p. 125. — De la différentiation sous le signe J“.

Intégrales ranltiples. — Intégrales singulières, — Application à' une intégrale dont on fait usage en astronomie.

Ane. Ex. : t. Il, p. 157. — Sur la transformation des fonctions de plusieurs variables en intégrales multiples.

Ane. Ex. : t. II, p. 233. — Sur la valeur de I intégrale définie

- » 1,1 ’ ^ ans ^'I uc ^ e n i c désignent des constantes

réelles ou imaginaires.

Ane. Ex. : t. II, p, 341 . — Sur les résidus des fonctions exprimées par des intégrales définies.

Ane. Ex. : t. V, p. 1. — Sur la transformation et la réduction d’une certaine classe d’intégrales. .

Mém. Dét. : 1831. - Bull. Fér. : 1831, t. XVI, p. 119. — Mémoire sur les applications du calcul des résidus et du calcul des limites.

Ce Mémoire renferme des résultats importants pour la théorie des intégrales définies. — Le Bulletin de Férussac contient un extrait de diverses formules tirées du Mémoire principal.

Nouv. Ex. : t. II, p. 294. — Sur quelques propriétés des intégrales définies, simples ou.multiples.

Application à diverses questions de géométrie.

Nouv. Ex. : t. II, p. 358 ( 4 o pages). — Sur la théorie des intégrales définies singulières.

L’objet de ce Mémoire est surtout de montrer comment on peut appliquer la théorie des intégrales singulières à l’évaluation des fonctions de très-grands nombres. On arrivera ainsi à séparer, dans ces dernières, la partie qui reste finie, ou qui devient même infinie avec ces nombres, de celle qui décroît indéfiniment avec eux. — Application de la méthode à diverses fonctions, et notamment aux fonctions I' d'Euler.

Nouv. Ex. : t. IV, p. 148. — Sur le changement de variables dans les intégrales.

>C. R. : 1840, 2 p. 1008 . — Sur les intégrales multiples.

C. R. :1841, a” sem., p. 33. — Sur l’emploi de la transformation des Coordonnées, pour la détermination, et la réduction des intégrales définies multiples.

il. 4

5 o . TRAVAUX D’AUGUSTIN CAUCHY.

C. R. : 1811, 1 er sein., p. 817- — Rapport sur un Mémoire de M. B rock, relatif a une certaine classe d'intégrales.

A l’occasion de ce Rapport, Cauchy réfute une assertion erronée d après laquelle le géomètre Abel serait mort dans la misère. * -

C. R. : 1811, i" sem., p. 1029, 1071, i»45 ; 2' sem., p. 47, .181 (36 pages). — Sur la détermination et la réduction d'un grand nombre d’intégrales nouvelles, et en particulier des intégrales dont les dérivées renferment une ou plusieurs fonctions implicites d’une meme variable.

Transformation des sommes d'intégrales.

C. R. : 1843, 1 “ sem., p. 4m. — Sur la théorie des intégrales définies singulières, appliquée généralement à la détermination des intégrales définies, et en particulier à l'évaluation des intégrales culériennes.

C. R. : 1843, 1" sem., p. 433. — Sur ta réduction des exponentielles au moyen d’ intégrales définies.

Simple énoncé.

C. R. : 1843, 2 e sent., p. 376 ; 1814, 1' sem., p. 67. — Recherches sur les intégrales culériennes.

C. R. 1 1843, 2 r sem., p. 377, 449. — Sur des théorèmes nouveaux et ■. (le nouvelles formules qui se déduisent de quelques équations symboliques. - -

Transformation dos intégrales aux différences finies en intégrales aux différences infiniment petites.

C. R. : 1844, 1" sem., p. 1072. — Sur la substitution des fonctions non périodiques aux fonctions périodiques dans les intégrales définies.

C. R. : 1851, 1 er sem., p. 789. — ' Sur les valeurs principales et générales des intégrales eu ni lignes dans lesquelles la fonction sous le signe

devient infinie en un' point de la courbe donnée.

Simple énoncé.

C. R. : 1854, 2 'sem., p. 129. — Sur une formule de M. Juger et sur il 'autres f irmules analogues .

Il s’agit d une intégrale définie qui se rencontre dans les calculs astronomiques.