CHAPITRE XII

Sommaire. — Insuffisance des méthodes anciennement usitées pour l'analyse des mouvements planétaires. — Recherches de Cauchy fondées sur le calcul des résidus. — Méthodes nouvelles pour le développement en série des fonctions astronomiques. — Propriétés et réduction des calculs relatifs à la fonction perturbatrice. — Extension au cas des petites planètes. — Mémoire de M. Le Verrier sur la planète Pallas. — Travaux astronomiques do Cauchy à cette occasion.

Mémoires. — Mécanique céleste. — Sur les applications du calcul des résidus et des limites à la Mécanique céleste. — Sur les équations différentielles des mouvements planétaires, et sur la détermination de ces mouvements. — Calcul des inégalités des mouvements planétaires.

— Application à ces calculs de la méthodo logarithmique. — Rapport et Notes concernant le travail de M. Le Verrier sur la planète Pallas.

— Méthodes nouvelles et variées pour la détermination des orbites des planètes et des comètes. — Calcul des éléments des orbites etapproximations successives. — Ouvrages à consulter.

SOMMAIRE

Un Mémoire présenté à l’Académie de Turin, en i83i, sur la Mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé : Calcul des limites, est le point de départ des travaux astronomiques de Cauchy. Voici en quels termes il caractérisait, à cette époque, l’état de la science' et l’objet de ses recherches : « Les méthodes, disait-il, que les géomètres ont employées pour déduire du principe de la gravitation les mouvements des corps célestes laissaient encore beaucoup à désirer. Souvent elles manquaient de la rigueur convenable. Ainsi, en particulier, on ne

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trouve nulle part, dans la Mécanique céleste de Laplace, une démonstration suffisante de la formule de Lagrange, qui sert pourtant de base à la plupart des théories exposées dans cet ouvrage. D’ailleurs, pour déterminer, à l’aide de ces méthodes, les coefficients numériques relatifs à telle ou telle perturbation des mouvements planétaires, les astronomes étaient quelquefois obligés d’entreprendre des calculs qui exigeaient plusieurs années de travail. Un des Membres les plus distingués de cette Académie, M. Plana, m’ayant parlé dernièrement encore du temps que consumaient de pareils calculs, je lui dis que j’étais persuadé qu’il serait possible de les abréger, et même de déterminer immédiatement le coefficient numérique correspondant à une inégalité donnée. Effectivement, au bout de quelques jours, je lui rapportai des formules à l’aide desquelles on pourrait résoudre de semblables questions, et dont j’avais déjà fait l'application à la détermination de certains nombres qu’il est utile de connaître dans la théorie de Saturne et de Jupiter. Quelques jours après, en s’appuyant sur les résultats qu’il avait obtenus dans un de ses Mémoires, M. Plana m’a dit avoir retrouvé, ou les mêmes formules, ou des formules du même genre. Au reste, pour établir les formules dont il s’agit, et d’autres formules analogues que renferme mon Mémoire, il suffit d’appliquer au développement de la fonction désignée par R, dans la Mécaniquecéleste, des théorèmes bien connus, tels que le théorème de Taylor et le théorème de Lagrange sur le développement des fonctions des racines des équations algébriques ou transcendantes. Mais on a besoin de recourir à d’autres principes et à de nouvelles méthodes pour arriver à des résultats plus importants dont je vais maintenant donner une idée. »

IL , m

1 02 TRAVAUX D’AUGUSTIN CAUCHT.

Les calculs astronomiques exigeaient l’emploi de certains développements en séries qui, le plus souvent, étaient simplement déduits de la méthode des coefficients indéterminés. « Mais les démonstrations qu’on a prétendu donner de ces formules sont généralement insuffisantes : i° parce qu’on n’a point examiné si les séries sont convergentes ou divergentes, et qu’en conséquence on ne peut dire le plus souvent, dans quels cas ces formules doivent être admises ou rejetées; i° parce qu’on ne s’est point attaché à démontrer que les développements ainsi obtenus avaient pour sommes les fonctions développées, et qu’il peut arriver qu’une série convergente provienne du développement d’une fonction, sans que la somme de la série soit équivalente h la fonction elle-même. Il est vrai que rétablissement des règles générales propres à déterminer dans quels cas les développements des fonctions implicites sont convergents et représentent ces mômes fonctions, paraissait offrir de grandes difficultés. On peut en juger en lisant attentivement le Mémoire de M. Laplace sur la convergence et la divergence de la série que fournit, dans le mouvement elliptique d’une planète, le développement du rayon vecteur suivant les puissances ascendantes de l’excentricité. Je pense donc que les géomètres et les astronomes attacheront quelque prix à mon travail, quand ils apprendront que je suis parvenu à établir, sur le développement des fonctions, soit explicites, soit implicites, des principes généraux et d’une application facile, à l’aide desquels on peut, non-seulement démontrer avec rigueur les formules et indiquer les conditions de leur existence, mais encore fixer les limites des erreurs que l’on commet en négligeant les restes qui doivent compléter les séries. Parmi ces règles, celles qui se rapportent à la fixation des limites des

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erreurs commises, présentent dans leur ensemble un nouveau calcul que je désignerai sous le nom de Calcul des limites. » . .

« Ce Mémoire, ajoute encore Cauchy, renferme, en outre : i°une théorie de la variation des constantes arbitraires plus générale, et à quelques égards plus simple que celles qui se trouvent exposées dans les Mémoires de MxM. Lagrange, Laplace et Poisson; 2 0 des intégrales définies propres à représenter, dans le développement de la fonction perturbatrice, le coefficient du sinus ou du cosinus d’un angle donné; 3 ° des formules d’interpolation qui servent à déterminer une fonction entière de sina; et de cos#, quand on connaît un nombre suffisant de valeurs particulières de cette même fonction ; 4° plusieurs développements nouveaux de la fonction perturbatrice, avec des formules propres, non-seulement à fournir les termes généraux de ces développements, mais encore à déterminer les limites des erreurs commises quand on conserve seulement certains termes, en négligeant ceux qui les suivent. Je montre aussi dans quels cas l’un de ces développements doit être employé de préférence à l’autre. Ainsi, en particulier, si l’on demande les perturbations produites dans le mouvement d’une planète par une autre planète, située à très-peu près à la même distance du soleil que la première, le développement employé jusqu’ici par les astronomes devra être rejeté, et il faudra lui substituer un des autres développements ci-dessus mentionnés. On devra donc recourir à ces nouveaux développements dans la théorie des petites planètes, quand on recherchera les inégalités qui dépendent de leurs attractions mutuelles. »

Lorsque Cauchy eut été élu, en novembre 1 839, Membre du Bureau des Longitudes, son attention se reporta

J 64 TRAVAUX d’aUCUSTIN CAUCHY.

de nouveau sur les perfectionnements dont les méthodes astronomiques étaient susceptibles. Ses travaux sont exposés dans le Recueil des nouveaux exercices et dans les Comptes rendus pour l’année 1840. Ils avaient surtout pour objet de trouver des formules propres à faciliter et •à réduire les calculs si longs et si pénibles auxquels les astronomes étaient assujettis. Outre les inconvénients déjà signalés, les anciens développements en séries en offraient d’autres qui n’étaient pas moins graves. D’abord on avait coutume de déduire les coefficients des divers termes des séries les uns des autres,. ce qui entraînait des calculs prolixes et ne permettait pas de reconnaître facilement les erreurs qui avaient pu être commises. De plus, dans un grand nombre de cas, les formules employées n’étaient plus suffisamment convergentes, ou même cessaient de l’être tout à fait. Il était donc indispensable de remédier à ces divers inconvénients par une méthode complètement nouvelle. « Le besoin urgent, dit Cauchy, que l’on avait d’une semblable méthode en astronomie,' m’était encore représenté dernièrement par M. Le Verrier, qui vient de terminer, à l’aide de ses formules d’interpolation, un grand et difficile travail sur la planète Pallas. Cédant aux instances de ce jeune savant, j’ai dirigé mes recherches vers un problème dont la solution peut épargner aux astronomes tant de fatigues et tant de veilles. J’ai été assez heureux pour atteindre le but de mes efforts. »

Celte nouvelle étude repose sur certaines propriétés des fonctions entières et réelles des sinus et cosinus d’un même angle, qui peuvent toujours se transformer endos fonctions rationnelles dépendant simplement de la tangente trigonométrique de la moitié de cet angle. Si l’on égale ensuite la fonction à zéro, on a une équation auxi-

liaire dont les racines servent à calculer avec une grande approximation les diverses intégrales définies qui entrent dans le calcul des mouvements planétaires, notamment les intégrales relatives à diverses inégalités périodiques dont la détermination offrait de nombreuses difficultés. La méthode employée avait de plus l’avantage de s’appliquer à une foule d’autres problèmes du même genre qu’on rencontre, soit dans la théorie des transcendantes elliptiques, soit dans les questions de physique mathématique.

Les recherches dont il vient d’être parlé conduisirent Cauchy h une théorie toute nouvelle des mouvements planétaires, exposée dans . les Comptes rendus pour l’année 1842. Lagrange, Laplace et Poisson, dans leurs Mémoires sur la variation des constantes arbitraires, avaient déjà réduit la détermination de ces mouvements à l’intégration d’équations différentielles renfermant, avec le temps et les éléments de chaque orbite, les dérivées partielles de la fonction perturbatrice prises par rapport à ces mêmes éléments. 11 s’agit alors de trouver, pour le développement de la fonction perturbatrice, la forme la plus convenable. Pour y parvenir, Cauchy recourt à sa théorie des résidus et lui emprunte deux théorèmes fondamentaux. Le premier sert à exprimer en termes finis une intégrale dans laque! le la- fonction sous le signe d’intégration est une fonction rationnelle, souvent même transcendante, d’une exponentielle trigonomélrique, lorsque l’intégrale est prise entre les limites o et 2 7i de P argument. Suivant un second théorème, si, après avoir multiplié, dans une* semblable intégrale, l’exponentielle trigonométrique par un module quelconque, on fait varier ce module, la valeur de l’intégrale restera invariable tant que la fonction soumise au

signe d’intégration ne cessera pas d’être une fonction continue de l’argument.

Parmi les avantages considérables de la nouvelle méthode, on doit remarquer surtout les réductions relatives aux intégrales et aux transcendantes qui étaient nécessitées auparavant pour le calcul de la fonction perturbatrice. Ainsi, par exemple, au lieu de la triple série des transcendantes comprises dans l’ancien développement, il suffira de considérer une série double de transcendantes beaucoup plus faciles à calculer. « Pour donner, disait Cauchy, une idée de la réduction ainsi opérée dans les calculs, considérons en particulier le cas où les deux planètes sont Jupiter et Saturne. Alors, en suivant l’ancienne méthode, on devra former le tableau qui se trouve inséré dans le troisième volume de la Mécanique céleste, pages 81 et suivantes, et calculer en conséquence plus de quatre-vingt-dix transcendantes, dont plusieurs offriront des valeurs considérables, qui pourront s’élever au nombre 800 et au delà. Au contraire, suivant la nouvelle méthode, pour arriver au même degré d’approximation, on aura seulement à calculer une vingtaine de transcendantes, dont les douze premières sont déjà connues, et dont la plus grande surpasse à peine le nombre 2. *

Énonçons encore, avec Cauchy, les propriétés les plus extraordinaires des nouveaux développements: « i° Chacun des termes séculaires, c’est-à-dire des termes qui sont indépendants des anomalies, peut s’exprimer sous forme finie par une certaine fonction des éléments des orbites, qui demeure algébrique par rapport aux grands axes et aux excentricités; 2 0 dans chaque terme périodique, les coefficients des sinus et cosinus des multiples des anomalies moyennes sont la somme d’une série simple de quantités dont chacune peut encore être exprimée

sous forme finie, par une certaine fonction des éléments, qui demeure algébrique par rapport aux grands axes, mais qui devient transcendante par rapport aux excentricités. » ,

En i 845, une circonstance particulière mil en évidence toute la portée des méthodes astronomiques de Cauchy. M. Le Verrier avait soumis au jugement de l’Académie un Mémoire considérable sur le mouvement de la planète Pallas, et spécialement sur la grande inégalité due à l’influence de Jupiter. La longueur et la complication des calculs se prêtaient difficilement à un contrôle direct qui aurait consisté à reprendre la marche même de l’auteur; mais les méthodes nouvelles dont Cauchy était possesseur lui permirent de simplifier la question d’une façou inespérée, et le mirent en mesure de vérifier, en quelques heures, un travail qui, dans son ensemble, avait exigé plusieurs années de recherches. Voici eu quels termes il indique la nature du problème : « On sait que la théorie des petites planètes; découvertes au commencement de ce siècle, s’est refusée jusqu’ici à tout calcul précis, en déconcertant les efforts des astronomes et des géomètres. Les positions de ces astres, données d’avance dans les éphémérides, diffèrent toujours assez notablement de celles qu’indiquent plus tard les observations. En vain l’Académie a-t-elle proposé cette théorie comme sujet de prix. Le concours n’a produit aucun Mémoire digne de l’importance du sujet., Les excentricités et les inclinaisons des orbites de Cérès, de Pallas, de Junon et de Vesta n’étant plus renfermées dans les limites compatibles avec l’usage des méthodes de calcul jusqu’à présent appliquées aux planètes anciennes, on ne voyait plus comment il serait possible de fixer les inégalités périodiques des nouveaux astres, surtout lorsqu’il

1 68 travaux d’augusti,n catjchy.

s’agissait d’inégalités dont l’ordre était fort élevé. On doit savoir gré à M. Le Verrier de n’avoir point reculé devant la pensée d’attaquer un problème si difficile; on doit lui savoir plus de gré encore d’avoir atteint le but qu’il s’était proposé et d’avoir prouvé, par un exemple très-remarquable, que le problème pouvait être résolu. »

La méthode de Cauchy consiste surtout dans le choix des séries qui doivent être adaptées au calcul. Les séries dont on faisait usage autrefois étaient ordonnées suivant les puissances entières des excentricités ou des inclinaisons des orbites; mais lorsque ces éléments cessent d’être très-petits, les séries ne sont plus convergentes, et il faut leur substituer des développements ordonnés suivant les sinus et cosinus des multiples des longitudes ou des anomalies, et, dans ce cas, la grandeur de l’inclinaison peut même devenir favorable à la convergence des suites. En raison de l’insuffisance des développements connus, M. Le Verrier entreprit de calculer l’inégalité cherchée en se servant des formules d’interpolation adaptées à un système de deux variables. Les résultats de son Mémoire furent d’ailleurs reconnus exacts par Cauchy, qui, en appliquant ses méthodes propres, les vérifia de deux manières différentes. Dans un premier calcul, l’inégalité s’élevait, au maximum, à 906", 6, et l’angle qui doit être retranché des multiples des anomalies moyennes, était de 29 u 3'55"; un second calcul conduisait aux nombres 906", 3 et 29°3'25". M. Le Verrier avait trouvé de son côté les nombres 890 secondes et 29°7'. On voit donc que les résultats de Cauchy s’accordaient entre eux à 3 dixièmes de seconde près, et avec

ceux de M. Le Verrier dans des limites d'erreur très-res- ; ^ . * treintfcs qui pouvaient, du reste, s’expliquer par l’usage

des Tables de logarithmes à sept décimales, dont M. Le Verrier s’était servi.

L’un des problèmes les plus épineux qui se présentent dans l’étude des mouvements planétaires a pour objet l’évaluation en séries de certaines intégrales qu’on ne sait pas obtenir sous forme finie. Ces développements peuvent être effectués d’une infinité de manières, même dans le cas où la fonction soumise au signe d’intégration ne dépend que d’une seule variable. On peut, en effet, développer la fonction, soit suivant les puissances de la variable elle-même, soit suivant les puissances d’une fonction continue quelconque de cette variable. On conçoit alors qu’on puisse choisir la fonction auxiliaire, de façon à réaliser une convergence plus ou moins rapide. Pour que la série soit convergente entre des limites données, il suffit que les deux modules extrêmes de la quantité prise pour variable soient inférieurs à l’unité; mais çomme la série est d’autant plus convergente, que l’on est plus éloigné des limites extrêmes, il y aura avantage à prendre la variable auxiliaire de sorte que ces deux limites soient aussi distantes que possible. Pour réaliser ces diverses conditions, Cauchy décompose la fonction qu’il s’agit de développer, en deux facteurs, dont l’un reste fixe et l’autre se développe de plusieurs manières en séries rapidement convergentes. Si l’on suppose que, par suite du choix du premier facteur, chaque terme de la série puisse être facilement intégré, on aura alors des formules d’une application commode, qui permettront d’effectuer les calculs avec une grande approximation, tout en conservant un petit nombre de termes.

En ce qui concerne particulièrement le développement de la fonction perturbatrice, Cauchy décompose la partie de cette fonction, qui est réciproquement proportionnelle

i'JO TRAVAUX Ii’aUGUSTIN CAUCHY.

à la distance des deux astres, en deux facteurs , dont le premier est de la forme que ce rapport acquiert quand les astres se meuvent dans des orbites circulaires et demeure invariable; le second est développé suivant les puissances entières des exponentielles qui ont pour arguments les anomalies mo venues. Les inconnues sont

alors exprimées par des intégrales simples ou doubles, dans chacune desquelles la fonction, soumise au signe d’intégration, est le produit du premier facteur par une exponentielle trigonométrique, dont l’argument est proportionnel au temps. En outre, la détermination des intégrales simples se ramène au. calcul des seules transcendantes elliptiques de première et de seconde espèce; et celle des intégrales doubles au calcul de deux autres transcendantes qui sont ce que deviennent les premières

quand on multiplie la fonction sous le sign ej par la

variable à laquelle se rapporte l’intégration.

On peut ainsi obtenir une foule de séries nouvelles et d’un usage avantageux, en modifiant la forme du facteur fixe ou en substituant au temps uue autre variable indépendante. On remarquera surtout les résultats auxquels on arrive quand on exprime toutes les variables en fonction de l’angle qui représente la différence entre les anomalies excentriques des deux astres considérés.

Des modifications aussi profondes dans les méthodes usitées devaient amener un remaniement complet dans la construction des Tables astronomiques et dans les habitudes des savants : c Toutefois, ajoute Cauchy, celle innovation semble destinée à prévaloir, non-seulement en raison de l’économie de temps et de travail qu’elle en- ' traîne nécessairement, mais aussi et surtout parce que les nouveaux développements s’appliquent avec succès au

cas même où il s’agit de calculer les perturbations observées dans le mouvement des comètes, dont l’excentricité devient fort considérable et s’éloigne peu de l’unité. »

MÉMOIRES

Ane. Ex. : t. IV, p. 140. — Sur l'équation au moyen de laquelle on détermine les inégalités séculaires des mouvements planétaires.

Mém. Dét. : Turin 1831. - Nouv. Ex. : t. II, p. 4> ($7 pages). — Résumé du Mémoire de 1 83 1 (i3 pages) : Mémoire sur la Mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé Calcul des limites.

Formules pour le développement des fonctions en séries. — Insuffisance des démonstrations relatives aux séries employées en Astronomie. — Détermination des limites des erreurs commises quand on arrête les séries après un certain nombre de termes. — Le Mémoire inséré dans les Nouveaux Excrriccs est la reproduction d’une partie du Mémoire lithographié à Turin.

Bull. Fér. : t. XV, p. 2 G 0 . — Sur un nouveau calcul qui s'applique à un grand nombre de questions diverses.

Mém. Dét. : Milan 183a. — Sulla Mccanica cc/estc et sopra un nuovo ealcolo chiamato Calcolo dei lindti.

Nouv. Ex.: t. I, p. 27 . - C. R. : 1839, 2 ' sent., p. 184 . — Sur l'intégration des équations différentielles des mouvements planétaires.

C. R. : 1810, 2 ° scm., p. 179. — Méthodes, générales pour la détermination des mouvements îles planètes et de leurs satellites.

Discussion de l’équation caractéristique. — Méthodes pour obtenir les intégrales sous forme finie, lorsque Topération est possible, et dans le cas contraire, pour développer ces intégrales en séries régulières.

C. R. : 1810, 2 *' sent., p. 297 , 377 et 43 ' 2 . — Sur les fonctions alternées qui se présentent dans la théorie des mouvements planétaires.

C. R. : 1810, 2 f sein., p. 453 el5oi (32 pages). — Méthode simple et

VJ2 TRAVAUX D’aDCUSTIW CAUCHY.

générale pour ta détermination numérique des coefficients que renferme te développement de la Jonction perturbatrice.

Considérations générales. — Sur la distance mutuelle de deux planètes et sur leur distance apparente vue du Soleil. — Développement delà fonction perturbatrice. — Décomposition de chaque terme en deux facteurs. — Substitution d'intégrales simples aux intégrales doubles qui entrent dans le développement. — Sur l’ordre des termes qui composent la fonction perturbatrice. — Développement des facteurs simples et des fonctions auxiliaires.

C. R. : 18{0, a 1 " scm., p. 5 12 et 533. — Sur le mouvement de notre système planétaire .

Équations différentielles du mouvemeut des planètes. — Intégration par le moyen des séries. — Variations du premier ordre des éléments elliptiques. < .

C. R. : 1840, 2 e scm., p. 565. — Sur les perturbations des mouvements planétaires, et en particulier sur celles du second ordre.

Simple énoncé.

C. R. : 1810, 2 ' sent., p. 579 (20 pages). — Sur la variation des éléments elliptiques dans te mouvement des planètes.

Variations du premier et du second ordre des éléments elliptiques et d’une fonction quelconque de ces éléments,

C. R. : 1841 , 1 er scm., p, 84. — Méthodes propres à simplifier le calcul des inégalités périodiques et séculaires des mouvements des planètes.

Dans un Mémoire précédent, Cauchy avait donné dc-s formules pour calculer directement les coefficients d’un terme qnelconque correspondant à une inégalité donnée dans le développement de la fonction perturbatrice en une série de sinus et do cosinus d’arcs variant proportionnellement au terhps ; mais la convergence de la. série ainsi obtenue était lente; la nouvelle méthode a pour objet de simplifier et de réduire les calculs.

C. R. : 1841, i" sent., p. 189 . — Sur les variations séculaires des éléments elliptiques dans le mouvement des planètes.

C. R. : 1841 , 2 ' sent., p. 317 . — Méthode nouvelle /tour le calcul des inégalités des mouvements planétaires, et en particldit r des inégalités à longues périodes.

Dans les méthodes usitées, on déduisait les coefficients des divers, termes les uns des autres, ce qui entraînait de longs calculs et ne permettait pas facilement de reconnaître les erreurs commises; Cauchy

MÉCANIQUE. CÉLESTE. I •j'i

donne au contraire le moyen de calculer directement chaque coefficient, et d’en opérer séparément li vérification.

C. R. : 18 il, a* - sein., p. 68a. — Note sur une transcendante i/ur renferme le développement de lu fonction perturbatrice relative au sj :ttème planétaire.

C. R. : 1841, i r se/n., p. 85o. — Sur ht substitution des anomalies excentriques aux anomalies moyennes dans le développement de la fonction perturbatrice .

C. R. : 1812, a' sem., p'.' 5<j. — Sur l’application du calcul des limites à l’intégration des équations différentielles de notre système planétaire.

C. R : 1842, s c sem., p. 186. — Sur les variations tics éléments du mouvement elliptique des planètes.

C. R. : 1842, a' sem., p. a55 et suiv. — Si x Mémoires sur une théorie nouvelle des mouvements pltmétuires .

Application du calcul des résidus à l’Astronomie. — Nouveau développement de la fonction perturbatrice. — Réduction%u nombre des transcendantes et des termes nécessaires pour obtenir une approximation déterminée. — Transformation des séries triples en séries doubles. — Sur diverses formules qui rendent plus facile l’application du calcul des résidus à l’Astronomie. — Détermination rigoureuse des termes séculaires *• dans le nouveau développement de la fonction perturbatrice. — Sur une formule qui sert à développer, suivant les puissances entières d’un accroissement attribué au cosinus d’un arc, les accroissements correspondants que prennent les cosinus des multiples de eet arc. — Décomposition de la fonction perturbatrice en produits de facteurs, dont chacun se rapporte à une seule planète. . i

C. R. : 1843, a” sent., p. 1 1 57. — Sur l’application du calcul des limites à l' Astronomie .

C. R. : 1844, 1" sem:, p. i3. — Sur la convergence de la série qui exprime la fonction perturbatrice développée suivant les sinus et cosinus t les multiples des Ion git iules moyennes des planètes que l'on considère.

C. R. : 1844, 1" sent., p. 1 16. — Mémoire sur tes fonctions continues.

Application à l’Astronomie. - ' V

C. R. : 1844, 1" sem., p. 558. — Sur les valeurs moyennes des fonctions.

Application à l’Astronomie.

l'jfx TRAVAUX D’AUGUSTIN CAUCHY.

C. R. : 4844, I er s cm., p. Gï5. — Sur le calcul des inégalités des mouvements planétaires.

Décomposition d'une fonction réelle et entière des sinus et cosinus d’un même angle en facteurs simples. — Sur la distance mutuelle de deux planètes considérée comme fonction des exponentielles trigonométriques qui ont pour arguments les anomalies moyennes. — Méthode nouvelle àl’aide do laquelle le rapport de l’unité à la distance de deux planètes peut être développé en une série ordonnée suivant les puissances entières de l’anomalie excentrique ou de l’anomalie moyenne de l’une d’elles.

C. R. : 1 8 i 4; 2“ sent., p. 1 5g, 279, 699. — Sur l’application de la méthode logarithmique à la détermination des inégalités périodiques que présentent les mouvements des corps célestes.

Développement du rapport de l'unité à la distance de deux planètes en une série ordonnée suivant les puissances entières de l’exponentielle trigonomëlrique dont l’argument est l’anomalie excentrique de l’une des deux planètes. — Développements analogues ordonnés suivant les puissances des exponentielles trigonométriques qui ont pour arguments les anomalies moyennes des deux planètes.

C. R. : 4844, 2 ' sen., p. 1123 et suiv. — Quatre Mémoires sur un nouveau genre de développement des fonctions qui permettra d’abréger notablement les calculs astronomiques.

Décomposition de la fonction perturbatrice en deux facteurs dont un seul fournit, pour les termes d’un degré élevé, des valeurs sensibles. — Des restes qui complètent les séries comprises dans les nouvelles- formules lorsque l’on arrête chaque série après un certain nombre de termes.

C. R. : 1843, 1 " sera., p. 767 et 82*5 (40 pages). — Rapport sur un Mémoire de M. Le Verrier concernant la grande inégalité de la planète Pallas.

Vérification- au moyen de deux méthodes différentes. — Le Rapport est suivi de six Notes dans lesquelles Cauchy expose sa nouvelle théorie. — Sur les variations du moyen mouvement. — Sur la distance mutuelle des deux planètes. — Sur les développements de la fonction perturbatrice en séries ordonnées suivant les puissances entières des exponentielles dont les arguments sont les anomalies moyennes ou les anomalies excentriques. — Développement du rapport de l’unité à la distance de deux planètes en une série ordonnée suivant les puissances entières des exponentielles dont les arguments sont les anomalies excentriques. — Développement du rapport de l’unité à la distance de deux planètes en une série ordonnée suivant les puissances entières des exponentielles dont les arguments sont les anomalies moyennes. — Sur le3 moyens de simplifier le calcul des inégalités périodiques des mouvements planétaires.

■■ MÉCANIQUE CÉLESTE. Ij5

C. R. : 1845 , i cr sein., p. 907 (20 pages). — Sur la détermination approximative des fonctions représentées par des intégrales.

La méthode repose sur la décomposition des fonctions soumises au signe d’intégration en deux facteurs, dont le premier seul puisse devenir infini ou discontinu quand le module de la variable atteint les deux limites primitivement calculées; le second facteur se développe d’ailleurs ' séparément en série. On obtient ainsi des développements dont la convergence est très-rapide. Si, de plus, le premier facteur est de telle nature, que l’on puisse intégrer chaque terme de la nouvelle série, l’inté- grale proposée pourra être représentée avec une grande approximation par un petit nombre de termes simples.

C. R. : I 84 S, 1 "sein., p. 996. — Sur l'application des nouvelles for- , mules à l’Astronomie.

C. R. : 1815 , lisent., p. 1166 et 1612 (28pages). — Sur les séries nouvelles que l’on obtient quand on applique les méthodes précédentes de développement de la fonction perturbatrice à la détermination des inégalités périodiques des mouvements planétaires.

Sur la série que l’on obtient quand on développe des fonctions d’une seule variable suivant les puissances ascendantes de l’exponentielle trigonométrique qui a pour argument cette même variable. — Calcul des inégalités périodiques des mouvements planétaires. -— Sur une transformation remarquable de la fonction perturbatrice. — Sur la détermination des parties non périodiques de certaines intégrales. — Sur des formules et des théorèmes remarquables qui permettent de calculer très-facilement les perturbations planétaires dont l’ordre est très-élevé.

C. R. : 1840 , 2' sem., p. 887. — Méthodes nouvelles pour la détermination des orbites des corps célestes, et en /xirticulier des comètes.

Détermination complète des orbites et réduction de la' question à une équation du premier degré.

C. R. : 1840 , 2' son., p. g 5 G. — Sur l’application tic. la nouvelle formule d’interpolation à la détermination des orbites que décrivent les corps célestes, et sur l'introduction directe des longitudes et des latitudes observées dans les formules astronomiques .

C. R. : 1840 , 2' sem., p. 1002. — Sur les formules relatives h la détermination des orbites que décrivent les corps célestes.

Détermination du plan de l’orbite. — Correction due à l’aberration de la lumière.

C. R. : 1847 , 2* sem., p. 401, 47 ^, 53 i, 572, 700. — Sur la détermination des orbites des planètes et des comètes.

Calcul dns distances de Mercure au Soleil et à la Terre. — Méthode d’interpolation. — Sur le degré d’exactitude avec lequel on peut déterminer les orbites. — Des erreurs occasionnées dans les développements de la longitude et de la latitude géocenlriques d’un astre, par suite des .erreurs d'observation. — Sur la correction des éléments de l’orbite d’un astre.

C. R. : 1847, 1 ’ sem., p. 775, 879, g53. — Sur lu détermination de l'orbite d'une planète, h l'aitle de formules qui ne renferment que lesdérivées du premier ordre de ht longitjule et de la latitude géocenlriques. .

Sur deux formules générales, dont chacune permet de calculer rapidement des valeurs très-approchées des éléments des orbites. — Sur une première approximation des éléments. — Sur les moyens d’obtenir avec une grande approximation les éléments d’une orbite à l’aide de cinq observations. ... .

C. R. : 1847, a p sem., p. 797. Rapport sur un Mémoire de M. de Gasparis relatif à la détermination des orbites planétaires.

Sur deux équations qui donnent, la longitude du nœud et l’inclinaison de l’orbite d’un astre à l’aide d'observations géocenlriques convenablement combinées.

C. R. : 1848, 1 er scm., p. 27. — Sur l’abaissement que l'on peut faire subir au degré de l’équation donnée par Lagrange dans la Connaissance des Temps pour l'année 1821.

C. R. : 1848, 1 er sem., p. 29. — Sur quelques propriétés remarquables des fonctions interpolai tes, et sur le parti qu'on peut en tirer pour une détermination sdre et facile des éléments de l'orbite d'une planète ou d’une cotnèté.

Méthode ]>our apprécier, au fur et à mesure des calculs, le degré d'approximalion sur lequel on peut compter.

• Ü. R. : 1848, t/Ç' sem., p. 57, 1 33, 1 57, a36. — Formules pour ta tlétentfination des orbites des planètes et des comètes.

’C. R. : 1848, i' r sem., p. 88. — Rapport sur divers Mémoires de M. Micbal relatifs à la détermination dés orbites des planètes et des comètes.

C. R. : 18S0, 1 " sem., p. 4*6. — Rapport sur un Mémoire de M. Yvon Villarccau concernant la détermination des orbites planétaires.

C. R. : 18.34, 1 er sem., p. 990. — Sur la transformation des variables qui déterminent les mouvements d’une planète., ou même d’une comète,

en fonction explicite du temps , et sur le développement de ces fonctions en séries convergentes .

C. R. : 1 8r>4, i" sem., p. io33. — Stic les services que là spirale logarithmique peut rendre à l ’ Astronomie :

C. R : 1857, i" sem., p. 85i et 896. — Nouvelle méthode pour lu détermination des astres, fondée sur la considération des régulateurs .

Ouvrages & consulter'.

Annales de l’Observatoire ( série des Mémoires ), t. V, p. 337. — Note sur l’équation dont dépend l ’ anomalie excentrique, et sur les séries qui . se représentent dans la théorie du mouvement elliptique des corps célestes-, parM. J.-A. Serret.

Annales de l’Observatoire (série, des Mémoires), !.. VII, p. iG5. — Mémoire sur les inégalités à longues périodes du mouvement des planètes;' par M. Pliseüx.

Exposé de la méthode de Cauchy pour le calcul des inégalités à longues périodes des longitudes moyennes des planètes. — Développement des Notes publiées par Cauchy dans les Comptes rendus de l’Académie des Sciences pour l’année 1845. — Extension de la mélhodo de Cauchy au cMcul des inégalités provenant du second terme de la fonction perturbatrice. — Sur la partie de l’inégalité de la longitude moyenne où le petit diviseur n’est élevé qu’à la première puissance. — Applications numériques au calcul des inégalités des planètes Pallas et Victoria.

Annales de l’Observatoire (série des Mémoires), t. VII. p. îG3. — Mémoires sur le calcul des divers termes du développement de ht fonction perturbatrice et de ses dérivées ; par M. J. Bourget.

Thèse d’ Astronomie, par Faa de Bruno, 185G. — Sur le développement de la fonction perturbatrice et des coordonnées d ’ une planète dans son mouvement elliptique.

Thèse d’ Astronomie , par H. Berger, 1863. — Étude sur le développement tle la fonction perturbatrice, d’après Cauchy , dans la théorie des mouvements planétaires.

Application au calcul de l’inégalité à longue période du moyen mouvement de Vénus sous l’action de la Terre.

Thèse tV Astronomie, par Durrande, 1861. — Détermination des coefficients des termes périodiques de la fonction perturbatrice.

178 TRAVAUX d’aUGUSTIN CAUCHY.

C. R. : 1 85 i , 1 " san., p. 807 . — Mémoire rie M. Bourget sur le développement des coordonnées d'une, planète en fonction du temps, d’après les méthodes de Cauchy.

Journ. Liouv. : 1860. p. 65, io5. — Mémoires de M'. Puiseux sur le développement en séries des coordonnées des planètes et de la fonction perturbatrice.

l' IN.