II

déterminée à partir de laquelle elle soit interrompue. Cette limite existe-t-elle, il est évident qu'elle peut toujours être atteinte avant que la discontinuité se soit révélée. "

Par hypotlièse, il s'agit d'une fonction continue , et dans l'intervalle que l'on considère, nulle limite n'est assignable à la continuité, à moins qu'il n'y en ait une répondant à la valeur particulière ir=a. Or, la continuité subsiste alors même qu'on atteint la limite où elle va cesser. On ne peut donc admettre que pour x=a l'expression fractionnaire reste sans valeur ou sans détermination. En eflet, supposer qu'il en fût ainsi, ce serait franchir la limite où la continuité s'arrête, et rendre impossible toutes valeurs successives de la fonction, celles-ci ne pouvant exister sans qu'un lien non interrompu les rattache à une valeur déterminée par laquelle elles commencent ou finissent.

Soit 9{x) =^^û^y l'expression dont il s'agit : pour x = aon a séparément

m^o • F(a) = o; et, quoique l'expression ^{a) se présente sous la

forme —, nous venons de démontrer qu'elle a nécessairement une valeur déterminée. Proposons-

DU CALCUL DIFFÉBENTIEL. k9d

ijous (le jdégager celte valeur du symbole qui l'enveloppe et qui la dissimule.

C'est la continuité des fonctions /*(^) et F{œ) qui implique relativement à 9 (a) l'existence d'aune valeur déterminée. En conséquence, si Ton veut obtenir cette valeur, il faut, et cela doit nécessairement suffire, exprimer qu'il y a continuité, c'est-àdire substituer à chacune des valeurs isolées et distinctes /(a), F (a), l'expression universelle de la suite inflnie des valeurs qu'elles représentent. Or, ces expressions sont respectivement f'{a) da, ¥'{a) da; il vient donc

En général, il est indifférent d'attribuer aux quantités que l'on considère leurs valeurs distinctes ou de remplacer ces valeurs par l'expression symbolique de l(Tules celles qui s'y confondent à raison de la continuité. Ainsi que l'on écrive

M ¥{xy

ou bien :

m+d.fjx)

le rapport exprimé reste numériquement le même. Il est d'ailleurs évident que si la valeur assignée à la variable n'annule pas à la fois les deux

500 SUPPLÉMENT A LA MÉTAPUYSiOUE

fonctions, la présence des différentielles ne peut influer sur les résultats, et dès lors il importe peu d'exprimer ou non qu'il y a continuité. Lorsqu'au contraire les deux fonctions s'annulent, il est indispensable d'avoir égard à ce qu'elles sont continues. En effet, leur rapport n'a de valeur déterminée qu'en \ertu de cette circonstance essentielle. Si l'on n'en tient pas compte, il n''y a plus qu'indétermination. *

Proposons-nous encore la question des maxima et minima.

Lorsque dans un intervalle quelconque, correspondant à deux valeurs distinctes de la variable, la fonction supposée continue, croît et décroît successivement, elle est susceptible d'une valeur dite maxima. Le contraire a lieu, c'egt-à-dire que la fonction passe par une valeur dite minima y lorsqu'elle cesse de décroître pour devenir croissante.

Ceci posé, si l'on observe que la différentielle exprime la suite des valeurs non distinctes par la succession desquelles la continuité s'établit, il est clair qu'on peut admettre comme démontrés les deux principes suivants :

1* La fonction croît ou décroît suivant le signe qu'affecte la différentielle.

2* Pour que la valeur y soit maxima ou minima,

il faut que dy reste indépendant du double signe qui doit être attribué à dx.

En général,

dy=f'{x) dx.

Le signe de dy dépend donc de celui de dXy tant que la dérivée n'est pas nulle. Or, en cas de maxima ou de minima , il doit en être indépendant. Donc on a nécessairement pour première condition

Remarquons ici qu'à chacun des états indiqués par le symbole rfy, correspond un état de la fonction. Quand la dérivée s'annule, y représente l'ensemble de toutes les valeurs non distinctes qui, dans la fonction, correspondent à la différentielle. Veuton exprimer que ce n'est plus la valeur unique autour de laquelle se groupent toutes ces valeurs, mais leur ensemble ou Tune quelconque d'entre elles que Ton considère, il faul substituer à la valeur isolée /"(^)=o l'expression universelle /"'(a?) dx et écrire en conséquence :

d {y) = f^{x) dx\

Cette équation comprend implicitement la relation

dx

Elle donne en oulre le signe de dy et résout la question. En effet, le facteur dx se trouvant élevé à une puissance paire , son signe cesse d'influer sur celui de dy, et la valeur distincte y est maxima ou minima, suivant que la dérivée du second ordre f{x) est négative ou positive.

Si la valeur qui annule f\x)j aHinulait en même temps f{x)j on devrait remplacer la valeur isolée f'[x) = o par l'expression symbolique f[x) dx; il viendrait alors

d{y) = r{oc)dx\

et pour que la fonction eût une valeur maxima ou minima, il faudrait que la valeur attribuée à x satisfit à la condition

En ce cas, le signe de dy serait celui de la dérivée du quatrième ordre et ainsi de suite, le mode de démonstration restant toujours le même.

Nous avons vu comment il est toujours possible de mettre en évidence la loi exprimée parTéqualion différentielle. Appliquons ces considérations à quelques cas particuliers.

Soit d'abord une courbe plane

L'équation finie

-7— = cons .

DU CALGOL DlFFËRRNTlIilL. 5103

représente une ligne dans laquelle la continuité détermine une direction constante; c'est une droite. Pour un point quelconque x\ y de la courbe donnée, la même circonstance subsisie initialement. La continuité s'établit donc à l'origine, suivant la direction fournie par la condition

A^ dx' ' ^ ^

La droite menée suivant cette direction et passant par le point x\ y, prend le nom de tangente.

Dans une courbe, l'élément caractéristique est la courbure. La courbure résulte de ce que la direction de la tangente varie continuement. Ce qui la détermine, c'est le rapport existant entre le mouvement angulaire de la tangente et le mouvement relatif du point générateur. Pour se former une idée précise de ce n^ode de génération, il faut concevoir que le point générateur se trouvant à la fois sur la tangente et sur la courbe, se meut sur la tangente, tandis que la tangente s'infléchit par un mouvement de rotation dont ce point reste toujours le centre.

Supposons constante la loi du double mouvement qui constitue la courbure, et désignons par ûï l'angle variable que la tangente fait avec l'axe des abcisses; soit d'ailleurs As l'accroissement arcuel

correspondani à raccroissement angulaire Aco, on

aura

-r— = cons^ ,

et comme dans cette hypothèse la courbure est évidemment uniforme, ilest clair que si Ton désigne par p le rayon du cercle détermmé par la condition précédente, il viendra

A<** D'un autre côté Ton déduit de Téquation donnée

et quelle que soit la circonstance initiale ainsi exprimée, nous savons qu'elle reste la même lors-

(1) Posons

dy dp

Ton a :

dv w — arclang. p ; d'où dw — t-t-?.

iTp

Or,

(i«— ctet/l-hp*;

donc il vient en substituant

au g ,

que attribuant à ^ {x) la valeur qui s'applique au

point que l'on considère, on regarde cette valeur

comme constante. Or, en ce cas

ds , As

-r- = cons , = -T— ,

c'est-àrdire que la courbure devient uniforme et qu'elle a pour rayon '

f . ds

donc telle est aussi la courbure que la courbe donnée affecte au point dont il s'agit. Le cercle qui vient toucher la courbe en ce point^. et dont le rayon a la valeur indiquée ci-dessus, prend le nom de cercle osculateur. On dit aussi de ces deux lignes qu'elles ont entre elles un contact du second ordre. Ces divers énoncés n'ont qu'un seul et même sens. Ils expriment que pour le point que l'on considère, il y a dans les deux courbes même particularisation de la loi générale qui régit la courbure.

Lorsque dans un cercle le rayon tourne autour du centre, l'extrémité du rayon décrit ou eûgendre la circonférence. La courbure, en chacun des points de cette ligne, peut donc être regardée comme résultant d'une liaison existant entre le centre et le point que l'on considère. Mais, pour un point quelconque d'une courbe plane, il existe toujours un

cercle osculaleur, el en ce point les courbures du cercle et de la courbe sont identiques. Si donc on imagine que le point de la courbe soit lié au centre (lu cercle osculateur, cette liaison déterminera sans la ujodifier la circonstance initiale qui constitue la courbure en ce point.

Il suit de là que, lorsqu'un point est assujetti par (les liaisons quelconques à se mouvoir suivant une courbe plane, Teffet de ces liaisons, dans chacune (les positions successivement occupées par le point, est nécessairement le même que celui qui résulterait de l'existence instantanée d'un lien supposé mobile autour du centre du cercle osculateur.

Dans la génération de la courbe dite à double ( ouibure, le point générateur se meut sur la tangente, tandi .s que la tangente s'infléchit autour de ce point dans le plan osculateur, et que le plan osculateur tourne lui-même autour de la tangente. Du mouvement de la tangente autour du point générateur résulte une première courbure indépendante de la rotation du plan osculateur. De la rotation de ce plan autour de la tangente naît une deuxième courbure. Cette deuxième courbure peut, comme la première, demeurert uniforme, ou bien vaiier d'une position à l'autre. Dans tous les cas, si Ton représente par A«' l'angle des plans osculaleurs corres|)ondan!s respeclivement aux deux (angenles dont l'angle est Aw, il est évident

que la pieiiûère courbure élanl mesurée par le rapport —, la deuxième pourra l'être par \e rap-

port — . On voit également que si l'on désigne le

rayon de première courbure par p =— , onaura

de même pour le rayon de deuxième courbure

, ds ? — -7-;.

Lorsque les deux courbures sont uniformes, la courbe est telle que deux arcs quelconques, égaux en longueur, sojit toujours sùperposables. Cetie condition suffit pour fixer la nature de la ligne dont il s'agit. En effet, ce ne peut être qu'une hélice, offrant, comme cas particuliers et extrêmes, le cercle et la droite.

Soit R le rayon'du cylindre sur lequel est tracée l'hélice et p. la tangente de l'angle que la touchante à la courbe fait avec le plan de la section droiie. Proposons-nous de déterminer les deux éléments a et R, de telle façon que les rayons de premièie ei de deuxième courbure soieni respeclivement ? et ?'.

Poui' cela il suffit de poser

Or, dans tous les cas, ces équations fournissent une valeur convenable pour chacune des quantités p. et R. Donc,

Quelles que soient les deux circonstances initiales qui constituent la double courbure en un point donné d'une courbe quelconque, il existe toujours une hélice qui réalise en chacun de ces points ces deux circonstances. On voit d'ailleurs qu'en disposant convenablement celte hélice on peut identifier sa double courbure constante avec celle de la courbe donnée au point que Ton considère. Alors l'hélice devient osculatrice.

Dans la génération de l'hélice, le point générateur tourne autour d'un axe fixe, en même temps qu'il glisse parallèlement à cet axe, suivant une double loi déterminée et constante. Nous pouvons donc établir^ comme conséquence de ce qui précède, le principe suivant :

Toutes fois qu'un point se trouve assujetti, par des liaisons quelconques, à se mouvoir suivant une courbe à double courbure, l'effet de ces liaisons, dans chaque position successivement occupée par le point, est nécessairement le même que celui qui résulterait de l'exigence instantanée d'un axe fixe

DU CALCUL DIFFÉRENTIKL. 509

autour et suivant la direction duquel il y aui*ait à la fois rotation et glissement.

En résumé, tout point considéré comme tendant à sortir de la position qu'il occupe subit initialement la même condition que s'il était assujetti à se déplacer suivant une hélice convenablement déterminée.

Arrêtons-nous à ce résultat ; il suffit pour montrer comment, à l'aide du calcul différentiel, on peut dégager la loi de génération et fixer le sens qu'elle exprime, en soustrayant ses effets successifs à la cause qui tend sans cesse à la modifier.

Les déductions précédentes nous ont permis de . reconnaître en quoi consistent, pour une ligne quelconque supposée continue, les circonstances essentielles qui la caractérisent en chacun des points de son cours. Pour compléter cet aperçu^, il convient que, mettant à profit ces notions élémentaires, nous indiquions par quelques exemples les ressources que présentent les considérations de Tordre infinitésimal, lorsqu'on veut analyser certains phénomènes et les étudier dans la cause même qui leur donne naissance. Nous choisirons ces exemples dans les faits les plus simples qui dérivent des lois du mouvement.

Soit d'abord un point matériel décrivant une courbe et soustrait tout à coup à l'action des forces qui le sollicitent. Devenu libre, le point se meut en

510 SIIPPLKMKNT A LA MKrAPUYSIQL K

ligne droite, et c'est ^^uivant la tangente qu'il s'est échappé. Si le mouvement est rectiligne, c'est en vertu de l'inertie. S'il a lieu suivant la tangente, c'est qu'au moment oix les forces cessent d'agir, déjà la continuité s'est établie dans cette direction.

Supposons maintenant que le point matériel soit maintenu sur la courbe qu'il parcourt, et proposons-nous de déterminer à quelle réaction donne lieu le mouvement curviligne. Quelle que soit celle réaclion, elle résulte, pour chaque position distincte occupée par le point, des circonstances qu'il subit en passant par la suite infinie des états nondistincls correspondants à cette position; elle resterait donc la même si, conservant au point la vitesse qui l'anime, onsubstiluail à la courbe qu'il décrit l'hélice osculatrice.

Il suit delà que pour déterminer la réaction qui provient du changement de direction en un point donné d'une courbe quelconque, il suffit de supposer que le mouvement s'effectue suivant l'hélice osculatrice, avec une vitesse uniforme égale à celle dont le mobile est animé à l'instant où on le considère.

Le mouvement hélicoïdal se compose de deux mouvements simultanés, l'un de rotation autour de l'axe, l'autre de translation parallèlement à l'axe. Si la vitesse est constante suivant l'hélice, il

*X)U CALCUt DIFFÉRKXTIKL. 511

en est de même de ses deux coiuposaiites. Le mouvement rectiligne n'engendre donc aucune réaction, et la réaction totale se réduit à celle qui provient du mouvement circulaire.

Désignons par R le rayon du cylindre sur lequel est tracée F hélice osculatrice et pai* p. la tangente de son inclinaison sur le plan de la section droile, p. sera le rapport de la vitesse de translation à la vitesse V'^du mouvement eirculaire, et Ion aura pour mesure de la réaction totale

Mais si V est la vilesse suivant Thélice, on a

n vient donc

Or, R(l-(-Ht*) est lé rayon p du cercle osculateui*, donc, dans tous les cas, la réaction due à Tinerlie par suite du changement de direction s'exerce suivant la normale contenue dans le plan osculateur, et elle a pour mesure

Nous venons de voir comment la conception de

512 SUPPLÉMENT A LA MKTAPHYSIQUK

I^hélice osculatrice s'applique à la détermination de l'effet que produit la courbure dans le mouvement d'un point matériel. Il semble que, toutes les fois qu'il s'agit d'un mouvement curviligne, il y a lieu de recourir à la même considération. Cependant il est permis de s'en dispenser en certains cas et de suivre une marche plus simple en substituant la tangente' à la courbe ; c'est ainsi, par exemple, que l'on procède constamment dans les applications du principe des vitesses virtuelles. Cette circonstance exige quelques détails, pour être bien comprise.

Lorsque la continuité s'établit, c'est toujours suivant une direction déterminée: Si cette direction persistait, la ligne engendrée serait droite. En général, la direction ne persiste pas, et de là résulte la courbure. La courbure ne détruit point la direction, elle ne fait que la modifier C'est dans la suite infinie des états Aon distincts que la direction et la courbure prennent toutes deux naissance. Néanmoins, il n'y a pas simultanéité, mais succession. L'ensemble de ces états présente donc en réalité diverses périodes (1) dont on peut concevoir abs-

(1) Sôit une fonction y =f{oo) et ses dérivées successives /'(a?), /(a;), f'i^h etc.

Les états non distincts correspondants à la valeur particulière (j? » a)^ constituent une suite infinie de périodes, dont on peut considérer isolé-

DIT CALCUL Dll^FéRENTIBL* 513

traitement la séparation. L'établissement de la direction correspond à la première période, puis vient après la période de courbure.

Cette distinction admise, il est clair que s'il s'agît d'effets dépendant de la première période, l'on peut considérei* exclusivement la direction et par conséquent remplacer la courbe par la tangente. Tels sont les cas d application du principe des vi-

ment un nombre quelconque, et déterminer, pour ce nombre, la loi régulatrice.

S'agit-il de la première période ? la loi qui la régit a pour expression finie :

Y^ — cons». —/'(a).

S'agit-il des deux premières périodes, la loi devient :

=» const. «B /'(a).

Pour les trois premières périodes, on aurait de même :

■ =.consi. —/'(a).

Aa?

Enfin, s'il s'agissait de Venseniblê des n premières périodes, il viendrait ;

Xda^^'iJ

— -— — cons*. — /**(a).

Il est d'ailleurs bien entendu que les constantes, introduites par Tinté* gration, donneraient pour équation résultante :

Cela posé. Ton voit aisément que ce qu'on nomme contact de l'ordre n II. 33

lesses virtuelles, l'objet qu'on se propose élanl d'exprimer la condition qui doit être remplie pour qu'il y ait équilibre, c'est-à-dire pour qu'aucun déplacement ne puisse commencer sous l'action des forces sollicitantes.

Les principes que nous venons d'exposer nous paraissent devoir être considérés comme formant

entre deux courbes planes, c'est la coïncidence des états non distincts correspondants aux n premières périodes. On reconnaît en même temps que cette coïncidence ne peut avoir lieu, sans que les courbes dont il s^agit soient plus rapprochées entre elles, qu'elles ne pourraient l'être de toute autre courbe qui ne satisferait pas à la même condition.

Ces conséquences s'établissent avec une égale facilité, lorsqu'on reste au point de vue des capacités d'accroissement. En effet, il s'agit alors de remarquer,

l* Que si l'on prend poinr unité la capacité d'accroissement de la

dy variable indépendante x^ -y- est la capacité de la fonction y.

2" Que les dérivées successives, considérées comme fonctions^ ont pour

capacités respectives.. la première ^— r-, la deuxième •— ^, et ainsi de suite

dx* (w?3

jusqu!à la /dérivée -r ;, dont la capacité d'accroissement devient

cte** *" •

dny da?**

Reprenons l'expression finie de la loi qui régit les états non distincts, et concevons qu'au lieu d*être restreinte aux n premières périodes, elle soit étendue à leur suite infinie. En ce cas cette expression doit s'idenUJief avec l'équation primitive y — f{œ) ; on a donc nécessairement :

y - /(^) -fia) + ^-^""^ f'{a) -h ^"^ •" *^* fia) +>tc., 1 1.2.

c'est-à-dire y le développement de taylor.

DU CALCUL OIFFÉUËNTIEL. 515

la base essentielle de l'analyse infini lésimale. Des développements plus étendus seraient peut-êire nécessaires pour montrer avec quelle facilité la méthode précédente s'applique en général à toutes les questions du calcul différentiel, et comment elle peut suppléer l'emploi des infiniment petits Ce sera, s'il y a lieu, l'objet d'un nouveau travail que nous publierons ultérieurement. Ici, le cadre qui nous est tracé nous force à nous restreindre; néanmoins nous choisirons un dernier exemple, non comme application de calcul, mais comme déduction rationnelle, fondée sur des considérations du même ordie que celles dont nous avons fait précédemment usage, et nous terminerons cette UQle par une démonstration synthétique du principe des vitesses virtuelles.

§iv.

principe des vitesses virtuelles.

Considérons un système de points liés entre eux comme on voudra. Si l'on imagine que l'un quelconque des déplacemenis compatibles avec les liaisons doive ou puisse se léaliser sous Faction

516 SUPPLÉMENT A LA MÉTAPUYSlQtË

(les forces qui solliciienl le syslènie, ce déplacenienl ne pourra commmcer pour chaque point (ju'avec une certaine vitesse déterminée en sens absolu et en grandeur relative. Chacune de ces vitesses prend, par rapport au déplaceiuenl que Ton considère, le nom de vitesse virtuelle: on l'estime suivant la droite qui en fixe le sens, et Ton nomme moment virtuel le produit d'une force par la projection, sur cette force, de la vitesse virtuelle de son point d application.

Ainsi, à chacun des déplacemenCs sw/>po5^5 réalisables sous Faction des forces données, correspond pour chaque point une vitesse virtuelle ^ et pour chaque force qui s'y trouve appliquée un moment virtuel. Ajoutons que ce moment est positif ou négatif, selon que la vitesse estimée par projeclion sur la direction de la force est de même sens qu'elle ou de sens contraire.

Lorsque dans un système il n'y a qu'Hun seul déplacement compatible avec les liaisons, le système est dit à liaisons complètes. En ce cas, chaque point doit être considéré comme assujetti à se mouvoir suivant une ligne déterminée, et la condition qu'il subit par le fait actuel de la liaison reste la même lorsque l'on substitue à cette ligne l'hélice osculatrice, ou plus simplement la langente. Toutefois, et s'il s'agit de plusieurs points, ij faut en outre qu'il exisle enire toutes les hélices ou les

DU CALCUL DIFFÉRENTIEL. 5l7

droites substituées aux lignes primitives, une certaine dépendance ayant pour résultat la conserva* tion des vitesses virluelles. Il est d'ailleurs indifférent que la double condition subie par chaque point résulte de la liaison donnée ou de telle antre acluellement équivalente; dès qu elle subsiste, rien ne change dans l'effet instantané des forces que Ton considère.

Ces préliminaires établis, si Ton prend dans un système à liaisons complètes deux points quelconques supposés non fixes, et que pour réaliser l'effet de la liaison existant entre ces points, on les assujettisse a tourner solidairement autoui* d'un même axe en conservant leurs vitesses virtuelles, il est clair que deux forces, dont chacune agirait en l'un des points dont il s agit, peuvent se faire équilibre, et l'on démontre aisément que l'équilibré a lieu lorsque les moments virtuels de ces forces sont égaux et de signe contraire.

De là résultent les deux principes suivants :

l*» Toute force agissant sur un système d liaisons complètes peut être déplacée et modifiée d'une infinité de manières. L'effet ne change pas lorsque le moment virtuel conserve son signe et sa valeur.

2« Dans tout système à liaisons complètes et sollicité par les forces P, Q, R, etc. , dont les moments

virtuels y pris chacun avec lesignf" qui lui convient, sont respectivement Pp, Qg, Rr, etc., les forces données peuvent être remplacées par une résultante unique, ayant même direction que la vitesse vir^ luelle du point où on la suppose appliquée; si Von prend celte vitesse pour unité des vitesses virtuelles, la résultante est représentée en grandeur par la valeur absolue de l'expression Pp + Qq -h Rr, etc. Elle agit d'ailleurs dans le sens du déplacement que les liaisons permettent ou en sens contraire, selon que la somme des moments virtuels correspondants est positive ou négative.

S'agil-il maintenant d'un système quelconque, sollicité comme on voudra, nous observerons que deux cas seulement peuvent se présenter.

Les forces données se font ou ne se font pas équilibre. Dans le premier cas, V équilibre existant nest pas troublé lorsque, par Taddition de liaisons nouvelles, on ne laisse subsister que l'un quelconque des déplacements compatibles avec les liaisons primitives.

Dans le second cas, il y a déplacement effectif. Néanmoins ce déplacement se produit de même loi^sque, par des liaisons qui n'y font point obstacle, on rend tout autre déplacement impossible.

Donc, quel que soit l'effet actuel et instantané dés forces qui sollicitent un système quelconque,

on peut toujours, sans changer cet effet, transformer le système donné en un système h liaisons complètes.

Cette remarque permet d^établir, comme conséquence évidente des propositions qui précèdent, le théorème suivant, connu sous le nom de principe des vitesses virtuelles :

Dans tout système de cotys liés entre eux d'une manière quelconque et sollicités par autant de forces qu'on voudra^ il est à la fois nécessaire et , suffisant pour C équilibre que là somme des moments virtuels ne soit positive pour aucun des déplacements compatibles avec les liaisons.

En effet, supposons d'abord qu'il y ait équilibre.

En ce cas y Ton ne peut admettre que la somme des moments virtuels soit positive pour l'un quelconque des déplacements que les liaisons permettent, car dans cette hypothèse, si l'on voulait que ce déplacement commençât^ il suffirait de rendre tout autre déplacement impossible.

Supposons ensuite que la somme des momenls virtuels ne soit positive pour aucun des déplacements compatibles avec les liaisons.

En cecaSy il est manifeste que nul déplacement ne petit commencer sous l'action des forces qui sollicitent le système. Donc l'équilibre existe nécessairement.

En général y tout déplacement possible dans un

sens, el pris à son origine^ présente en sens inverse la même possibilité. Pour chacun de ces sens les moments virtuels onl même valeur absolue, mais ils changent de signe. Alors donc, Véquiiibre exige que leur somme soit nulle.

tlN DU SUPPLEMENT.