A — LD, B=:MD, C=:ND
r déterminer les coordonnées (x, y, z) du point directeur, kf , N étant les constantes .paramétriques d'un plan fixe.
2) Lx' + My' + Ns' = I .
son voit facilement que les équations (11) sont les équas de trois plans qui passent par l'intersection des plans ), C respectivement et du pian D, et que les constantes . les rapports des distances de ces plans aux quatre plans t, C, D, respectivement.
e ces équations on en déduit trois autres par l'élimlnade D, savoir :
3) AM— BL =: 0, BN— CM = o. CL— AN = o,
expriment les équations de trois plans passant par l'inection des plans A, B, C, pris deux à deux, et ces trois ,s passent par un même point, et ils se coupent suivant
LCUI. VECTORIBL
US ajoutons les trois ] iltipliées par x', y\ - Qz — (L;»' + Mi/ - 3 scaliir SOr =o, ce q lasles emploie quatr ques définies, car :
expriment, que la ne vBleup constante ine équation de la foi ^ + By' + Cz' 4- »
v/a» + B' + C ordonnée scalar u -
numérique de la y, z, 1) sur le plan désignées par fx' y', erons le théorème de ■ la généralisation qi lan.
^hasles. — Si l'on c chacune de ses posit
SQ'Î = Uo, cette équation conl innées vectorielles d
• parcourt un plan, tit fixe.
parcourt une droite, îonde droite .
parcourt une surface fltre surface . Si la
224 CALCUL VECTORIEL
est du second ordre, la seconde est aussi du second ordre. Si la première est algébrique ou cartésienne, et d'un degré entier m, la seconde est aussi algébrique et telle qu'on peut lui mener m plans tangents.
L*équation du plan mobile,étant donnée par Téquation (16), Test aussi, par hypothèse par Téquation
(17) sôr = Uo,
où est un quaternion paramétrique, qui exprime une fonction vectorielle du premier degré du vecteur de point 5.
Pour une valeur quelconque du vecteur l\ qui est assujetti à décrire un plan, le plan mobile (16) passera par l'intersection commune de quatre plans fixes :
(18) D = Sp'o$, Az^Sp'iÇ, B^Sp'gÇ, C^Sp'aS,
et par suite par un point 5, dont les coordonnées vectorielles sont déterminées par les 4 équations linéaires (18).
Réciproquement si Ton considère le rayon vectoriel Ç comme assujetti à décrire un plan, Téquation du plan mobile sera donnée par l'équation (16), où Q' est une fonction vectorielle du premier degré des coordonnées courantes de quatre plans, et l'équation (15) sera l'équation du plan quj passe par l'intersection commune de quatre plans :
D'=:Spor, A'^spi?, B'^sp^r, c' = sp3r,
qui déterminent les coordonnées d'un vecteur T. Ce point est appelé le pôle du plan que parcourt le vecteur de point Ç, et réciproquement. On dit donc que leurs pôles sont conjugués.
Quant le point directeur parcourt une droite, intersection de deux plans, le plan mobile passera en deux points fixes qui sont les pôles de ces deux plans, et par suite le plan mobile tournera autour delà droite qui joint ces deux points.
Quand le point directeur parcourt une surface S, la surface enveloppe du plan mobile est le lieu géométrique des
CALCUl. TECTOKIEI.
plans tangents à la surface corrélatif plan mobile dans une de ses positions toi >ppc est le pôle du plan tangent mené pa auquel répond cette position du plan moi
mobile passe par son point directeur ) géométrique une surface du second oi = l', on a
SQ'V = U« ice du second ordre à quatre variables i
ïn l'équation
SQl = n«,
face du second ordre, qui aura même p diffère* de la première par ses coefQci
ijuguée.
[u'à un même point de l'espace, consi comme appartenant à la première fii
le figure, correspondent dam plans d
rminant des 16 coefficients des p (3j de^ 'y a plus que 10 coefficients distincts, ■ evient identique k celui des p. Le plan imment par son point directeur et les c id ordre
1 une seule, ainsi que leurs plans tangt !, comme l'on sait, dans le cas des poli es trajectoires normales.
\ par Hypothèse
«terminer un plan de la figure corréU . un point l" de U figure proposée, on mi
CALCUL VBCTOBIBL
onnées de ce point à la place de V et l'on aura D du plan cherché.
vent déterminer un point de la fleure corrélative Lidant à un plan de la figure proposée, on mettrales lées Si de ce plan à la place de ;, et l'on aura quatre s pour déterminer les coordonnées du pôle de ce
est le point cherché.
suppose qu'un point directeur Si parcourt la surléeS, la surface corrélative S' est l'enveloppe des ibiles correspondants. Si l'on suppose qu'un nouveau recteur S, parcourt la surface S', puisque l'on ^^M ce point coïncide avec un plan de la surface S,
surfaces engendrées l'une par l'autre le sont par ns difTérents, car lés deux plans SQ'Sî ^ SOÏi',
lyant mêmes paramètres, ont des coefflcients de is différentes. Pour qu'ils se confondent, il faut et il e le déterminant des 16 coefficients soit symétrique. I le point directeur se meutà l'infini, le plan mobile parle point âxe
= Spi5, A — Sp,?, B=Spt£, C^SpsS, de la forme
ou -\- ox -\- oy -{- oz =: 0.
tte conclusion cosmologique de Poneelet que l'espace a pour enveloppe une surface plane.
3 nous venons de dire pour le paramètre Uj, peut ae identiquement pour les trois autres paramètres Ua, de sorte que l'équation vectorielle ai = Q;'
quatre systèmes de figures corrélatives, conjuguées llement, et formant un système triplement ortho-
CALCUL VECTORIEL
lé d'une quatrième surface scalar sur laq tamment leur point d'intersection commu i n'avons pour but, en rappelant le théo ede montrer ia généralisation analytiq u'apporte le calcul vectoriel, nous renvei étails à l'ouvrage de l'illustre géomètre, i temps nous le permet, de revenir plus ex te question .
CHAPITRI
PORT ANHARMONIQ
S I. — Prélîmi
hne fondamental. comme on voudra dai torielle
a» + &(.' + ca :
développé dans la pre ectorielle. Si chaque t ideur et en direction, les transporter les un n ordre.
— Si l'on rapporta d le commune 0, on a t «& + 60 + Oa a& = 06 — C le la différence vecto &me ori^ne, est toujo e que soit l'origine O
■ème II. — Quatre i dradans l'espace, don eut un tétraèdre, tes opposées sont les
CALCUL VECTORIEL
tère plan ou gauche formé par les quatres autres segments, passant aux mêmes points, a, b, c, d.
On a donc trois quadrilatères distincts correspondant aux trois systèmes d'arêtes opposées du même tétraèdre.
2*» Si nous parcourons chacun de ces quadrilatères dans un même sens pour revenir au point de départ, nous aurons trois équations vectorielles linéaires à quatre termes, d'après le théorème fondamental.
La dénomination des points a, ô, <?, d, est complètement arbitraire, et nous pouvons toujours supposer que les trois points a, b, c forment un triangle de base relatif au quatrième point d, considéré comme sommet du tétraèdre des quatre points.
Désignons les 6 segments de la manière suivante :
A = &c, B = ca, C = aô, k:=ad, B'=:M, G=cd.
3<» Nous aurons par chacune des faces triangulaires du tétraèdre quatre équations vectorielles linéaires à trois termes, savoir :
bc + ca -{- ab =^ k + B + C =o, bc + cd + db = k + G -- B' — o, ca + ad-^- dc = B+k' — G = o, ab + bd+ da = C + B' — k' = 0.
On se rappellera que toute permutation circulaire ne change rien à Téquation vectorielle linéaire, puisque toutes ces permutations satisfont au théorème fondamental.
Mais toute permutation non circulaire répond à un changement dans Tordre ou la dénomination des points.
4° En substituant successivement dans la première équation (2) la valeur d'un des vecteurs A, B, C, tirée de l'une des trois autres, nous aurons les trois équations vectorielles linéaires à quatre termes des trois quadrilatères distincts savoir :
CALCUL VBCTOtaBL
dc + ca +ab — B'—C + B ba^ab + bc + C— A' + C - ■db-\-bc + ca = A'— B' + A - !. — Avec 6 segments donnés fc m quadrilatères du létraèdrede; ut sans changer la grandeur et . obtenir, en 'changeant leur ord 1 quatre points situés différemm ibles et différemment placés, ré dans l'addition vectorielle. ( les des vecteurs A, A' ; B,B' ; C, trois systèmes des arêtes oppost loints a, b, c, d, ou les diagonale:
'respondant aux systèmes des 6 irmer un contour polygonal fern (donnés. Les trois vecteurs A, ins un môme plan puisque l'c le sonnet, bien que ce choix soil lors les trois autres vecteurs A', lent un trièdre, qui mesure li terminer les quatres points a, b
ion. —Nous appellerons toujours olument comme dans le cas de e droite, l'expression telle que
ac bc
ad' bd' ,tre segments, ou le rapport, au
A' ■ B" vous écrire plus symétriquemen
Ai'
232 CALCUL VECTORIEL
comme exprimant le rapport du produit de deux arêtes opposées du tétraèdre de quatre points a, b, c, d^ et nous poserons
