M*^ =1 BL + AM + DN
valeurs qui sont indépendantes de la coordonaée u. Si nous posons
(13) V=zBz—Cy, W = Gx-'Az, N' = Atz-Bar, nous aurons les deux relations identiques
(14) Vx + MV + N'^ = 0, AL' + BM' + CN' = o.
Elles expriment que les ternions des vecteurs 5 et Q Si»nt perpendiculaires au ternion iV +iM' + ^^'^
123. Le quaternion du premier degré Qç se compose donc d un scalar et d'un ternion, c'est-à-dire d'un plan et d'une droite, quelque soit le trajet du point (ç), assujetti à décrire un plan Le ternion TQ^ est donné par la somme vectorielle
J^TT^^-g^
214 CALCUIi VECTORIEL
unité et qu'il en est de même de leur parallélisme, et ces conditions sont indépendantes de la position de Torigine vectorielle ou de la valeur scalar u.
Si Ton considère les trois ternions
ceux-ci décrivent précisément les trois plans (L, M, N) respectivement ; de sorte que Téquation habituelle ou cartésienne
Arr + By + C5 — Du = W,
est nécessairement accompagnée de Texpression de trois autres plans (L, M, N) conjugués vectoriel lement au plan W, résultant de l'expression linéaire d'une fonction vectorielle du premier degré F (5) = Q5, à quatre variables réelles.
125. Plus généralement une fonction linéaire F (6), d'un vecteur de point (?) assujetti à décrire un système de 4 plans conjugués vectoriellement sera de la forme
(16) F [i] = SQ'ol + i SQW +j SQV; + k SQ'a?, où nous avons posé pour abréger
Q'o = Do - [iko + jBo + kCoU Q\ =z Di - (lAi + ;Bi + kCi),
et nous aurons
/ W = SQ'oÇ = DoM + AoO? + Boy + Co^, L = SQ\l = Biu + kix + BiV + iliz, M =: SQ\\ = T)^u + AaO? + Bay + CtZ, N = SQ'z\ = DsU + Aa^ + Bsî/ + Cs^.
De sorte que l'équation F (ç) exprime une somme vectorielle linéaire de quatre plans à quatre variables réelles, dépendant de 16 coefficients numériques constants et donnés.
CALCUt, %'ECTORIEL
Le point d'intersection (e) commun dest se trouve sur le quatrième plan W, ou pi
Kn eftet, en désignant par à le détcri membres des équations (18), et par de pe pondantes les mineurs premiers, on déti unique des coordonnées courantes pour ( vecteur (£), appartenant aux quatre plans
iAM ^ (îo W + di L 4- dt M H Aa; = Oo W + a, L + a, M H iy ^ &o W + 0, L + 6î M H A» = c» W + Cl L -f G, M H Si les axes ternions L, M, N n'étaient on retrouverait le cas général d'une fond F (î) + Po Sî'oE + Pi Sg'A + P» Sg'ï Nous avons vu qu'il y a un système c plans, de la fonction conjuguée réciproquf F' (ï) = q'o Sp»ï' + q'i Bp,l' + g'^ S dont les coefficients de direction sont dif ment à la théorie g:énéraie des fonctions mier degré. D'où l'on conclut qu'à tou répond un second système oblique qui li qui ne se confond avec le premier, que loi rectangulaires .
Enfin nous avons vu de plus que le direct S, donnera deux autres systèmes juguées complémentaires. Cette multiplie figures géométriques n'était abordable q vectoriel.
126. Théorème. — Si le somme algébi paramétriques d'un certain nombre de p< un plan W ^ AiC + By + Cz + Ito, i
"•'^■■■■^^^^^^WWiil
CALCUL VECTORIEL
lent par un Tacteur rumérique réel m, donne une ne constamment nulle, le plan passe par un point fixe. » ^[uation du plan étant exprimé par W, quand on met son équation les coordonnées x', y', z", u' à la place , y, z, u], etc. , nous avons
m'W' + ni"W"4---=o.
donc nous posons pour abréger
, Sma:' = ra'x' + m'V + ■■-,
\ Smy' = m'y' + m"y" + ■■■,
j Smz' = mV + m"z" + --■,
' ïmtt' — m'ïi' + m"u" + ■•■ ; ation du plan prendra la forme ASma;' -}- BSmj/' + CSm'j' + DSmV = WSm.
)us éliminons W entre cette équation et l'équation pro-
i. nous aurons
5r)+''(-^) + «(-lf)
Sm
/ Sm wA ^ V Sm / '
st l'équation d'un plan à quatre variables d'un point l, int par un point ïi, dont les coordonnées sont
'■m'x' __ SmV SmV __ SmV
Sm'' ^'~ "^m' ^'~~£m"'"'~ Sm '
1. Plan passant par quatre points. — Si nous cousins un plan satisfaisant à quatre positions données des 2urs %^, 11, It, I3, et soit SQî = W, l'un des plans chés. Comme cette équation doit satisfaire à chacune des iirs données des vecteurs douiips, les coeffîcients de W .feront à quatre valeurs différentes de \, et éliminant les posantes A, B, C, D du quatemion Q entre ces quatre
LPITB
uis conj
ne fonctit ients sout es d'un poi
1 = D + , ■l=D-+i tsdirectet
u' + ix'-i t des fonc it-à-dire I îiit, commi les (A', B', irdonnéea ■ Q' sont con iiatre quati Etr les p, e:
û + idi +
+ Idl +
+ lôi + » + ic, + ra par les |ue par le linaut, et '
C = Sp',Ç,
220 CALCUL VECTORIEL
p'o = do + isio + J\ + ^Co, p'j = do + iai + ibi + ftci, p'2 + «?« + 2a« + jbz + /cCs.
P's = rfa + ^3 + Jbs + ÂC3,
nous aurons l'identité
(4) QV = Q'I
Nous pourrons alors écrire
D = Sp'oS, A = Sp'iÇ, B == Sp't;, D' = Spor. A' = Spo?'. B' = Spi?',
qui établissent la relation (4).
Nous avons en développant l'équation (4)
(6) or = Uo + iV, + jUt + feUs = Ql.
On en conclut que nous avons les quatres identités simultanées
- U2 = S/or = s/0'?,
En effet en effectuant les calculs nous avons
QX = sgr - [i S^QÏ' + j SjQl' + h ShQV Ql = SQ'Ç ^ {i SiQ'l +j SjQ'l + h SkQ%
d'après la règle du produit de deux quaternions, et en comparant entre elles les unités vectorielles de même espèce. On voit facilement que nous pouvons écrire les U , sous deux formes symétriques, par le simple changement des accents, savoir :
Uo=z uW-^ (xX' + yB' + zC]= tt'D — (x'A + t/'B + ^'C). Vi= nA'+ xD' + zB' — yC ^ u'k + x'B + ^'B — i/'C, U2=: nB + i/D' + œCJ — zk! = tc'B + y'B + œV — z'A , ^ V3= ua+ sD' + y A' — xB' = u'C + z'D + y' A — x'B.
Nous pouvons remarquer que la relation générale (4) de
CALCUL VECTORIEL
onjugiiés est une applicatù
une fonction linéaire du suffit de poser F (Ç') — Q' is conduisent directement lu principe de Dualité par rtant de la prenaière égal aent qu'il y a trois autres ! le calcul vectoriel seul poi
'. — Chasies fait au fond U!
lisqu'il prend les coefflcien jomme dépendant de quat la coordonnée scalar n n'es lie ne peut disparaître qut e la condition restrictive ro scalar en faisant SQ Z' e à passer par un point fis (, et c'est la coudition qui les figures corrélatives . Ch:
rassé de sou quatrième pa
e considérait que les trois Il vecteur de point, cela plans mobiles passant par ;t les plans comme étant le ir cette origine.
, qu'il désigne par U etque i , le plan mobile se meut p contraire D reste coiistan varier, le plan mobile nef; lité de D. Le mouvement, lématiquement de deux nio llèlement à lui-mém >sui\
lar de la trajectoire du point vecteur, et l'autre de rota- L autour de la poàtioii prioiitive considérée comme fixe. ïut toujours pour comidéter la question en revenir au prini d'EuIer, que le mouvement ie plus général d'un plan est roulement sur une sur une surrace réglée, accompagnée n glissement suivant la génératrice de contact, l'équation d'un planmobileestdoncen général de la Torme + By" + Cz' -j- Dm' = W. où cliacun des coefflits exprime le paramétre scalar d'un plan fixe, c'est-à I, des polynômes à 4 termes de la forme homogène . + by + C2 — du), où les coordormées courantes itrent qu'au premier d^ré. Mais le calcul vectoriel nous rend qu'il y a nécessairement trois autres plans mobiles juguês ortliogonalement au plan scalar considéré aatl Chasles, et par suite trois sur&ces orttu^onales con- ]ées de la surface scalar corrélative, basies pose les équations
