II. H

LEÇON

RÉFRACTION SPHÉRIQDE.

§ 14. — Relations qui existent, dans un système simple, entre les distances d'un couple de points conjugués à la surface et à son centre.

Les rapports qui rattachent deux points conjugués à la surface sont contenus F, F.,

dans la formule : — + = 1. (§11.)

Pour obtenir ceux de ces mêmes points avec le centre de la surface, si l'on appelle g' et g" lesdites distances, on devra remplacer dans l'équation ci-dessus f par g' — r et f par g" r (on a, en effet, g' = f + r et g" = f — r).

D'autre part, F, = — — — ; F2 == ' (§ 6).

?i, — nx n2 — »,

L'équation — + -~t = 1 devient donc :

1 r». 1 X n " + ~ '— X ^TTT-. = 1 »

ni — Wi g' — r nt — nt 9" + r qui, après les simplifications régulières, devient :

». 9" (9'-r) g" f ' 9" nt * f»

15. — Rapports des longueurs focales conjuguées entre elles et avec les indices de réfraction des deux milieux et le rayon de la surface sphérique.

Si nous nous reportons au lemme de la proposition (10), nous pouvons poser : f = ■ — et f" =

n2 — ni d'où nous tirons :

», ki — 71, », », — Us. ,

d'où, en renversant les termes et additionnant,

^ Si dans cette égalité on remplace f par g' — r et f par + r, la substitution à /' et f" de leurs valeurs conduit à :

Égalité qui renferme les rapports qui rattachent aux indices et au rayon de la surface les distances d'un couple conjugué au centre de la surface réfringente.

§ 16. — Expression des distances des foyers principaux au centre de la surface. Rapports de ces mêmes distances avec les longueurs focales principales.

F" éta°t 'es longueurs focales principales ouïes distances des foyers principaux à la surface réfringente, si on veut trouver le rapport de ces points avec le

24 INTRODUCTION. [Ire

centre, il faudra, dans les valeurs de F, et F,, remplacer F, et F, par F, = G , — r et Fj = Gj + r; on obtient alors :

G, — r = 1 — ou G = : — = F

wa — ?«, ?j2 — M,

et de môme :

G2 + ?• = L ou G, = 1 — = F.

Corollaire.

Si G, = F2 et G2 = F, , on a entre Gr et G, la proposition suivante :

Gj G2

analogue de la proposition déjà établie entre les longueurs focales principales et les longueurs conjuguées (§ 11).

§ 17. — Rapports entre les distances des foyers principaux au centre de la surface (nœud de réfraction) et les indices de réfraction.

Nous avons, vu au § 7 que :

Les longueurs focales principales sont entre elles dans le rapport direct des indices des milieux correspondants :

Mais comme G, = F2 et que G2 = F,, on a :

Proposition. — Les distances des foyers principaux au centre de la surface (ou point nodal unique de réfraction) sont entre elles dans le rapport inverse des indices de réfraction des milieux extrêmes.

Mais ces premières données ne suffisent pas à la résolution de toutes les questions qui se rattachent à la réfraction sphérique. Aux rapports qui unissent entre eux les foyers conjugués, les foyers principaux, le rayon de la surface, son sommet, son centre et les indices de réfraction des milieux, il faut joindre un autre élément des plus importants, à savoir : le rapport de grandeur de l'image à l'objet et leurs relations avec toutes les quantités que nous venons d'énumérer.

La première et la plus simple de ces relations, l'origine de toutes les autres, est renfermée dans la proposition suivante :

LEÇON

s i8 - Rapports existant entre les grandeurs relatives de l'objet et de son image , et leurs distances au centre de la surface sphérique réfringente.

Si dans la figure" 5 on appelle P' l'objet sp ; (- P") son image qt, g' et g" leurs

Fier. 5.

distances respectives au centre o de la surface réfringente, la similitude des deux triangles spo et qot, formés par l'axe et le rayon non dévié Sot, suffit à établir l'égalité :

JL = £l

§ 19. — Relation simple existant entre le rapport de grandeur de l'objet à son image, et les angles que fait avec l'axe un même rayon dans les deux milieux et les indices de réfraction de ces deux milieux.

Appelons a' l'angle du rayon incident pG,avec l'axe; a", l'angle du même rayon à l'émergence (voyez, fig. 5, § 18).

Dans cette figure on voit que :

tang a' = — — , tang a" — — po bq

et comme bp = fel bq =f" ,

tang a' tang a"

mais nous avons vu plus haut, § 18, que :

on a donc :

et comme on a

ou plus simplement :

IL i

P" X nà '

tang a'

tang a" f '

tang a" p' n,

tang a'

P' . tang «'.?;,= P" . tang a" . w2.

INTRODUCTION

§ 20. — Relations entre le rapport de grandeur de l'objet à l'image, et les longueurs focales principales et conjuguées.

Les triangles semblables (voyoz : fig. 5, § 18) pso, qot donnent :

0/ ; :; g' ; fit

et en outre :

g1 : g" :: os : o t ; mais, dans les triangles semblables, set , o F2 t ,

st : otr. (cS = f): oF2 = G, = F, : : f : F, , d'où (.çjf 0if) : o# ::{/" — F,) : F, ,

ou so : ot :: lt :F, ;

mais so : o* : : g' : g" : : P' : — P" ,

donc F : — p" :: /, : F, ,

et comme lt l2 = F, F2 ,

Pr ly ^ F, P" F, L, '

§ 21. — Des lois de la réflexion de la lumière par les miroirs sphériques (comme corollaires des propositions précédentes).

La théorie tout entière de la réflexion par les miroirs sphériques peut être extraite comme une simple conséquence des théories qui précèdent.

A cet effet, dans lesdites formules, nous n'avons, pour indiquer que la lumière rebrousse chemin vers le même milieu, qu'à y faire n2 = — nx , selon la remarque de Gauss.

Tin T — r ■ . f

La longueur focale principale F2 = devient alors ? = — — = r- •

ti2 — n , — 7ï 1 — 7t2 -s

Le foyer par réflexion dans les miroirs sphériques est au milieu du rayon.

Foyers conjugués :

Dans le cas d'une surface unique, la relation qui unit, dans les lois de la réfraction, les longueurs focales conjuguées au rayon de la surface, est donnée par la for-

Si l'on fait dans cette formule n2 = — nt, comme ci-dessus, on y remplace la réfraction par la réflexion à la surface; la lumière rebrousse chemin. La formule ci-dessus devient alors :

1 1 2 ou ~ p, JT »

d'où l'on tirerait, en faisant f = oo , la valeur ci-dessus trouvée directement pour la longueur focale principale Fa = (correspondant à une surface convexe).

Suivant les notations suivies jusqu'ici èt relatives à la réfraction, le foyor principal serait donc du côté de la concavité de la surface ; ce qui, en réflexion, correspondrait à une image virtuelle.

Or, l'habitude en catoptrique est déconsidérer comme longueurs focales positives celles qui correspondent à des images réelles.

Changeons donc le signe du rayon de la surface avec son sens, nous trouverons

alors pour f = œ,f" (longueur focale principale) = — .

Le foyer principal est alors du côté de l'incidence et ce cas correspond à une image réelle.

Pour nous conformer à l'usage, nous intervertirons ces signes dans la pratique de la catoptrique, et considérerons comme positifs les longueurs focales et le rayon correspondant aux images réelles.

Nous aurons alors pour les miroirs concaves :

jr + jr =~ <>« ï = T ,

et pour les miroirs convexes :

ou, d'une manière plus générale, la formule unique :

~ + fi ~ '

dans laquelle r et f seront pris positivement dans les surfaces concaves et négativement dans les surfaces convexes.