A (ML' — M'L
ondition de perpeudicularité des plans verseurs des s est
LL' + MM'+MN'=o, indition de parallélisme est L M N
ui est conforme à la géométrie du plan, qde nous ns à la théorie des fonctions vectorielles du premier
I, comme nous pouvons mettre un quateriiion sous la inéaire
Q = SO - (îS iQ +jSjQ + ftS hQ), nous le verrons en parlant de l'équation vectorielle j, nous pouvons de même mettre le produit Q Q' sous le linéaire
)' r^ Oi = S QQ' - (îS iQQ' + jSjQQ- + kS JiQQ'). [ui permettra d'obtenir directement les coefficients qucs du produit de deux quaternions donnés, sans esoin d'effectuer toutes les multiplications membre à e. En effet, il suffira de multiplier successivement Q'
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CALCÏIL VECTOEIBL 119
t de prendre seulement le produit des quan- Smes unit^ que le quat«niion Q qu'on laisse
salar du produit de deux quaternious ne id on intervertit l'ordre des facteurs, ou de uelconques de facteurs, on voit d'abord que 3duits QQ' et Q'Q sont égaux ; quand aux version des facteurs ne fait que changer le es (NM' — N'N), (L N'— L'N), (M L'— MX), par exemple
SiQQ' = SQ' iQ ^ SQQ' i, oduit
SîQ'Q = SQiQ' = SQ'Qi.
eurs différentes, par l'interversion des fac-
que l'on a
— 2 S QQ' + ATQ' + A'TQ, ■ := 2 j i (NM' — IA'N)-\-j (LK — L'N) + ft(ML' — M'L) j.
— GtuatemioDs coordonnés
érons les trois équations vectorielles binômes
=:AU, n=^BU, ç^CU, trois quaternions constants et donnés, et U ariable. Nous pouvons faire abstraction des idérer séparément les verseurs. D'après la ; des verseurs, le verseur U est le troisième ne le triangle sphérique formé par Tinter-
r.ALCUL VECTORIEL
section des plans verseurs des deux autres, et qui est commun par conséquent à trois triangles sphériques adjacents. Soient I, J, K, les intersections des verseurs A~% B~'7j, C"*^^, respectivememl . Nous pouvons considérer les trois ternions-unité comme formant un système coordonné et nous pouvons même les prendre rectangulaires entre eux, puisque les grandeurs absolues des A, B, G, sont arbitraires. Si donc nous considérons la figure ci-contre, nous
voyons que les quaternions remplissent les conditions exprimées par les équations proposées. Puisque les vecteurs A, B, C, sont constants en grandeur et en direction, Taxe OQ est ^xe et Taxe mobile OX décrit une courbe sphérique sur la sphère-unité. Ainsi nous pouvons considérer U comme un quaternion coordonné par rapport aux quaternions fixes (A, B, C). On a comme on peut le vérifier
dans lesquels les rapports des variables ont la môme valeur que ceux des vecteurs correspondants paramétriques.
Ces équations ont la même forme que celle des intégrales simples des mouvements vibratoires. Caucliy supposait que les verseurs pouvaient être parallèles au plan U, ce qui évidemment ne peut avoir lieu généralement.
Si nous considérons l'argument du verseur comme constant, tandis que son ternion- unité prend toutes les valeurs possibles, le point X décrit un petit cercle ayant Qpour pôle, et le vecteur variable se trouve sur un cône d'angle const^jnt, ou décrit une spirale. Si au contraire on suppose le plan verseur de U constant, ce qui est le cas supposé par
CALCITL VECTORIEL 181 "li
Canchy, le verseur OX décrit un plan de grand cercle, et le 'i
vecteur une courbe plane, 9
A chaque direction de l'axe polaire OQ répondra «ri mou- ,.:;
vement simple différent. Ce qui montre que la théorie des '$^
mouvementa périodiques inânimeut petits est loin d'avoir ';
donné toutes ses conséquences mécaniques. î
- '^JVl
APITRE VI
lTïon vectorielle
Uéthode algébrique
icr d'abord les règles du produit des it celles de leur addition sur la sphëre- }nt la base du calcul des quateruions.
hap. II) les règles principales de la i, d'où il résulte qu'une additiou algébrique ne peut être relative qu'à une même unité de direction. Nous avons fait remarquer que la permutation des termes répondait à un contour polygonal défini, différent en géoéral de forme.
Enfin nous rappellerons que le nombre des quantités numériques réelles, nécessaires pour déterminer un quaternion, est de quatre au plus, soit sous la forme vectorielle ou linéaire, soit sous la forme versorielle ou sphérique.
70. Théorème I. — Egalité 4e deux Qtmternions. — (( Pour que deiix quaternions soient égaux, il faut et il suffit, que les parties scatars et les parties temions soient égales séparément, ou biefi qiie leurs modules et leurs verseurs salent égaux séparément . »
Soit d'abord la forme vectorielle,
(1) Q— A + BI, <}' = A' + BT.
Pour que l'on ait Q = Q', on doit avoir les deux conditic s
(2) A = A', BI = B'r.
CALCUL VECTORIEL
de égalité exige que les dciis tcniions-unité I et I' arallèles, puisque leur rapport est une quantité qui entraine deux autres conditions complémen-
I + r = o, etB^B'.
prend la forme versorieile, savoir :
= R (cos e + I sin 9), Q' = R' (cos 6' + f sin 6'}, ons avoir les deux conditions pour Q = Q' R', U ^ U' ou cosO -f- I sin 6 = cos 9' + T sin 6'. ière égalité entraine comme précédemment deox nditioiis d'égalité, entre les parties scalars et les jmions des verseurs, savoir :
cos 6 — cos 6' et 1 + r = o. ère exige que l'on ait + 6' — o, ou plus généra- + (9 -(- 2 ftîc) — 0, ft étant Tiu nombre entier Il négatif, c'cst^à-dtre qu'il faut que les arguments aux ou ne diffèrent entre eux que d'un multiple de férence d'un grand cercle, quelque soit d'ailleurs ns verseurs. La seconde égalité exige comme prént que les axes ternions soient parallèles. En effet, rs de l'unité imaginaire étant de la forme
I =iCOStt +iCOSP +ftC03Y,
V = i cosct' -^rj cosp' -|- k cosy', meuvent satisfaire à la condition I + 1' ==; o, que si çalité multiple, qui expi'ime les conditions du pae de deux directions quelconques.
cosa cos p cosy 1
cos«' cosp' cosy' ~
mlemions plans. — Dans les quaternions dans un in, la'condition I +; T = est déjà satisfaite par
CALCOL VECTORIEL 135
sqa'il s'agit de la même valeur de l'unité lœaau signe près. It suffit pour leur égalité de ns, savoir : que les modules scalars et les mo- 5 soient égaux siîparément, ou que les arguèrent entre eux que d'un multiple de la circon- ^raiid cercle . On en conclut que tous les théorés pour les quaternioiis plans,qui ne concernent leiit la variation de leurs ternious- unité, sont des quatemious quelconques.
me II. — Addition des quaternions.
Bos 6 + I sin 0), Q' = R' (cos 6' + I' cos 9'),
' = R" (cos 6" -|- I" cos 6") etc.,
is qu'il s'agit d'ajouter vectoriellement dans un it soit lequaternion résultant de la forme
Q, = P(cosy-l-KsinT), "ons directement le', module ,et l'argument de e la manière suivante :
i d'abord
\ P cos<p — H :=r s R cos 8,
( KP sin ? = KG = s IR sin 9, pour la valeur du module et de l'argument
VH'4- G' = \/{i:R C0s6)«— (i;iR siu9)S „ s PR sine G
"^^ SReosO H'
ïppons le radical, en observant que l'on a cosQ)' ~ i; R'cos'6 + 2 S Ry cosOj coaOj Rj, (2 IR sinSj* = S R' siiiH + 2 S R; Rj sin «<
sinOj cos (I' Ij); s généralement (1, Ij + 1^1;)=— 2 tos(l,- U),
-ffl
126 CALCUL VECTORIEL
toute partie imaginaire disparait. De là ce théorème a Le carré d'une somme de lernions est une quantité scalar négative. »
Si nous y ajoutons ensemble les valeurs de H* et G-, en observant que la trigonométrie nous donne
(14) cos (ôj 6^) = cosôi cosôj + sinôj sinôj cos (h \j), il vient pour la valeur numérique du module
(15) P = \/s R* + 2 S Ri Rj cos (Ô* ô;),
où si Ton veut
P==r VSKiR>cos(Ri R;),
en donnant aux indices toutes les m valeurs de Tordre des m quaternions donnés.
Si les quaternions sont donnés sous la forme vectorielle, la méthode sera la même, car soient
(16) Q=A+BI, Q'==A'+Br, Q"= A"+ BT'...etc.,
nous aurons
JH = SA, .KG = SIB,
M P =^ VS (A^ + B^) + 2 5] (Ai Ay + Bi B; cos (Ii I;).
Pour déterminer le vecteur unité K, nous aurons, en supposant connues les valeurs des ternions-unité (l, T, l"...),
IR sin6 = B (i cosa -\~j cosp + h cos y),
., .. . l'R' sin6' = B' (^ cosa + j cosp' + h cos y), l^^) [
etc.
Posant
(19) KP sin(p = G (^ cos a + j cos ô -f- ^ cos c),
nous aurons pour déterminer les cosinus de direction de K les équations :
G cosa = D B cosa,
(20) [ G COS& !== S B cosp,
G cosc — H B cosy;
os «)■ + s B cos p)' + (s B cosy)*,
r que cette valeur de G est identique car on a généralement
)Sa; COSaj + COS^j COS p^ -(- COSyi COSTJ, : -|- cos'yi = Il Bj = Ki sin9(.
montrer que le produit KïlB est an lous avons généralement
=— cos (Kl) + J sin (Kl),
)rime*le dièdre des plans verseurs de i ternion-unité perpendiculaire au plan ections K et I, ou le plan verseur du
tuons le produit des deux membres par issions la somme des termes semblables,
B cos * -|- cos 6 S cos p + cos 6' S cos y [ B cos Y — cos c S B cos fl j B cos a — cosa S B cos Y | Bcosp— cos6S B cosa j.
aux sommes leurs valeurs tirées des as (20), nous voyons que la partie terue la partie sealar se réduit à — G.
auvons remarquer que l'équation
SIB = KG chose, que le contour polygonal des tera pour résultante le vecteur ternion K G ■, lorsqu'on fiiit leur addition vectorielle raorielle.
