MC IV

comme avant le dédoublement de la surface.

Il résulte de cette démonstration que l'on peut, sans altérer en rien les longueurs conjuguées pb, bq, dédoubler la surface sphérique Unique en deux surfaces identiques et parallèles, séparées par une distance quelconque, que remplirait un milieu d'indice ?it, tel que le rayon excentrique incident pG serait réfracté parallèlement à

l'axe dans ce milieu Ht, et de ce milieu intermédiaire dans le milieu n2 suivant la direction Gq' ou Cq.

Mais s'il en est ainsi, on voit que, par rapport au système isolé du premier milieu et du milieu intermédiaire, pb n'est autre que la longueur focale principale antérieure de ce système; et que, de même, gb' représente la longueur focale principale postérieure du second système isolé des deux milieux ?it et n.2.

On aurait donc f = pb, première longueur focale conjuguée du système

unique : f = '■ — , égale (voy. § 6) à la première longueur focale principale

du système isolé (n„ n.); et f" = bq, deuxième conjuguée, égale à la deuxième

longueur focale principale du système isolé (nh n.2), ou : f" =■

n2 — ni

En résumé, étant données les longueurs conjuguées bp — f, b'q == f" d'un couple de points séparés par une seule surface sphérique, on peut imaginer que la surface se dédouble, pour donner place à un certain milieu intermédiaire, d'une épaisseur quelconque, par rapport auquel ces longueurs conjuguées formeront les longueurs focales principales, antérieure d'une part, postérieure d'autre part, des deux systèmes composants séparés.

Et en appelant ne l'indice de ce milieu intermédiaire, les longueurs conjuguées f et /"du système simple deviendront F, du premier système composant, et F2 du deuxième système composant :

Vx=f = -I^- et F., = — V-^2l — — ni — n. - ju — ni

Note additionnelle au § 10.

Autre démonstration de la même proposition :

Pig, 4 bis.

Dans la figure 4 bis, menons le rayon de la surface CO, C'O', et appelons * l'angle d'incidence de pC avec le rayon OG; p, l'angle du rayon réfracté parallèle avec la

même perpendiculaire à là surface ; on a : * = iî = —

sin 3 ct n. '

f Si on appelle a', g' les angles d'incidence et de réfraction de CC' (parallèle à l'axe), et de Oq' rayon réfracté vers le point conjugué q', on a de même :

sin a.' ?i1

sin 6' ni

Si maintenant nous multiplions ces deux équations membre à membre, il vient : sin a sin a' „

20 INTRODUCTION. |lre

Or, eu égard au parallélisme de OC avec O'C, l'angle P = a ; on a donc, en définitive : ——r = — • Ce qui démontre que les directions de Cp d'une part, sinp' ?i,

G'g' de l'autre, sont celles que suivraient deux rayons conjugués dans le cas d'une seule surface de même rayon oc, séparant les deux- milieux extrêmes ra,,

§ 11. — Dans un système réfringent constitué par une seule surface sphérique séparant deux milieux d'inégale densité, considérant un couple conjugué, si l'on prend, pour chaque milieu, le rapport de la quantité de réfraction afférente à l'un des foyers conjugués à celle relative au foyer principal correspondant, — la somme de ces rapports est constante et égale à l'unité.

D'après ce que l'on a vu dans le lemme qui précède, la quantité de réfraction que doit développer la surface sphérique séparant le milieu n, du milieu ra2) pour amener en q le sommet du cône réfracté parti de p, peut donc se décomposer en deux parties :

La première, qui mesure la quantité de réfraction nécessaire pour amener au parallélisme dans le milieu intermédiaire m, le rayon excentrique parti de p.

La seconde, qui, prenant, dans ce milieu intermédiaire le rayon parallèle à l'axe, l'amènera couper l'axe en q dans le dernier milieu n2.

Or. nous venons de voir que la première partie de ce travail a pour mesure f (f> étant la longueur focale antérieure du système de milieux) (n , , ra.). f a donc pour expression :

f = 7U 7li - * - f

(f étant la mesure du travail réfringent en ce sens).

De même, la seconde, correspondant au passage au point conjugué g dans le dernier milieu, du rayon parallèle dans le milieu intermédiaire, aura pour mesure :

. — = p" , f étant égal a = — , d ou p = — - — — •

Si maintenant nous comparons y et aux quantités de réfraction correspondant aux foyers principaux dans le système unique nu n„ nous aurons à nous rappeler d'abord la valeur des longueurs focales principales de ce système, a savoir :

F|= rWi , f2 = -^- m

1 n, — n, - ns - ».

qui nous donnent pour les quantités de réfraction correspondantes : 1 - n - — 1 —ii ~ "' .

Le rapprochement de ces quantités deux à deux nous conduit aux rapports suivants :

De même, pour lo second milieu dans ses rapports avec les deux précédents :

p" ~fï F, rns Wj — iu n2 — in

R~7 — ~ï" ~ ' f ~~ ?h — n, rn3 ~ n2

Si maintenant on fait la somme de ces deux expressions, on arrive à la formule que voici :

il îl L Z — "i + w, - w« . F, F,

Dans un système simple, si Von compare les quantités de réfraction afférentes en chaque milieu à un foyer conjugué et au foyer principal coirespondant, la somme de ces deux rapports est constante et égale à l'unité.

De la formule qui précède, vont se déduire par voie de conséquences de la plus grande simplicité, les relations mutuelles de toutes les quantités ayant un rôle ou une fonction dans les phénomènes de la réfraction sphérique dans le cas d'un système composé d'une seule surface séparant deux milieux d'inégale densité.

§ 12. — Rapports existant entre les longueurs focales conjuguées et principales exprimés de manière plus simple.

Proposition. — Le produit des distances d'un couple de points conjugués à leurs foyers principaux respectifs est constant et égal à celui des longueurs focales principales elles-mêmes.

h h = ï\ P2- De l'égalité établie au § 11 précédent :

p 1 pi >

on tire : ¥ { f -\- Y 2 f = f f».

Appelons maintenant lu'l2, les distances respectives de chaque point conjugué au foyer principal correspondant, nous poserons :f = lt + F,, /" = /., + F2, et, en remplaçant ainsi dans l'équation ci-dessus f et f par ces nouvelles expressions, nous obtiendrons :

F, (h + F,) + F, (*, + F,) = (|, + Fl) (l, + F,), qui, simplifiée, revient à l{ l3 = F, F3.

Équation d'un grand et simple usage se traduisant par la proposition énoncée en tête de ce paragraphe.

Pour l'établissement de sa belle théorie des points cardinaux, bauss a eu besoin de déterminer dans une formule spéciale les rap-

22 INTRODUCTION

ports qui relient deux couples de points conjugués dans un système réfringent, entre eux et avec le couple des foyers principaux.

Quoique la connaissance préalable de ce rapport nous soit devenue inutile, le rôle rempli par les points principaux dans un système composé nous ayant paru pouvoir être appuyé sur des considérations plus simples que celles qui ont été invoquées par l'illustre auteur de la méthode, nous reproduirons ici la proposition dont il s'agit. Elle peut rendre des services pour la résolution de plus d'un problème, et, à cet égard, mérite d'être conservée.

§ 13. — Rapports des distances mutuelles de deux couples conjuguées entre elles et avec leurs distances aux foyers principaux respectifs , dans un système simple.

Si l'on appelle hv h% les distances mutuelles des points homologues dans deux couples conjugués quelconques, Hx, H2 les distances respectives de l'un de ces couples aux foyers principaux homologues, il existe entre ces différentes quantités une relation simple de forme déjà connue :

On peut le démontrer facilement : appelons / l, les distances aux foyers principaux homologues de l'un des couples; X,, X2) les distances analogues pour l'autre couple.

La proposition du § précédent nous permet d'écrire :

ou sous une autre forme :

l f i\ X i X ■ Xj • ,

ou encore :

— X| I i '. '. X2 — Z2 c Xj , l\ x2

qui peut être écrite

or, 1 — = 1 — — . .

Xj — l2 l2— X;

Si donc nous remplaçons le premier membre de cette dernière égalité - —

par son égal - , il vient :

= 1 — ou + = 1 .

/i — Xj Zj ~~ Xj /, — Xj /2

Désignant alors lx et ia par H, et H, ; l, — X, par h\ J ï, ' — X, par h7 ; la formule précédente revient à :