Opérations pincttonnelles élémentaires

opération que l'on exécute sur un nombre quelcoi titue une fonction de ce nombre. Nous pouvons les opérations ou fonctions élémentaires, en dési( celles qui ae peuvent se réduire à une autre plus s âlsparaitre.

L'opération primitive et unique du nombre est tion ou l'additioD. Toutes les opérations dont se mathématiciens sont dérivées de celle-là. Comm répétitions et les combinaisons complexes, qui pei à l'infini, il serait fastidieux et impraticable de pn simple répétition, le calcul a pour but de remédi* blesse età la limitation de notre compréhension.

Quand on répète une opération sur un nombre q on obtient une nouvelle fonction élémentaire qui nouvelles propriétés. Ainsi, faire la somme d'u AoQiiQ an produit, et l'on nomme coefficient le u exprime combien de fois on répète l'opération." D produit d'un produit donne une puissance, et 1' exposant le nombre qui indique combien de foi! l'opération. Cette nouvelle fonction possède de propriétés, en même temps qu'elle emploie les

CALCUL VECTORIEL

inférieures dont elle est composée, c'est ce qu*on appelle le principe de la permanence des règles du calcal, formulé par Hanckel .

5. Cl(zssification des opérations fonctionnelles . — Après les opérations précédentes, qui forment une première classe, qu'on appelle plus spécialement opérations algébriques, vient une seconde classe de fonctions élémentaires, que nous pouvons comprendre sous le nom de fonctions ou opérations circulaires. Elle comprend la fonction exponentielle et son inverse la fonction logarithme, les fonctions trigonométriques et angulaires, enfin les fonctions vectorielles ou les quaternions. Cette classe a pour caractère spécifique d'être simplement périodique, la période étant 27r y^— 1, et a précisément pour valeur numérique la période circulaire.

Pais viennent ensuite les fonctions doublement périodiques qui forment une troisième classe d'opérations élémentaires, bien plus variée, qu'on peut désigner sous le nom d'opérations ou fonctions eliiptiqtieSf et ainsi de suite.

6. De r Algorithme des opérations. — Le nombre des opérations élémentaires ou fonctionnelles que l'on peut exécuter sur le nombre est indéfini et illimité, tandis que celui des algorithmes ou signes d'opération est forcément limité dans la pratique. D'ailleurs la science ne possède pas toujours de notation suflîsante pour exprimer une répétition fonctionnelle. On convient alors par un avertissement express d'exprimer l'opération d'une manière algébrique. C'est ainsi que l'on écrit G* pour 8 (6.), G étant un signe fonctionnel ou d'opération exécutée sur une quantité qui reste implicite, et de même on écrit G? pour 6 (G?), etc. Alors la fonction inverse peut s'écrire Gr^ ; mais il faut alors prendre garde de confondre la fonction inverse ainsi écrite conventionnellement, et qui, ayant généralement une forme toute difierente, demande un algorithme difiérent, à moins qu'elle

CALCDL VECTORIEL 11

ne soit linéaire, avec la fonction réciproque - , C'est ûnsi que

certains .|iuteur3 anglais expriment par tang <x la fonction inverse arctg a, bien que, considérée algébriquement tang m soit la fonction réciproque cotg a. Ce nest donc là qu'une convention transitoire, pouvant donner lieu à des obscurités. Par exemple la fonction sin (sin x) donne une nouvelle fonction transcendente, pour laquelle la science ne possède pas d'algorithme bien dédni, et qui est un cas particuliw

de la forme générale H==e, qu'on pourrait appeler

multicirculaire. Il importe de ne pas confondre cette opération avec l'opération produit sin^ x = sin x, sin x, qae l'on écrit pour (sin jr)'- en supprimant la parenthèse pour abréger. Cette opération est encore distincte de celle-ci sin (a^) faite sur la variable angulaire.

Soit encore comme exemple , l'opération vectorielle

le nombre qui subit l'opération restant implicite. Cette opération répétée fonctlonnellement donne une nouvelle fonction quatemion, qui possède de nouvelles propriétés, et dont la partie scalar

est le paramètre scalar différentiel du second ordre, ou simplement le paramètre scalar second. Si au contraire, on répète la fonction v. algébriquement par produit od obtient

qui est le carré du module de la même fonction \ . ou paramètre ternioQ premier.

-1 r^yyr.T^-^*

12 CALCUL VECTORIEL

Nous voyons qu'une opération quelconque est indépendante du nombre ou de la quantité sur laquelle on opère, tant que celle-ci reste implicite, ce qui confirme 1^ principe de Hanckel. Il n'en serait plus de même, si Ton développait les opérations indiquées par une quantité explicite ; Ton serait conduit à écrire une somme de termes pouvant contenir des opérations différentes les unes des autres, mais le principe restera le même pour toute quantité implicite, jusqu'à ce que Ton retombe sur Tunité (dont la valeur reste elle-même implicite).

On se trouve conduit dans le calcul vectoriel ou des quaternions à de nouvelles fonctions, qui présentent des propriétés nouvelles qui viennent modifier profondément les théorèmes que Ton est habitué à considérer sur les nombres réels. On a proposé d'expliquer ces nouvelles propriétés par la généralisation de propriétés dites associatives^ dist7*ib.utiveSf œmmuialives, etc, parce qae les théorèmes de la sommation et de la permutation des termes présentent de nouvelles règles. Nous ferons seulement remarquer que tous les raisonnements, que Ton peut établir par une induction métaphysique ne peuvent en rien nous faire prévoir quelles seront les nouvelles propriétés d'une fonction supérieure élémentaire. Ces raisonnements ne peuvent avoir d'autre base scientifique que l'induction expérimentale proprement dite. Du reste, tous les mathématiciens, bien que le calcul de Tunité imaginaire ne fut pas encore bien connu, ont crû devoir démontrer la légitimité de la pernautation des termes dans les opérations sur les nombres réels. Il n'est donc pas étonnant qu'il se présente des cas où cette permutation ne peut plus avoir lieu sans changer la valeur du résultat, comme on le voit déjà pour les puissances, opération dans laquelle l'échange de la base et de l'exposant est rarement symétrique.

CALCUL VECTORIKL 13

7. Extension deCiâée de nombre. — L'arithmétique ne se borne pas au nombre supposé entier ; mais elle s'applique à tout« quantité, c'est-à-dire, à toute grandeur susceptible d'une mesure numérique. Une quantité étant donnée, le nombre quelconque qui la mesure étant toujours un symbole et pouvant rester implicite, lenombre,à proprement parler, n'est ni entier, ni fractionnaire, ni incommensurable, circulaire, etc. : mais il y a des nombres entiers, des nombres fractionnaires, des nombres incommensurables, ou irrationnels, des nombres circulaires, quaternioos, des nombres clleptiques, etc. ; dont l'étude forme autant de branches distinctes de l'arithmétique.

Pour comprendre comment l'on est conduit à cette extension- de l'idée de nombre, il faut et il suffit de considérer les opérations inverses sur le nombre.

D'abord, l'opération de la soustraction conduit à la notion de nombres négatifs et à l'opposition des signes de l'unité réelle i, conséquence de la dualité relative de la connaissance.

L'interprétation de cette opposition se déduit facilement du principe.de l'opposition des contraires du relatif, suivant les trois lois objectives de la pensée; savoir : suivant la durée antérieure ou postérieure à l'origine Am temps; suivant la direction par rapport à l'origine de \' espace ; et enfin suivant la qualité d'être plus ou moins relativement à la notion de substance, et c'est tout. On peut voir, combien sont illusoires les discussions sur les nombres isolés, qui portent sur les mots et non sur les choses .

En second lieu, l'opération de la division, inverse de l'opération produit, conduit de même à une extension de l'idée de nombre plus étendue que celle de pluralité ; savoir : celle de rapwH ou de mesure, que l'on appelle fraction. Le rapport de deux nombres entiers constitue eu fait une notion nou-

14 CALCUL VBCTORI&L

velle du nombre, et la théorie des fractions constitue une branche usuelle de l'arithmétique.

En troisième lieu, l'opération de l'extraction des racines, inverse de lopération puissance, conduit de même à une nouvelle extension de l'idée de nombre, celle de nombre incommensurable, irrationnel, ou sériaire. Une série de termes peut ne pas être incommensurable, auquel cas le nombre de ses termes est fini, et elle exprime un nombre rationnel. Mais un nombre incommensurable s'exprime d'une infinité de manières par une série dont le nombre des termes est infini. De là une nouvelle branche de l'arithmétique ou la théorie des séries .

De même encore Topération logarithme, inverse de la fonction exponentielle, conduit à une nouvelle extension de l'idée de nombre ; savoir : celle de nombres circulaires, ou quaternions. On a appelé calcul vectoriel l'ensemble des règles et des théories, qui régissent ces nombres, et son importance en arithmétique ne le cède en rien aux théories précédentes.

« Ainsi que le dit Poinsot, la théorie des quantités angulaires n'appartient pas seulement à la géométrie, comme on pourrait le croire d'après l'origine des fonctions trigonométriques. Cette théorie est une partie essentielle de l'analyse mathématique. La division des logarithmes en parties aUquotes répond à l'extraction de la racine d'une quantité réelle, de même la division de l'angle en parties aliquotes de l'unité répond à Pextraction de la racine d'une quantité imaginaire. Or les quantités réelles et imaginaires se mêlent à tous nos calculs et la science de l'algèbre exige à la fois la considération des angles et des logarithmes. »

8. Le calcul vectoriel. — L'expression des arcs en logarithmes imaginaires remonte à Jean Bernoulll en 1712 (Lagrange, Œuvres, T. X). Cette découverte est restée

d'abord stérile, et il a fallu qu'elle fut connue par d'autres

voies, telles que la conséquence du développement en série

de la formule d'Euler

« \Cî

e = cos a + V — 1 sin a,

ainsi que celle du développement de la formule de Moivre

f cos a + V — 1 sin a)"" = cos ma + V' — 1 sin ma, et enfin par la voie géométrique, dans la comparaison des sections hyperboliques et circulaires, qu'Euler a rendu élémentaire et familière aux géomètres.

Mais jusqu'à la découverte, par Hamilton, du calcul algébrique de T unité imaginaire, Ton était assujetti à ne pas sortir du même plan. On sait aujourd'hui que l'unité imaginaire V— "1, aussi bien que l'unité réelle, a une infinité de valeurs distinctes dont on connaît l'expression algébrique. La multiplicité des valeurs de l'unité réelle ou imaginaire est en fait une nouvelle extension de l'idée de nombre, qui modifie profondément la notion que nous en avions jusqu'ici.

La théorie du calcul vectoriel ou desquaternions, indépendemment d'une notation ou d'un algorithme plus ou moins perfectionné est une partie intégrante du calcul algébrique ou de l'arithmétique. Tout son mérite repose sur les propriétés arithmétiques de l'unité circulaire, ou des verseursquadrants, et sur la multiplicité sphérique des valeurs de cette unité, suivant des règles bien déterminées. 11 n'en est pas mollis vrai que le calcul vectoriel est encore loin d'être élémentaire et rendu familier aux géomètres.

Plusieurs théories mathématiques éparses, qui en réalité appartiennent au calcul vectoriel comme cas particulier, ont été étudiées antérieurement et indépandemment de la notion explicite de l'unité vectorielle. Telle est la théorie des loga^rithmes imaginaires, et de la fonction exponentielle linéaire ; ainsi que la théorie des équations binômes, qui est un cas particulier de l'équation binôme versorielle.

13 CALCUL VBCTORIBL

Le calcul des quantités vectorielles i pi été étudié depuis loni^temps par Gauch.

répond au cas où l'on considère seulement de la spbère-unité, c'est-à-dire, une directii fmaginaire, de sort« que la véritable difflcu toriel est due précisémeot aux valeurs mu réelle ou imaginaire. De là viennent des n différentes de celles du calcul numérique ré attentive pttut seule nous apprendre à coni

Nous ajouterons que les dualismes & remarquent dans les phénomènes naturels principes mêmes de la connaissance ratioE à considérer la dualité des contraires comi nature des choses et de la relativité de la co retrouvons dans la corrélation de l'unité ré cettedualité jusque dans le nombre, c'estdes lois objectives de la pensée. On reco que rinflni mathématique constitue un ( denrs réelles et imaginaires, et qu'au fond continuité ne diffère pas de celui de la dual

S n. — De l'imaginaire en &

9. Les éléments géométriques imai appelle imaginaire en géométriç tout élé tel que ligne, plan, angle, courbe, surface, qu'il était dans une figure, devient înci cette figure, mais devient au contraire réi dans une Sgure corrélative de la première les parties imaginaires de cette seconde réelles et constructibles dans la premi< conjuguée de la seconde.

JEL 17

renscmble de ces deux lie et imaginaire ou vecmtinuité de l'iuSni, on lar une seule expression

13 laquelle se présentent

jours en concevoir et eu 3S parties réelles réponla première et récipro-

d'une figure considérée cette figure, et les résul- ! tels, seraient entachés

{Chasles, Aperçu hist.

gures réelles et imagips par les Géomètres, au ;ns la corrélation des 1, et la corrélation des jono métriques, de telle

des premières sont les Jciproqueraent . Caruot 3es figures, et dans sa

son étude comparée du i est la figure corrélative

1 géométrie a présenté sont loin d'être toutes

définir ces quantités, ni mnement. 11 arrive, en ration prend une telle Bbte des ^rties réelles ;, que la démonstration est plus qu'uii cas par-

ticalier d'un théorème plus général où la nature vectorielle des éléments reste implicite. C'est ainsi, que la théorie des pôles et des polaires réciproques, ainsi que celle des sécantes, quand on considère l'ensemble des parties réelles et imaginaires, permet de traiter les courbes et les surfaces conjuguées d'un certain ordre, d'une manière uniforme et symétrique, comme on le voit de suite pour les surfaces du second ordre.

Les éléments imaginaires sont d'ailleurs toujours la conséquence de la présence du signe v' — 1 de l'unité imaginaire circulaire, dans les opérations analytiques, et correspondent à une double solution d'une relation à forme réelle d'un degré pair. Chasies a introduit directement de cette manière la considération d'éléments linéaires imaginaires, en partant de la division homographique. Les points doubles ouïes rayons doubles d'un faisceau homographique ayant même centre, étant donnés par une relation du second degré de la forme

Am + (^ + /*) Am -f- v= o

où >, ft, y , sont des constantes numériques, de rapports anharmoniques réels, que l'on détermine au moyen de trois couples de points correspondants ; alors ces points, ou ces rayons doubles seront réels ou imaginaires avec la nature des deux racines conjuguées.

10. Notions historiques. — Si nous considérons les diflérentes phases par lesquelles est passée l'interprétation géométrique de l'unité imaginaire, nous voyons que depuis deux siècles à peine elle fait l'objet des spéculations des mathématiciens.

Wallis vers la fin du dix-huitième siècle proposa de représenter les racines impossibles du second degré, en portant les parties imaginaires en dehors et sur la perpendiculaire à

CALCnL TECTORlBt

la direction suivant laquelle on porte la partie réelle. Ce construction revient à donner à l'opt'ration \J — 1 la sign cation d'une rotation d'un angle de 90°. Mais il ne ût pai remarque que cette perpendiculaire peut être portée ar trairement dans tout plan perpendiculaire à la direct! réelle. Déplus, nous verrons que ce n'est pas dans le p du tableau qu'elle se trouve comme l'ont pensé la plupart i auteurs après Wallis, mais qu'elle est perpendiculaire plan des quantités scalars ou réelles et dont elle assigne direction, conformément au principe delà perpendicular des quantités réelles et imaginaires conjuguées. Nous voyons nulle part que Poncelet ait vu qu'au moment ou élément passant par zéro ou par l'infini, devenait imaginai il subissait une rotation d'un quadrant, de sorte que ai figures planes conjuguées sont nécessairement dans ( plans perpendiculaires l'un sur l'autre.

Chasles a fort bien vu cette perpendicularité des systèn réels et imaginaires, à partir du zéro conjugué harmonig de l'infini ; cependant nous ne voyons pas qu'il ait expri explicitement la perpendicularité des plans de deux coniqi conjuguées vectorlellement. Quand on opère comme Pona on a en fait une courbe du 4« ordre dont les branches réelles ■ un double point de contact à distance (inieetàdistanceinfii

Le premier essai de représentation des quantités imagit res serait dû à Khiin en 1751 (Voir Houel, Tliéorie quantités complexes en 1872). C'est à cedernier auteur i nous empruntons ces premières notions historiques dans qu'ellesontd'essentiel . Kiihn formequatre carrés sur les a

)v^ = \/(- a) (- a) = - a \Vs=\/{-a)(+a) = -v/-

CAIXUL VECTORIEL

eoordoDilés, et il pose les ^alités (2). Mais il n'iu Jiqae pas lequel des cotes il tant prendre pour représenter Tanité imaginaire et ne fait pas intervenir Tîdée de direction et de périodicité.

Après la tentative de Kiihn, on trouve le mémoire de Tabbé Baée (Philosophical Magazine 1806), sor les quantités imaginaires. Baée formula pour la première fois leur représentation par des longeurs dirigées perpendiculaires à la direction réelle. Il parvient à ce résultat par deux raisonnements différents. Le premier repose sur la construction d'une moyenne proportionnelle entre les deux

cotés AC = + 1 et AD := — 1.

La perpenticulaire AB est "mdjrenne proportionnelle entre les deux segments adjacents et Ton a

L'autre raisonnement est celui de Kiihn sur le signe des quatre carrés que Ton peut considérer conmme ayant les quatre valeurs (+1, — 1, + 1> — 1)^^ comme les carrés des quatre quantités.

qui représentent les cotés avec leurs lignes dans les quatre positions rectangulaires.

Dans la même année Argand établit d'abord en suivant la première méthode de Buée, la représentation du symbole

V^— 1 par la longueur unité portée sur une direction perpendiculaire à celle des directions réelles, comme l'avait fait Wallis. Il généralise ensuite cette conception en introduisant un symbole unique pour exprimer un vecteur. Il définit les opérations de l'addition et de la multiplication,

CALCUL VECIOKIBL

décomposition d'an vecteur en deux & i^ulaires, l'une réelle, l'autre imagi rne v' — 1. C'est la première expression d m et Argand doit être considéré comi car du calcul vectoriel. Dans le siècle a vre, Cauchy, etc. ont étendu à d'i lécouverte d'Argand. On reconnaît qi st un opérateur qui exécute une rotati ir dans un plan vecteur, et cette opéi ; la période comprenant les phases

[ue chacun des termes de cette suite se <

ar la multiplication par v' — 1, et la p t la période circulaire 8 it. De plus à l'a Joivre exprimée par la relation

- V— ï sin a) " = C08 m« \/ — 1 sin ma

ae le facteur angulaire d'Euler

C03 a + v' — 1 sin a = e irqui eflfectue une rotation d'un vecteur n plan, et que par suite \/ — 1 est la i cette quantité angulaire répondant à la i

5 de l'argument, de sorte que l'on

-l = e'»^,-N/=î=e'T*^'+l=e" ' à Euler, qui montrent la périodicité

• f fS\r

22 CALCUL VECTORIEL

fonction axponentîelle linéaire, et que de plus, l'unité imaginaire et Tunité réelle ont une infinité de valeurs périodiques circulaires.

11. Découverte de Hamilton, — Mais jusqu'à la découverte par Hamilton des règles du calcul algébrique de l'unité imaginaire, oiî était assujetti à ne pas sortir d'un même plan. Une tentative avait été faite par Servois en 1813. En cherchant aussi à étendre à l'espace ce que l'expression

\/^ représente relativement à un plan, Servois se trouve conduit à écrire cette expression sous la forme.

2? cos a + ^ cos p + ^ cos Y

en désignant par (a, jB, y) les angles que forme la direction du rayon de la sphère-unité avec trois axes rectangulaires, et il s'assure que les quantités^, ç, r ne peuvent pas être réelles ; mais il ne peut trouver de réponse à leur forme. Or ces quantités sont précisément les vecteurs-quadrants [i, j. k) de Hamilton.

Vallès, il y a une vingtaine d'années (Des formes imaginaires en algèbre), crut trouver dans le facteur exponentiel

sj — 1 , le moyen de sortir du plan des [x p)^ mais, outre

que sa tentative est vaine puisque le facteur v^-l fait

tourner le vecteur dans le plan des {z y) seulement, il n'a pas vu par une erreur inconcevable que le symbole

x/=ï V— 1 est une quantité réelle, comme l'avait montré

Euler depuis longtemps. On lui doit cependant de sérieuses réflexions sur la nature de l'unité imaginaire, et surtout sur la construction vectorielle des équations.

1%. Multiplicité des valeurs de Ihmité. — On sait

CALCUL TECTORIBL 23

li que l'opération V— 1 de l'unité imaginaire, que lerons par I, a uue inanité de valeurs distinctes lans la formule donnée par Hamilton

I = iOOSa + ïCOSp + ftCOSY int trois valeurs coordonnées du même symbole es arbitrairement, mais cependant assujetties à claires entre elles ; c'est-à-dire, que l'on a la ;ébrique réelle

COS* et -|- DOS* P -|- COS" Y — t

e également que l'unité réelle a une infinité de iinctes.

le dit Hamilton, toutes les directions de l'espace renir imaginaires. Mais il faut se garder de les ,vec les directions de l'unité réelle, qui sont aussi inflni. 11 £autdeplus observer qu'une quantité naire que relativement à une autre quantité ni est conjugée et réciproquement. Kntln qu'une itité ne peut être simultanément réelle et imaonc « deux directions, l'une réelle, l'autre imacoïncidantes sont essentiellement distinctes Bment et analytiquement ; autrement dit, elles nent pas à la même figure ou à la même quan- . De sorte que l'espace indéfini admet indifféremandeurs réelle» et les grandeurs imaginaires. ère de multiplicité des valeurs de l'unité réelle ou est facile à assigner. La multiplicité des valeurs ielleest due au parallélisme de toutes les direcidiculaires à un pian quelconque. La multipUïurs de l'unité imaginaire est angulaire, et est )us les azimuts distincts autour d'un même axe nent autour d'un axe de direction quelconque, ailleurs que la droite de l'infini sert de passage

24 CALCUL VECTORIEL

de l'une & l'autre direction réelle et imaginaire conjuguée et établit leur continuité vectorielle.

Tout vecteur-unité I n'est donc pas autre chose qu'une valeur défluie de l'unité imaginaire arbitraire V — 1, et ce dernier symbole n'est plus une opération fontionnelle algébrique, mais une opération transcender te, c'est-à-dire périodique. Le signe v' — 1 n'exprime comme verseur quadrant qu'une opération angulaire ou de direction ; mais lorsqu'on y associe comme facteur de mesure l'unité réelle ou modulaire, il devient un vecteur, ou iernîon-uniié. Cela résulte de ce que le nombre ou la quantité qui subit l'opération fonctionnelle, indiquée par l'algorithme correspondant peut toujours être regardé comme implicite (§ I, n' 7). , Ainsi le signe v'— 1, considéré par Hamilton comme algébrique, exprime une indétermination de l'unité imaginaire, ou du plan verseur d'un quateniion.

$ in. — De l'imaginaire en Mécanique

En mécanique le principe de la dualité des contraires s'y montre continuellement, et l'on reconnaît que cette dualité a pour base la corrélation de lunitc réelle et imaginaire conjuguée, ou qu'elle est veclorielle. Ce principe permet ainsi l'introduction directe de l'imaginaire en mécanique, tentative qui n'avait pas encore été faite d'une manière synthétique. Pour le montrer, nous sommes obligés de présenter quelques déflnitioiis de principes cosmologiques ou de phtlosopliie naturelle, que nous développons dans un ouvrage séparé.