Cas des quateriiioits coplanaires. — Dans le cas
ticulier où tous lesternioiis-untté I sont parallèles, ils ont 3 la même valeur au signe près, et passent en facteur imun, de sorte que K=I, et les formules qui donnent la dule et l'argument de la somme ne reofernient plus de nions-unité, et nous aurons
j P cos ^ = H — ï R cos 6,
jp sin 9 = G= S Rsine,
P xc ^(2 R C03 9)* + (2 R cosBj*.
G ï R cos
'»"«' = ïï = ritiî;r5'
ame si les vecteurs étaient tous réels ou scalars. On ait d'ailleurs sous la forme vectorielle en appliquant la me méthode
H ^ 2 A, Q =ïB, ù P = v'h' + G»— v'ï R* + 2 Z R( Rj- cos (Ri Rj), G ÏB
Donc la somme vectorielle d'un nombre quelconque qnalernions dans le même plan est un qnaternion <is le même plan dont la partie scalar est la somme 'ébrtque des scalars, dont la partie ternlon est ta mne algébrique des lernions et dont le modîde et l'arment sont déterminés algébriqnem,ent .a iemarque. — Cette méthode de sommation vectorielle a e.nployée par Fresnel pour la composition des monvents vibratoires et bien que présentée indépendemment de notion du calent de l'unité imaginaire, on voitqn'elle >artient au calcul vectoriel. 11 eu est de mémo pour la
)P*.:TWfT5»-^rT-\.r*
CALCtJI. VECTORIEL l
sectorielle des forces de translatiou et de rot
s avec tant d'élégance par Poinsot, ce qui tie jrces sont eu fait des vecteurs.
me m . — n Le module de la somme de dei quelconques est compris entre la somme
t des modules des parties, n
le donné par Cauchy, étaut indépendant de
ion-nnité, est applicable à tout quaternion.
ient
in6)-|-R'(cosO'-f rsin9')= P(co3f>4- Kain.
l'après les rifles précédentes pour la vale
— \/R* + 2 RR' ces (9' — 9) + R*,
P < [R -I- R) >(R - R'), le plan verseur de K.
[. — u Le module de la somme d'un noml).
le quaternions ne peut surpasser la somt ! des parties . »
le est nue conséquence de l'addition vectoriel ; algébrique du module résultant. Il exprii tion de géométrie : « Toute droite est pi la ligne polygonale plane ou gauche q s extrémités. »
: //, — Si nous multiplions les deux membi
P C0S9 = H, Psinç — G, arcos 9 et la seconde par sin tp et que nous '. lis la première par sin <p et la seconde par cos i& tranchions, on obtient deux relations a\% js, savoir :
cosip 4- G sin?, H sinp — Gcosif — 0.
130 CALCUL VECT0RIB1
Là première exprime que le module des projections du module scalar et di sa direclion, ou que ces trois droites rectangle, et par suite que le acaiar et droites rectangulaires entre elles.
La seconde donne l'argument du qus l'avons déjà trouvé.
En résumé, nous voyons que la mé applicable à la sommation vectorielle s
$ n. — Méthode géon
75. — Un quateroion quelconque, terminant un vecteirr, peut être trans] son plan verseur et tourné comme on L'addition des vecteurs, consistant à I ment à eux-mêmes à la suite les uns ( aussi une opération géométrique, qu rapporter à un plan scalar arbitraire et ternions trirectangulaires (i, j, le) dont et la direction sont également arbitrair tout système de coordonnées.
On pourra donc toujours après avoi vecteurs en un même point et après dans leurs plans verseurs dans le sens amener le vecteur initial de leur argun scalar dans un même plan, que nous af et le vecteur modulaire, devenu veci la position de ce module en grandeur tive.
11 résulte de cette construction que laires sont rapportés à une môme or.
CALCUL VEOTORŒL 131
'. pyramide polygonale dont la position laiitfi du plan scalar initial.
i de chaque quaternion, qui ont été ment à enx-mémes, ont conservé leurs îrsorielles. lis forment sur la sphèrepyramide polygonale, qui est la polaire édente.
int faite, nous pouvons transporter les i-ternions parallèlement à eux-mêmes 3, et si nous faisons la même chose pour nous aurons un polygone des modules, 3, et un polygone des scalars, nécessaîrmant sur la sphère-unité le contour ime ordre, le dernier arc de grand cercle ur et la direction de l'argument résulutour. De même, par l'addition vectoeur, qui ferme le contour polygonal des ?s, détermine le vecteur modulaire et le laterniori résultant. Du reste on peut ns peuvent être faites dans l'ordre que
les ainsi formés se ferme de lui-même, , étant nul, le polygone des scalars se même et le vecteur résultant sera un un ternion. Si la sommation modulaire vecteur résultant sera un scalar. Enfin i se ferment séparément, la sommation nulle. Ce qui montre que la sommation et des vecteurs ternions doit se faire
le quantité vectorielle linéaire S Re =Pe^ ' 2 autres, l'une scalar initiale S R cos 6
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C»L<!trL VECTORIEL
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Tautre temion SIRsinO, et poQr satisfaire à {'étif^atii9&
vectorielle s Ke =o, nous devons avoir séparément
S R cos 6 =: 0, S« R sin 6 = o.
La première exprime que la somme des projetions orthogonales des modules scalars, sur un axe scalar quelconque du plan scalar, est nulle, et la seconde que la somme vectorielle des modules ternions est également mille iiidépelidemmeut Tune de Tàutre .
Nous voyons que dans la sommation vectorielle de vieictedrs quelconques, Topéralion d'addition comprend detït phases, runc qui consiste à les comparer enti^e eux, en les râq[>portant à une origine et à un plan scalar commun, et Tàcrtre qui consiste à les ajouter parallément â eux-mêmes.
Cette opération qui consiste à faire disparaître 1^ scalars pourrait donc s'appeler soustraction vectorielle. Réciproquement quand on transporte des vecteurs de même nature, parallèlement à eux-mêmes et à la suite les uns des autres dans ue certain ordre, cette opération constitue une addition vectorielle, ptlisqu'elie détermine une face du polygone plan ou gauche et par suite leur donne un scalar défini et un argument.
Ainsi additiouner des vecteurs, c'est leur donner un scakr déterminé, et soustraire des vecteurs, c'est supprimer leurs scalar, en observant, d'ailleurs d'après l'état relatif de la connaissance, que l'origine et la direction des 4 coordonnées vectorielles restent arbitraires prises absolument, les 3 coordonnées ternions (e, j, h) étant assujetties seulement à être rôctangillaires entre elles, et à se couper sur le plan sealar avec le quatrième coordonnée scalar.
Nous voyons que la sommation scalar ne peut influer sur la direction du ternion résultant K, ainsi que sur la valeur du module résultant P ; mais elle influe sur la valeur de l'argument qui assigne celle du scalar résultant seulement, H = P cos (p. De même la sommation ternion ne peut influer
