DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES; RÈGLES DE CONVERGENCE

Ane. Ex. : t. I, p. i 5 . — Sur les séries de Taylor et de Maclaurin.

Discussion de la forme du reste.

Ane. Ex. : t. Il, p. 7.2.1. — Sur la convergence des séries.

Élude de la série des modules. — Considérations basées sur la théorie des intégrales définies.

Ane. Ex. : t. II, p. 317. — Méthode pour développer des fonctions d’une ou de plusieurs variables en séries composées de fonctions de même espèce.

Nouv. Ex. : t. I, p. 269. - C. R. : 1810 , 1 n sent., p. 640. — Considérations nouvelles sur la théorie des suites et sur les lois de leur convergence.

Cauchy avait d’abord étudié les lois de convergence des séries, en se basant sur des considérations empruntées au calcul intégral ; dans ce

72 TRAVAUX d’aUGUSTIN CAUCHY.

nouveau Mémoire, il montre qu’on peut leur substituer des démonstrations plus simples, fondées uniquement sur les principes du calcul diffé-, rentiel. — Développement des fonctions en séries convergentes. — Règles de convergence et limites des restes. — Développement des fonctions implicites. — Formule de Lagrange. — Démonstration élémentaire et rigoureuse de cette formule.

Mém. Dét. : Turin, 1831 et 1832. — Sur le calcul des résidus et le calcul des limites.

Nous aurons occasion de revenir sur ces importants Mémoires, qui comprennent les applications du calcul des résidus aux diverses branches des mathématiques. Mentionnons seulement la partie de ce travail qui a [tour objet d’établir les ïègles relatives à la convergence des séries au moyen desquelles on développe les fonctions explicites ou implicites d’une ou de plusieurs variables, et de fixer en outre des limites supérieures aux erreurs que l’on commet quand on arrête chaque série après un nombre donné de termes.

Nouv. Ex. : t. II, p. 4t (7t> pages).

Ce Mémoire a pour objet de reproduire plusieurs parties du travail précèdent, qui avait été seulement lithographié. — Résumé lu à l’Académie de Turin. — Recherches sur le développement des fonctions en séries.

Inst. : t. VI, p. 0o3. — Sur le développement des fonctions en séries périodiques.

Ce Mémoire concerne diverses séries auxquelles conduisent les problèmes de physique mathématique.

Journ. Liouv. : t. XI, p. 3 1 3. — Sur le développement des fonctions ordonnées suivant les puissances ascendantes des variables.

C. R. : 1837, i w sem., p. 216. — Lettre à Al. Coriolis sur ta convergence des séries qui représentent les racines des équations algébriques on transcendantes, et les intégrales des fonctions différentielles.

C. R. : 1839, a’’ sem., p. 087. — Sur la convergence des séries.

Application du théorème fondamental aux fonctions implicites.

C R. : 1840, a c sem., p. 63g, 667, 730 (47 pages). — Sur la convergence et la transformation des séries.

Extension des théorèmes fondamentaux aux séries qui servent à représenter les racines des équations algébriques ou transcendantes, et les intégrales des équations différentielles. — Application à la Mécanique céleste.

SERIES. 'j'S

C. R. : 1841, I er sem., p. 3a3. — Sur le développement des fonctions en séries ordonnées, suivant les puissances des sinus et cosinus.

C. R. : 4841, 2 e sem., p. 842 . — Sur les diverses formes du reste de la série de Taylor.

La forme assignée par Lagrange est insufiisante dans un grand nombre de cas où les formules de Cauchy réussissent. — Voir , sur le même sujet, les recherches plus récentes de M. Ed. Roche et de M. Schlomilcb, Journal de M. Liouvillc pour 18 58.

C. R. : 1841, 2' sem., p . 90g ; 1843, z* sem., p. ig3. — Sur le développement des fonctions en séries.

On démontre qu’on obtient toujours un développement unique, dans le cas même où l’on suppose la fonction développée à la fois suivant les puissances positives et négatives de la variable.

C. R. : 1843, 2' sem., p. 370 . — Remarques à l’occasion d'une Note de M. Laurent, ayant pour titre : « Extrait du théorème de M. Cauchy, relatif è la convergence du développement d’une fonction suivant les puissances ascendantes de la variable. »

C. R. : 1843, 2 “sent., p. g38. — Rapport sur un Mémoire de M. Laurent, ayant pour titre : « Extension du théorème de M. Cauchy relatif à la convergence du développement d’une fonction suivant les puissances ascendantes de la variable. » — Note à l’occasion de ce Rapport.

C. R. : 1843, 2' sem., 1220. - Nouv. Ex. : t. III, p. 388 — Sur les modules des séries.

C. R. : 1844, 2 ' sem., p. 5 i. — Sur la méthode logarithmique appliquée au développement des fonctions en séries.

Détermination d’une fonction dont le logarithme est représenté par une série ordonnée suivant les puissances entières d’une variable. — Sur le développement des puissances d’une fonction entière du sinus et du cosinus du même angle. — Sur les inégalités périodiques des mouvements planétaires. — Le principe de cette méthode consiste à substituer, au développement direct de la fonction en série, celui de son logarithme; il ne reste plus alors qu’à multiplier ce dernier par l'exposant de la puissance, pour revenir à la fonction proposée. Il en résulte des avantages analogues à ceux que présente l’emploi des logarithmes dans les calculs numériques. Cette méthode est surtout utile en astronomie : appliquée au calcul de la fonction perturbatrice, elle permet do remplacer des séries multiples par des séries simples, qu’il suffit ensuite d’ajouter, au lieu d’avoir à les multiplier.

74 travaux d’augtjstin caücht.

C. R. : 1844, il sem., p. 1 4 1 , i5g. — Sur divers théorèmes relatifs à la convergence des séries.

Application à l’astronomie.

C. R. : 1844, lisent., p. 2 o 5 . — Sur diverses propriétés rcmanpiables du développement d'une fonction ordonnée en série suivant les puissances entières d'une même variable.

C. R. : 1844, il sem., p. 699 . — Sur l'application de la méthode logarithmique ait développement des fonctions en séries, et sur les avantages que présente, dans les applications, la détermination numérique des coefficients effectuée à l’ai(lc d'approximations successives.

C.R. : 1844, lisent., p. 1194, 1 33 1 . — Sur plusieurs formules nouvelles, qui sont relatives au développement des fonctions en séries.

Extension remarquable de ces formules.

C. R. : 1843, 1 n sent., p. 280 . — Sur l'emploi îles variables complémentaires dans le développement des fonctions en séries.

On appelle variables complementaires deux variables dont la somme est égale à l'unité.

C. R. : 1843, 1" sent., p. 375 . — Sur diverses propriétés des fonctions continues ou discontinues.

Dans ce Mémoire, Cauchy définit plus complètement les limites assignées par le théorème fondamental pour la convergence des séries. Au lieu de deux cercles concentriques, ayant pour rayons les valeurs extrêmes des modules, il donne deux courbes caractérisées par des conditions spéciales, et qui comprennent toutes les portions du plan où la série est convergente. Les deux cercles de convergence étaient seulement assujettis à ne pas rencontrer ces deux courbes extrêmes entre lesquelles ils devaient être compris.

C. R. : 1845, 1 er sent., p. 463 . — Sur les séries syntngniatiques, et sarcelles qu’on obtient quand on développe les fonctions d’une sctde variable suivant les puissances entières de son argument.

C. R. : 18S2, I er sent., p. 8 , 70 , 121, i 56 . — Sur le développement des fonctions en séries limitées, et sur les restes qui les complètent.

Application à l’astronomie.

SÉniE DE LAGRANGE.

Inst. : t. VIH, p. 97 (42 pages). — Mémoire sur divers points d' Ana/yse.

Ce Mémoire concerne particulièrement la série de Lagrange et ses applications. — On n’avait point encore déterminé les conditions générales

de convergence de cette série. Laplace avait seulement résolu la question pour quelques cas restreints qui suffisaient à son objet. — Cauchy montre que les conditions de convergence, pour la série de Lagrange et pour diverses autres qui se déduisent du calcul des résidus, dépendent de la résolution d’une équation transcendante. — La démonstration repose, du reste, sur la considération des intégrales définies imaginaires.

Inst. : t. IX , p. 104 . — Sur quelques séries analogues à celle de Lagrange.

Sur les fonctions symétriques, etc.

C. R. : 4816, a' sent., p. 490 , 4q3. — Rapport sar un Mémoire présente à l’Académie par M. Félix Chio, de Turin, et ayant pour titre : « Recherches sur la série de Lagrange ». — Note sur les caractères à l’aide desquels on peut distinguer, entre les diverses racines d'une équation algébrique, ou transcendante, celle qui se développe en série convergente par le théorème de Lagrange.

C. R. : 1852, I er sein., p. 3o4, 345. — Rapport sur de nouvelles recherches relatives à la série de Ijigrange , et présentées à l'Académie par M. Félix Chio.

Le Rapport est suivi de trois Notes, par Cauchy.