CHAPITRE VII

PREMIÈRES NOTIONS ;Un LES FONCTIONS VECTORIELLES

Fonctions implicites

Définition. — « Deux quantités quelcoyiques qui

it simuHanémeni, de manière que la variation

î de Vune entraîne la variation correspondante

tire, sont dites fonctions l'îine de l'autre. >>

,ut considérer l'une des variables comme prenant une

le valeurs continues ou discontinues, suivant un cer-

ajet défini, et on l'appelle la variable indépendante.

e variable dont les valeurs sont déterminées par celles

remière s'appelle la variable principale ou la fonction

ile.

, f (m, v) — û, l'équation ou la relation analytique

) qui relie les deux quantités variables u et v, on dit

)st une fonction implicite de uetv.

peut avoir à considérer des fonctions implicites de

136 CAIXtTL .TECTOHÏieL

trois ou d'un plus grand nombre de variables, telles que f (Uy V, te?,.. J = o. En Mécanique et en Géométrie le nombre des variables est en général limité, ou tout au moins se ramène à un nombre défini . Mais en Analyse ce nombre peut être quelconque.

Il importe d'observer que, dans toute fonction implicite f (Uy v) = 0, l'une des variables doit être considérée comme une fonction explicite de l'autre. Siuetv sont des variables vectorielles, le vecteur u, par exemple, sera une fonction vectorielle du vecteur v. L'oubli de cette condition rend caduques les déductions que Ton peut tirer de la comparaison des parties réelles et des parties imaginaires d'une fonction implicite. Nous avons vu avec Chasles que des parties réelles et des parties imaginaires bien que coïncidentes n'appartiennent pas à la même figure, ou plus généralement à la même question analytique. C'est ainsi, que dans le traitement du coefficient différentiel d'une fonction de variables vectorielles fC^, v) = o, ce dernier est lui-même, en général, un quaternion et ne peut être traité comme une quantité réelle simple.

Ces premières notions, que nous faisons partir de définitions qui peuvent paraître peu nouvelles, sont cependant bien vite compliquées par la multiplicité numérique réelle et imaginaire de l'unité, et c'est à définir cette multiplicité que tendent les règles du calcul vectoriel, ou de l'unité circulaire v^^l.

78. Fondions cartésiennes. — Quand deux quantités variables x et y, dites cartésiennes, c'est-à-dire, à forme réelle explicite ou implicite, sont liées entre elles par une relation analytique réelle f(x, y) = o, l'équation exprime le lieu géométrique réel des paramètres ou coordonnées de point œety. Nous dirons qu'une expression est de forme cartêsiéûne quand les quantités données ou inconnues ne

ALcm. TEOTOBIEL 137 3

e v' — 1 *ic l'unité imaginaire, exprimé Sf

naiit à l'une des variables une suite de l

;oiisëcutives comprises entre — ot> et ''-i

prend une suite de valeurs correspon- jj

i l'équation donnée, valeurs parmi ^

've que celles qui sont réelles, puisque /Û

liant vectoHelles n'appartiennent pins „

lieu géométrique, qui est réel par :J

algébrique, quand tous les signes j!

ns sont algébriques, c'est-à-dire, non ^

ble principale ou la fonction explicite, ';

me quantité dont les valeurs peuvent '^S

luatîons à coefficients réels explicites, -;■■

cines vectorielles sont conjuguées deux „, "seur restant d'ailleurs complètement

; pins de même quand les coefficients :'

Uorielles. — Quand il s'agit d'une de variables vectorielles, mais cepeniue, CCS variables sont elles-mêmes des iteriiions de variables cartésiennes. Si ictions vectorielles diflFÈre beaucoup de is cartésiennes par les valeurs définies i circulaire, elle a pour base les mêmes es, auxquels il faut et il suffit de vent des propriétés arithmétiques de licite, et qui modifient profondément u est habitué à considérer pour les

tun ou plusieurs vecteurs quaternions, lar définition de la forme,

'~ff -

138 CALCUL VECTORIEL

(1) w = X+tA+iB + ;tC, v = a;+^+i6+ fto.

Les fonctions cartésiennes (X» A, B, C), en considérant u comme la fonction explicite, ou la variable principale, sont elles-mêmes des fonctions déterminées et réelles des variables réelles indépendantes (œ^ a, ô, c). En effet, quelle que soit la forme de la fonction f (u, v) = o, si Ton substitue dans cette équation les valeurs (1), on pourra toujours s- • la ramener définitivement à la forme

::/ (2) f (u, t?) = (po + *' Çl + i ?2 + ft ?3 = <^>

et nous devons avoir séparément

(3) <po = 0, cpi == 0, <p« = 0, <p3 = o,

et les fonctions (X, A, B, C) seront déterminées en fonction des quatre variables (x, o, &, c) par la résolution de ce système simultané. Réciproquement, abstraction faite des difficultés de Téliraination et des valeurs multiples qui dépendent du degré algébrique des équations, on aura les fonctions inverses [oc, a, b, cj en fonction des (X, A, B, C).

D'ailleurs nous n'aurons à considérer que les valeurs réelles ou scalars de ces fonctions (X,. A, B, C), puisque leurs valeurs vectorielles ou imaginaires ternions, n'appartiendraient plus au lieu géométrique de ces fonctions qui est : réel par hypothèse.

Ici la variable, vecteur indépendante i», j^rend non-seulement des valeurs arbitraires de — oo à -f- oo sur une direction scalar fixe, mais elle prend des valeurs arbitraires suivant une direction ternion conjuguée. Un nombre ternion peut être considéré comme un nombre sphérique^ c'est-à-dire, ayant la même valeur sur une sphère dont le rayon est le module ternion et dont le centre se trouve sur la direction scalar. C'est là un conditionné de retendue, correspondant à la dualité vectorielle du nombre.

Un vecteur ternion ^:=z ta -\-j b -{-Uc est complètement

CALCUL VECTORIEL 139

n grandeur et en direction, et peut servir à dent quelconque de l'espace par l'intersection comois paramètres de plans rectangulaires entre eux est là la conception de Descartes. Mats de plus est un nombre circulaire, c'est-à-dire, qui a la ir pour tous les points du cercle perpendiculaire on-unité. On peut même, à cause de l'indétermiiinitë imaginaire V—l, l'appeler un nombre sphéae nous venons de le dire. Mais l'on conçoit que eut ne pas coïncider avec l'origine vectorielle, uatrième variable,- dite scalar,' qui exprime par tre ic la distance du plan sur lequel se trouve le i sphère ternion .

donc la représentation la plus simple possible ble quaternion v = x -\- ia -\- jb -\- ftc,, serrminer un point quelconque de l'espace, comme n de trois plans rectangulaires, coordoonéa des iernions (l, j, h), intersention qui se trouve ellein quatrième plan scalar coordonné. En effet, le i]l est de ramener toutes les questions à des ques- 'emier degré, et le but de la Géométrie de ramenés à des compositions de droites et de plans. 'onsque plus généralement d'un vecteur de point >nsidéré comme une fonction linéaire à quatre dus, de la forme f{v) = se Q^ -\- a Qi -\- b Qt -\- Q sont des quaternîons donnés.

aternions. — On a appelé biquaternions des ui peuvent présenter le signe arbitraire v' — 1 , de ilaire, comme il arrive pour tes solutions vectoe équation cartésienne à coefficients réels. Mais ;tion est au fond inutile. Nous avons montré que i-unité est une valeur définie de l'unité circulaire

140 OJI.CUT. VECTORIEL

^— 1, «t que cette dernière a une infinité d< UDe fonction f (m, v) = o, renferme expli de l'opération y/ — I, elle se décompose en a OD d'équations indépendantes, comme nous pour cliacnne des valeurs coordonnées de imaginaire n" 79 (2). C'est donc une queatio terminée.

Nous pouvons doue toujours supposer variables vectorielles implicites, comme ays brique et cartésienne. Dans le cas d'expoi fonctions transcendantes, qui admettent de valeurs périodiques, nous pouvons ne celle que Caachy a appelé la valeur princi pi s'il y ft lieu en série. Nous avons expliqué, nain^, ce que nous entendons par opératio élémentaires, et ces notions nous suffiront ] fonctions que nous nous proposons d'étudiei

81. Valeurs multiples . — Dans une f de variables vectorielles / (m, v) = Q,k cht variable indépendante, v, par exemple, p une ou plusieurs valeurs distinctes de la fon tuivant le degré de l'équation algébrique.

teurs de point v décrit une trajectoire ou s surface donnée arbitrairement, l'autre vect« ou plusieurs trajectoires, ou surfaces coi déterminées de forme par la nature de la tique proposée. Si dans le cas le plus simp est à forme entière et rationnelle d'un polyi par rapport à n et du d^ré n par rappo:

donne à v l'une des n valeurs qu'il conipoi prend m valeurs correspondantes, et si w ( surfaces distinctes, continues ou discontin branches et les nappes allant à l'infini ou

itPJîiP^^ 'T-;*>Wr"-'!^'^-'f ^???"--

OaLODL VBCTORIBL 141 3

écrit dans chaque cas m anr&ces oor- 1

Une fonction entière de variaWes veoto ibriqiie définit une quantité qui a m 1 chaque point de l'espace Hmité on

plète serait extrêmement longue et pend la même qae celle de la théorie des à plusieurs nappes et celle de la théorie i. On troavera dans Briot (Théwie des la théorie des points critiques et celle : la multiplicité des points racines, dans ilan verseur âse, et d'équations à coeËS-

rs et points critiques. — On appelle 'aleurs de la fonction explicite qui corars de la variable indépendante, et qui vectorielles de point.

Bs valeurs de la variable indépendante, ion principale et qui en sont par consé- )n appelle pôles les valeurs de la va- |ui rendent indnies celle de la fonction.

sont appelés points critiques ou de dis-

> donnée Vt du point variable v l'équ»s racines égales, pour des valeurs de v trajet défini, la fonction u décrit p ou p nappes de surfaces passant par le i la fonction admet p racines égales k lie. Les points singuliers à l'infini, qui comme on sait, les points critiques du haute puissance u de la fouction dans que l'on suppose de forme algébrique.

142 CALCUL VECTORIEL

Leur nombre est au plus égal à m—n. Les poii à distance tiuie s'ubtieniient en élimitiant u en

— — = o, et la fonction f{u, v) = o. Lei

au plus égal à m (ji-1). Ce sont les deux sortes gu tiers que présentent les fonctions algébriqi siennes. Les points singuliers peuvent d'aill points racines ordinaires ou continus, ou des po et discontinus. Dans le premier cas on a ce (ju des nœuds, que l'on peut supposer relacbés il poursuivre leur trajet continu. Dans le secon rebroussement, et on peut imaginer une spliè petite dans laquelle la courbe ne pénètre pas, i rêter à sa surface sous un angle fini, et sur nappes multiples forment une courbe sphériqu D'un autre côté, on sait que tous les poin l'infini sont sur un plan, qui se confond avec rayon infini ; car le plan est la figure limite surfaces dont les paramétres deviennent infinis

83. Champ. — On appelle champ l'espa indéâni parcouru par l'extrémité mobile d'u point dont Torigine est donnée. Un champ est ( quemeut et géométriquement de deux manières soit par des fonctions scalars de points ou surJ des vecteurs de points ou trajet vectoriel.

On peut toujours limiter un champ par unt tinue, telle que Ion puisse tracei- sur cette su tour fermé arbitraire, y compris les nappes et allant à l'infini ou revenant de l'infini.

Un champ est dit simple quand la surfact nuant ses paramètres jusqu'à zéro ne rencontri surfaces intérieures. Dans le cas contraire le ■ complexe. Par exemple, l'aire intérieure d'une

CALCUL VECTORIEL 143

champ simple quand elle ne renferme aucune surface fermée. Les surfacesintérieurespeaventse réduire elles-mêmes à un [joint critique, et tout champ renfermant des points critiques est un champ complexe. Inversement tout point critique est assimilable à une sphère infiniment petite dans le champ. Un point racine simple ou multiple ordinaire, dit neutre, étant continu, donne un champ simple et est assimilable à une surface canal.

On peut toujours hmiter un champ par une sphère d'uu rayon suffisamment grand, pouvant contenir tous les points critiques à distance finie d'une fonction entière et algébrique donnée.

Plus généralement on peut limiter le champ par une surface du second ordre, dont la sphère est un cas particulier, comprenant les pôles ou les points critiques à l'infini.

On peut toujours à l'aide d'une surface canal ou de fissures transformer un champ complexe en un champ simple, car cela revient à extérorier les points critiques. Une surface canal peut d'ailleurs se réduire à un trajet linéaire (limite de la surface canal) suivi d'une sphère infiniment petite enveloppant un point critique, et que l'on appelle lacet. On rend ainsi la paroi interne du champ continue et simple. De même les fissures peuvent se réduire à des surfaces diaphragmes ou feuillets, qui se dédoublent pourentourer un point critique; ce qui divise le champ en un ou plusieurs champs simples.

On doit avoir soin d'assigner le sens positif de la normale à lasurfiice qui limite le champ et sépare l'espace indéfini en deux régions distinctes, l'une intérieure, l'autre extérieure par rapport à cette surface. En effet, quand un vecteur de point décrit une surface ou un trajet quelconque sur cette surface, il faut distinguer le trajet fait sur la paroi intérieure du trajet fait sur la paroi extérieure et toute surface doit être considérée comme un feuillet double et l'un d'eux forme un champ complexe par rapport à l'autre.

144 CALCUL TECTORIIL

Il &ut TBmarqner que la spbère a'étt lier des surfaces du second ordre, cesc considérées comme des surfaces ferméi partagent l'espace indéfiui eu deux régi lemeiit en deux régions, l'une intérieun

La napiie allant à l'infini ou revenan mer ta nappe conjurée doit être conf mant sur le plan à l'inSni. Ainsi dans 1< second ordre, telles que l'hyperboloid paraboloïde hyperbolique, l'espace in séparé en deux régions distinctes pt rbyperboiolde à deux nappes on doit uappes conjuguées comme se fermant indéfini est toujours séparé par la sur disUnctes, l'une intérieure, l'autre exté bololde elliptique toute une nappe es' l'oD sait que cette surface est la limite rbyperbololde à une nappe. Knfln on d cas particuliers des surfaces du seconc cylindres, les cônes, les plans sécants gués deux à deux. Ainsi, dans le cas < lèles à distauce Qnie, la région iiitérieu région extérieure et cette dernière est l'iuâni commun.

84. Trajet vectoriel d'un poin< /■(m, 17} = est irréductible, c'est-à-di en facteurs de même forme, et que ne points critiques (ai, ni...), en nombre fonction principale, et qui en sont les quand la variable indépendante v parti auquel ne répond pas un point crit valeur correspondante de la fonction u valeurs qu'elle peut avoir en un même

CALCDI. TBCTOanL

saivant le trajet de la variable ia<^peadante sur une sur du champ, doanée arbitraireiaent, que l'on revienae au p de départ, après un trajet défiai et fermé de cette Taria avec une valeur différente «g de la fonctico. C'est iju'a le trajet a traversé la surface racine Uo. Si par exemplt surface arbitraire, sur laquelle est tracé le trajet ferméd reuferme un ou placeurs points critiques, il y a chaugen brusque de l'argument de la fonction. Nous avons tu a ment on peut transformer un cbamp complexe ou un chi simple au moyen de lacets ou de diaphragmes, et pour trajet de la variable vecteur v, qui ne traverse pas la p de cette surface à champ simple, on reviendra au point départ avec la même râleur Ua de la fonction.

Si l'on paut décrire une sphère ou plus généralemeat surface quelconque du second txdxB, ae comprenant aa point critique dans son intérieur, tout trajet fermé q; CQii<iu.e, décrit sur la par&i intérim de cette 8urface,ramèi à la même valeur Ug de la fonction, choisie au poiat de part.

Si un point critique est multiple, at est par suite qb p sing;ulier discontîBU de la fonction f (u, «) = o, il fau coDsidiérer comme le point d'intersection d'autant de na| distinctes que la fonction admet de racines égalas ei point, et il ne foudra tïavers^ aucune de ces nappes, au ment le vecteur v reviendra au point initial v. avec nouvelle valeur de la fonction u. Comme d'ailleurs la f< tion implicite est supposée irr.'ducUble, on pouira en dé vaut des lacets successifs revenir au point de départ i l'une quelconque des p valeurs de la fonction qui se muttent au point critique.

Si pour une valeur définie des plans verseurs l'ét^uatù des rscioee multiples, elles forment comme le démontre ! ^lemeat. «t complètement Biriot (loco citato) un syst c^ulaire de p racines, ainsi qu'il résulte de la solotior

146 CALCUL TSCTORIBL

l'éguatioD binôme versorielle plaue m -j- 1 = w.

Plus généralement, si q est l'ordre de multiplicité d'un point critique, ces racines se permnttent sur une sphère infiniment petite, et ces racines sont les solutions de l'équatjon binôme Tersorîelle H, [n] + 1 = o, et les nappes forment sur cette sphère le polygone spliérique indicateur de la fonction it au point critique considéré. Lorsque le trajet de la variable traverse ces pians verseurs, il y a changement brusque de l'argument de la fonction .

Dans le cas d'un point singulier neutre, le trajet étant continu, OQ pourra étudier sur cette sphère unité la structure du nceud.

Quand il s'agit do fonctions vectorielles à plan verseur fixe, la surface qui limite le champ est réductible au diaphragme ou au feuillet plan limité par une courbe plane. La question se simplifie beaucoup, parce que les arguments s'ajoutent algébriquement et la condition de l'ordre cyclique des verseurs s'évanouit.

Donc pour généraliser la théorie des fonctions vectorielles, qui a été traitée par Briot et Bouquet dans le cas d'une trajectoire plane du vecteur de point v, et l'appliquer directement à une fonction à plan verseur variable, il suffira de considérer le plan limité par une courbe fermée, comme formant un feuillet double et multiple, qui peut cotnppendre un ou plusieurs points critiques ou aucuns, et de considérer ces feuillets comme se déformant ou se gonflant, entraînant dans leur déplacement général les points critiques primitivement projetés sur un même plan. En «n mot, il suffira de passer de la géométrie du plan à celle des surfaces.

Il n'est pas toujours facile de passer du cas d'une surface plane à celui d'une surface quelconque, parce que beaucoup de circonstances s'évanouissent par la projection plane. Hais la Géométrie descriptive nous enseigne à déterminer la posi-

CALCUL VECTORIEL 147

tion des points critiques dans l'espace, quand on connut trois projections planes non situées deux à deux dans un même pian, en supposant que les plans soient donnés de position, ou que leurs scalars soient déterminés, ce qui exige la connaissance d'un quatrième plan scalar, d'ailleurs arbitraire. L'état actuel de la science des surfaces, au point de vue Analytique, Géométrique et Cinnématique permet avec un peu d'attention de préciser la généralisation à effectuer. Ce n'est pas là qu'est la vraie difficulté du calcul des fonctions vectorielles. Cette dernière consiste à élucider la nature des surfaces à quatre variables indépendantes qui se trouvent liées entre elles par la nature de l'unité vectorielle quaternion .

85. Fonctions à quatre variables cartésiennes. — Pour comprendre le système des quatre fonctions carté- Mennes (X, A, B, C) d'une fonction explicite vectorielle

u=X-j-ih.+jB + kC à quatre variables indépendantes réelles (x, a, b, c) d'un vecteur de point

V = X -\- ia -\- jb -\- kc, nous devons considérer le cas des fonctions explicites, c'està-dire, que nous supposerons désormais que les quatre fonctions explicites ç—o, dun" 79, sont résolues par rapport aux paramètres scalars des fonctions cartésiennes [X, A, B, C) en fonction des variables indépendantes (œ, a, b, c).

Lamé avait entrevu l'existence d'une quatrième fonction de point, conjuguée de» trois fonctions de point orthogonales, en chaque point d'un milieu limité ou indéfini, dans son discours préliminaire sur les coordonnées curvilignes.

« Les familles de surfaces considérées isolément ou par association éclaircissent incontestablement l'état statique dans les diverses branches de la physique mattlémaUque, tel

149 CALCUL YECTORIÇL

qae Téquilibre des températures dans les solides, ou TéquÎT libre d'élasticité dans les milieux pondérables. Mais pour définir avec succès l'état dynamique, il faudrait considérer les variations des surfaces conjuguées, leurs transformation^ successives , savoir comment se modifie la surface isostatique avec le temps. Il en est ainsi dans toute Thydrodyna-: mique, dans la propagation des ondes, et les lois de Téchauf; fement et du refroidissement des milieux pondérables.

C'est toute une quatrième branche de la Géométrie, à peine entrevue, à peine ébauchée, qu'il faudra créer avant que la physique matliématique aujourd'hui statioauaire puisse faire des progrès nouveaux et définitifs. Cette branchû correspondra à l'intégration de fonctions à quatre yari^blea des coordonnées et du temps ».

Remarquons que Lamé a déjà considéré le paramètre d'une fonction de point comme une fonction implicite <^u temps, et le temps lui-même comme une fonction de point. Mais le calcul vectoriel nous montre directement que cette quatrième variable indépendante n'est le temps, qu'autant qu'on le considère comme le scalar définissant un déplacement vectoriel quaternion .

« Les systèmes isostatiques, dit La^ié, correspondent aux trois fonctions de point conjuguées orthogonalement en un point du milieu, et ne paraissent assujetties à aucune autre condition que celle de l'orthogonalité de trois familles de surfaces qui les composent. Mais à chacune de ces trois familles répond une quatrième surface d'égale intensité... ».

HAPITRE Vlli