SUR LES FONCTIONS EXPBICITES

t. — Si l'on peut rfeoudre une équation ■ rapport à l'une des variables de manière F {«), on dit que F est une fonction expli- V. Ce Sont les seules fbncti(3ns dont nous luper,

Stait résolue par rapport à w et que l'on eut que f est la fonction inverse de F, et la re fort différente. Elle est presque toujoiirs .e et par suite multiforme quand la fonction mnelle.ou bien périodique.

't = F [v] est dite uniforme quand elle ieule valeur déterminée pour chaque valeur able, ce qui est le cas des fonctions àlgé- ;ntière et rationnelle, La fonction exponeni est un quaternion,est une foiictioii Vecquand on n'eTivisage qu'Uné valeur définie is il n'en est plus de même pour la fono- Qgulaire, qui est multiforme.

jiemple très simple, la fonction rationnelle mtier. Cette fonction prend en chaque point juées versoriellement sur la circonférence lu plan verseur de v. Mais, si l'oit cherche

fonction inverse v = ti", l'exposant étant otir chaque valeur de u on aura n points

CALCDti VECTORIEL

ats. Ainsi la fonction direct* est uniforme et la fonciverse est multiforme. Si u est une fonctioii pé~ le, la fonction inverse admet une infinité de valeurs ntes, correspondant à chaque valeur, non-seulement jument de la période, mfds encore à chaque valeur n verseur de la fonction, c'est à dire de la valeur te ou implicite de l'unité circulaire, comme nous 1 montré en parlant des premières notions sur la m exponentielle linéaire.

Discontinuité. — La notion de discontinuité analyst loin d'être sufflsamment définie. Nous avons défini nts critiques, qui sont les zéros et les infinis ou les l'une fonction, comme étant des points de disconti- Les règles que nous donnuns ici sont empruntées à igede Houel {Théorie des quantités complexes).

fonction explicite peut être discontinue de plusieurs •es , savoir : soit en passant brusquement d'une valeur

une autre valeur finie différente, soit en devenant pour des valeurs finies de la variable. Le premier cas «11 te lorsque le trajet vectoriel traverse la surface qui le champ, et qui le sépare en deux régions distinctes, utérieure, l'autre extérieure, par le changement brusque ae de la normale ; c'est pourquoi on l'appelle surface continuité,

s le second cas, si l'on considère la fonction récii u =: -, ou uv = 1, k chaque zéro de ta fonction I un infini de la fonction réciproque. Généralement si ition w = F (») devient infinie pour une valeur u — c l'ariable, c'est un i>ôle de la fonction. Ainsi, par le, les zéros du dénominateur dans une fonction leile algébrique sont les pôles de la fonction. Or, il rriver que la fonction réciproque ^n— : soit continue

^♦'jrîV'»,^;- 'Î-. . 7 -«• '• ' \ ■ -- ' ^^ .^ " ^ . - ...->'

CALCTTL VECTORIEL 151

dans le voisinage du point c, ce qui a lieu quand F (c + d"^) est infiniment petit autour du point c, et le zéro est un point

racine ordinaire. Si, au contraire, =77-- n*est pas continue au

voisinage du point c, ce qui a lieu quand Y [c -\- dv) passe brusquement d'une valeur finie à une autre valeur finie

diflërente, alors -=-7 — , ^ , n'est pas infiniment petit et le

point c est un point critique ou de discontinuité.

Ces raisonnements s'appliquent immédiatement aux fonctions vectorielles de forme cartésienne à plan-verseur variable, dès que Ton suppose connue la forme du développement d'une fonction vectorielle ¥ [c -{- dv).

88. Forme alun polynôme entier vectoriel. — Nous pouvons toujours considérer un polynôme entier comme une fonction de variables et de constantes vectorielles implicites. Mais la forme générale d'un tel polynôme diffère de la forme ordinaire d'un polynôme à coeflîcients réels ou scalars, en ce que Ton ne peut pas intervertir l'ordre des facteurs dans chaque terme sans changer la valeur de la fonction, ni même l'ordre des termes additifs, sans changer la nature du contour des vecteurs composants.

Une équation linéaire ou algébrique exprime toujours une somme de vecteurs variables, ajoutés dans leur ordre pour former un contour rectiligne fermé, plan ou gauche. IjC changement dans l'ordre additif, autre que la permutation circulaire ne fait que changer l'ordre dans lequel les vecteurs sont ajoutés, sans changer la valeur de chaque terme, comme nous l'avons montré en définissant l'addition vectorielle.

Nous devons donc écrire généralement

F (v) = SpoÇo + Spi V ^1 + S j[?2 V ^8 V r» -f ... etc; , ou les p, â^, r. . , sont des quaternions donnés et constants,

1$9 CALOOL VBCTOJUlHi

Bon-seulement en grandeur et en direction, mak aussi en position relative à un plan scalar et un système ternioa coordonnés, par rapport au vecteur variable v. Ils pourront d'ailleurs se réduire selon les cas à des ternions ou à des ioalara.

Remarquons que la différence de forme est purement versorielle, c'est-à-dire, relative aux verseurs, car nous pouvons écrire l'équation précédente sous la forme

F (r) = Oo Ui -f- ai RUi + «« R*U« -| h an R°Un,

où R est le module de t?, et a^, ai.., le produit des modules des vecteurs constants p, q,r.., et les U sont des fonctions verseurs, résultant du produit des verseurs de chaque terme, et constituant une fonction linéaire de verseurs de la forme

2 (cos di -)- i sin «<) (cos «a -|- I sin ») (cos P» + J sin h] (ces » -|- I sin <»>)•••• = Ui,

ou bien une somme d'exponentielles ternions

qui sert à déterminer le plan verseur de chaque terme.

Nous voyons que lorsqu'il s'agit d'une fonction vectorielle entière, à plan verseur variable, la formule du binôme de Neuton n'est plus applicable dans les mêmes conditions et la réduction des termes semblables à (m 4- 1) ^l'^st plus permise. Il y a généralement 2" termes du développement. C'est pourquoi, il sera généralement préférable pour la recherche des points critiques de ramener la solution d'une fonction explicite w = F (i?) à celle de quatre fonctions cartésiennes i quatre variables réelles, abstraction faite de la longueur des développements.

Supposons que nous ayons trouvé tous les points critiques («1, «t. . .), qui annulent la fonction, et qui par suite donnent un contour fermé. Les («i, st. . .) sont les différentes origines de k fonction • FQriaoii& l'équatioii

CALCUL TBCTORICL 1S8

e pouvons intervertir l'ordre des facteurs à chaque permutation répondra une valeur nction, et une forme différente de F (v).

ît « points critiques, on aura (n - 1) permulaires, et par suite autant de valeurs diffétion M, ou d'uu polynôme entier vectoriel nts criti<iues. Nous pouvons y ajouter les itives, qui ne font que ciianger la forme ^nal sans altérer la valeur de chaque e celle des points critiques, [uateni ions-plans, la question se simptifle tielesargutnents s'ajoutent algébriquement,

P {z—a) = u, de l'ordre dos facteurs. On trouvera dans ) une étude détaillée decette question, dont empte suivant.

lent

Qi Si ?"

sont des facteurs rationnels irréductibles. Ile devient

Tié renferme un point critique ai son argule ait à chaque révolution périodique, et \n est multiplié par le verseur quatarnion

isin 2t ~', qui est une racine primitive de

CALCUL VECTORIEL

une troisième Ui ji-- etc., et ia ibnction u prend au z.g, valeurs dillérentes, et un nouveau tour ramènera i l'on tourne ensuite autour d'un second point critique ec l'une quelconque des g, valeurs précédentes, prises le valeur initiale de lafonction, on obtiendra qt valeurs entes, et si ffi et Qi sont premiers entre eux la fonction ert ffiÇi valeursdifférentes au points-, et ainsi de suite, nt que le trajet fermé et arbitraire de i renferme un, , ou plusieurs points critiques.

ichy adonné une méthode pour calculer le nombre de s critiques contenus dans un contour donné, qui conà déterminer combien de fois la tangente de l'argument

nt inlînie, ou le rapport - des composantes du quater-

u^x-\- i y, c'est-à-dire, combien de fois le polyscalar x s'annule en passant d'une valeur positive à aleur négative. Le nombre des variations, qu'il appelle " M du contour, donne le nombre des points critiques ris dans ce contour. H est à supposer que si Cauchy, lu de considérer la partie imaginaire comme étant dans ,n du tableau, eut considéré le vecteur i comme perpenlireauplan scalar du tableau, il eut passé naturelleducas du cercle à celui de la sphère, bien qu'il fallut cela la découverte de Hamilton du calcul de l'unité inaire dans l'espace.

nous substituons à la fonction versorielle binôme