SI

Interprétation de Téquation difTérenlielle •-- — /"(^) «onsidérée comme

ax Al/

eiprimant l'ensemble des propriétés générales du rapport fini -^.

Étant donnée la relation, 0) y = f{x)-\'Cons\,

on sait qu'elle peut être remplacée par la relation équivalente .

Chacune de ces deux relations implique l'autre; toutefois, elles ne doivent point être confondues.

(1) Ce supplément se rapporte au chapitre des Mathématiques.

480 SUPPLÉMENT A LA MÉTAPIIYSIQUH:

Dans la première, on considère la fonction et la loi de dépendance qui régit chacune de ses valeurs particulières. Cette loi est explicjte. Dans la seconde, c'est le rapport des accroissements de la fonction à ceux de la variable qui se trouve exprimé. La loi générale qui régit ce rapport est contenue iioûplicileiiient dans, l'équation («) ; l'équation (a) la met en évidence.

Reprenons le développement :

/'(^)+^r(-*-) + eic.,

et remajqudns qu'il est complètement délerminé par cela seul qu'on en connaît le premier Cerme. Or, pour dégager ce premier terme, il suffit d'annnler r^cwoissemênt A^* En conséquence, si l'on

représente par le symbole -p ce que devient le

premier membre de la relation (2) lorsque les accroissements particuliers s'annulent, cette relation peut être suppléée par l'équation différentielle :

et, sous cette forme, elle conserve louCe sa généralité,

; Soit 6V une valeur particulière de A^. Le rapport— possède une propriété générale. Veut-on

DU CALCUL DIKFÉRKNTIKL. kSi

obtenir explicilement Texpressioii de celte propriété , il faut faire usage de la relation («) et substituer 6 à Ax.

Av Observons que la loi du rapport -^ comprend

Av implicitement celle du rapport — | , m étant un

nombre entier quelconque. La substitution de b k Aoo doit donc être considérée comme faisant exprimer à la relation (2) l'ensemble des propriétés

générales qui appartiennent au rapport -~. Plus

la quantité 6 est supposée petite, plus cet ensemble prend d'extension. Néanmoins il ne peut jamais embrasser routes les propriétés du rapport -r-^. Celles qui correspondent à des valeurs

de Aa? moindres (jue 6, ou qui n'en sont pas des multiples, lui échappent constamment. Ce n'est donc qu'en faisant abstraction de toute valeur particulière, c'est-à-dire en annulant A^, que l'on peut parvenir, comme nom l'avons vu d'abord, à une expression complète de la loi générale. Toute

propriété du rapport -r-^, correspoiidânte à une

valeur particulière de l'accroissement A^, peut être rendue explicite par une substitution convenable, effectuée dans la relation («). Quelle que

il. 5t

482 SUPPLÉMB>T A LA METAPHYSIQCË

soit celte propriété, elle se trouve implicitement comprise et exprimée dans l'équation différentielle.

La relation («) se prête explicitement à chacune des particularisations que comportera loi qui la régit; mais dès qu'elle est particularisée, elle devient dépendante de l'accroissement que l'on considère, et elle n'offre plus qu une trace incertaine de \ universel qutconslitue son essence pi*imitive. Cependant il est une circonstance capitale

qui caractérise la loi du rapport -r-^ et qui la

détermine en présentant Yuniversel^ qu'elle renferme et qui la distingue essentiellement, dégagé de toute particularisation. L'équation différentielle exprime cette circonstance.

Tel est, nous parait-il, le point de vue auquet M. Bordas s'est placé pour établir la métaphysique du calcul différentiel. Quant aux règles de ce calcul et aux différentes applications qu'il comporte, elles n'exigent point, en général, que l'on voie

dans le symbole — autre chose que ce que devient

Av l'expression du rapport —, lorsque les accroissements s'annulent. Cependant il peut être utile de préciser la nature du lien qui rattache l'équation

différentielle à son intégrale. Nous essaierons d'exposer detfx des aperçus sous lesquels la question se présente.

Notion sur la fonction dérivée considérée comme eiprimant, par rapport à la fonction primitive, l'état de l'élément générateur.

Lorsqu'on prend à son origine l'accroissement d'une fonction continue, on remarque que cet accroissement tend à se produire proportionnellement à deux facteurs ; l'îin est la fonction dérivée, l'autre l'accroissement de la variable. Ce qui empêche que cette loi si simple régisse les accroissements finis , ce sont les variations successives de la fonction dérivée. Concevons que l'on substitue à la fonction dérivée le nombre qui exprime sa valeur initiale, et que Ton considéré ce nombre comme la dérivée constante d'une fonction particulière. En ce cas, quel que soit l'accroissement de la nouvelle fonction, il aura pour mesure le produit de la fonction dérivée par l'accroissement donné h la variable. De là résulte une loi de génération qu'il est facile de se représenter; en vertu de sa permanence, cette loi sub-

kHÏ SUPPLÉMENT A LA MÉTAPHYSIQUE

sjste à Torigine de tout accroissement, et elle s'applique par conséquent à la fonction primitive.

Restons dans Thypothèse d'une dérivée constante et considérons les deux éléments qui concourent à la génération : Fun est l'accroissement de la variable; c'est de lui que dépendent respectivement chacun des accroissements particuliers de la fonction. L'autre, au contraire, ne particularise aucun accroissement , et il les régit tous ; c'est l'élément générateur proprement dit.

 l'origine, la loi de l'accroissement est, pour la fonction à dérivée constante, la même que pour la fonction primitive; les deux fonctions subissent donc les mêmes conditions initiales, et il suffit que l'élément générateur soit déterminé dans l'une d'elles ponr que la même détermination s'applique immédiatement à l'aulre.

La conception de l'élément générateur s' étendant à une fonction quelconque, on observera que la Jonction dérivée fournit, pour chaque valeur de la variable, l'expression de l'état particulier dans lequel cet élément concourt à la génération. Cette expression peut seule entrer dans le calcul, et c'est elle qu'il importe de connaître. Quant à la nature de l'élément générateur, il est impossible de la préciser en général, et, pour qu'elle se manifeste, il faut certaines circonstances particulières.

Supposons que l'on connaisse a priori l'élément

DU CALCUL DIFFÉRENTIEL. h%b

générateur et qu'il s'agisse d'obtenir la fonction dérivée, le caractère général auquel on reconnaîtra cette fonction est le suivant :

Quels que soient les changements successifs qui s'opèrent dans l'élément générateur, on peut toujours considérer cet élément dans l'un quelconque des états par lesquels il passe, et, r accroissement de la variable restant arbitraire^ concevoir que cet état persiste sans altération. Dans cette hypothèse, la grandeur engendrée a pour mesure le produit de l'accroissement de la variable par une certaine quantité dépendante, non de l'accroissement, mais de la variable. Cette quantité exprime l'état initial' de l'élément générateur, et elle constitue la fonction cherchée.

Soit, par exemple, une fonction quelconque,

z = f{œ) + cons*.

Imaginons qu'elle représente une aire plane comprise entre l'axe des a;, une courbe déterminée par la nature de la fonction et deux ordonnées de cette courbe.

L'une des ordonnées étant supposée fixe, l'autre «era l'élément générateur de la fonction. Sôity cette ordonnée, on aura généralement :

Ainsi tandis, que l'équation finie z — f[x) + cons*.

k86 SUPPLÉMENT A LA BIÉTAPHTSIQUE

donne, pour chaque valeur de la variable, l'étal correspondant de la surface z^ l'équation diflërentielle,

dz -I, X ^

fournit en même temps la valeur correspondante de l'ordonnée génératrice y.

Dans une cîourbe, la touchante est l'élément générateur de l'ordonnée (1).

Dans le cercle, la surface est fonction du rayon; l'élément générateur est la circonférence,

dr

De même le volume de la sphère a pour élément générateur sa surface,

__L — = 4irr'.

dr

La quantité de mouvement , considérée comme fonction du temps, a pour élément générateur la force tangentielle. Si Tune est donnée à chaque instant par la condition

mv = <f{l) l'anlre a constamment pour expression corrélative

(t) L'élément génératear régit ou règle la génération.

En général, lorsqu'il s'agit d'évaluer des aires ou des volumes, il est facile de concevoir un mode de génération qui mette en évidence l'élément générateur. Toutefois, ce n'est là qu'une circonstance exceptionnelle, et dans la plupart des cas, on chercherait en vain a fixer d'une manière direcla^et précise la nature de cet élément. Il convient alors de ne voir en lui qu'une grandeur abstraite» Son état, exprimé par une fonction, peut seul être introduit dans le Calcul. C'est cette fonction qu!il importe de déterminer, et tel est l'objet du calcul dififérentiel.

Lorsque la fonction est donnée, la différenciation fournit immédiatement l'expression de l'élément générateur. Dans Fordre inverse, c'est-à-dire dans le calcul intégral, l'élément générateur devient la base sur laquelle on reconstruit la fonction.

Les procédés du calcul différentiel n'exigent pas que la fonction soit connue pour que l'on puisse obtenir la fonction dérivée. 11 suffit d'opérer sur le rapport de l'accroissement de la fonction à celui de la variable, et de chercher ce que devient ce rapport lorsqu'on y annule l'accroissement. Les termes qui s'évanouissent doivent être supprimés, non parce qu'ils sont négligeables relativement aux autres, ce qu'on suppose habituellement dans la méthode des infiniment petits.

488 SUPPLÉMENT A LA MÉTAPHYSIQUK

mais, en réalité, parce qu il faut rigoureusement en fait'e abstraction pour parvenir à dégager la fonction dérivée, c'est-à-dire l'expression numérique de rélément générateur.

Proposons-nous comme application la recherche du centre de gravité d'un triangle iquelconque ABC, dont la hauteur est h et la base b.

Soit mn et pq deux parallèles à la base, z la dislance dé la droite mn au sommet C, A^ l'écartement des deux parallèles.

Si nous représentons par M le moment du Irian gle mCn , pris par rapport à la droite LL' menée par le sommet parallèlement à la base, nous aurons évidemment :

j^^rnn \^+^\ + {pq — mn) {z + y.Az

p. étant une fraction.

Posons maintenant A^ = o, et observons que de là résulte mn^-pg, il viendra

' ^-' = z. mn =-;az h

ei iaiégranl

S'agit-il du triangleÂBC, on a z = h, et dësignaiU par i' la dislance du centre de gravité à la droite

^ bh ,

ii vient donc en substituant

Dans cet exemple, rélément générateur est

h exprimé analytiquement par la fonction y^'« Cet

élément sera, si Ton veut, un rectangle ayant pour base mn et pour hauteur z. Concevons que le plan de ce rectangle soit normal à celui du triangle ABC. Dans son déplacement, il engendrera une pyramide quadrangulaire ayant h pour hauteur, et pour base le rectangle hh. Il est d'ailleurs évident que la solidité de cette pyramide représente numériquement le moment du triangle. On a donc direelemml

bh bh'

W)0 SUPPLÉMKNT A LA MKTAPIIYSIQUK

el par suite

La solution, fournie par le calcul différentiel, s'étend d'elle-même à la recherche du centre de gravité des solides. Il n'en est pas ainsi du procédé direct applicable au triangle. Ce procédé veut une^ représentation précise de l'élément générateur. Elle est possible dans un cas; elle ne l'est plus dans l'autre.

Considéré d'une manière abstraite, l'élément générateur est en général représenté par une fonction. Celte fonction dérive de la fonction donnée, et elle a, comme celle-ci, un élément généraleùr qui lui est propre. Les dérivées successives expriment donc, par rapporta la fonction primitive, une série d'éléments générateurs appartenant à des ordres différents. A la première dérivée correspond l'élément générateui» du premier ordre; à la deuxième, l'élément générateur du second ordre, et ainsi de suite pour les autres.

Deux fonctions d'une même variable peuvent prendre une même valeur pour une valeur particulière de la variable. Si les fonctions ne sont pas identiques, les valeurs immédiatement successives sont nécessairement différentes; toutefois elles diflèrent d'autant moins que les éléments générateurs du i>remiei' ordie sont plus i)rès d'être égaux.

BC CALCUL DIFFÉRËIVTIEL. 491

S'ils sont égaux, la dilTérence dépend des éléments générateurs du second ordre et elle décroît sans cesse à mesure que les valeurs correspondantes de ces élémenls se rapprochent davantage Tune de l'autre. Ces valeurs viennent-elles à coïncider, l'inOuence prédominante est acquise aux éléments générateurs du troisième ordre, puis ensuite à ceux des ordres inférieurs, la loi dé priorité restant toujours la même.

Lorsque les fonctions représentent des courbes qui se touchent, le degré du contact est indiqué par le nombre des éléments générateurs qui coïncident successivement à partir du premier. Dans la méthode des infiniment petits, une courbe est un polygone dont les côtés deviennent, à la limite, ce qu'on est convenu de nommer les éléments de la courbe. Une courbe en touche une autre lorsqu'elle a avec elle un élément de commun. En a-t-elle plusieurs, leur nombre détermine le degré du contact. Néanmoins, quel que soit ce degré, les déments supposés communs se réduisent toujours à un seul et même point. De là résulte une contradiction apparente, et à cet égard ce ne serait peut-être pas sans raison plausible qu'on reprocherait à ces énoncés le défaut de cacher le sens vrai qu'ils renferment sous une expression qui peut donner prise h des interprétations erronées.

§ in.

Essai sur les principes fundartientaui deVanalyiîe iiiûiiilésimale.

Quel que soit l'état particulier dans lequel on considère une quantité continûment croissante ou décroissante, cet état est l'origine des états qui lui succèdent, et il y a continuité dans la succession.

Si rapprochés que Ton prenne deux états supposés distincts y l'intervalle qui les sépare compi'end un nombre illimité d'états intermédiaires. Peut-on maintenir une différence quelconque assignable entre tous ces états successifs f évidemment non, car ce serait limiter leur nombre et établir la discontinuité. Ainsi, parce qu'il ff a continuité, les étais intermédiaires sont encombré infini, et, pris dans l'ordre où ils se succèdent, ils ne peuvent être distingués quantitativement.

Il résulte de là que chacun des degrés de grandeur par lesquels passe une quantité continûment variable, peut être considéré, soit comme l'expression individuelle d'un état .quelconque isolé et dislincl, soît comme l'expression universelle de la suile infinie des étals successifs qui se

DU CAIXUL DIFFÉBENTIEL. i93

groupent autour d'un centre commun et s'y confondent en vertu de la continuité.

Dans le premier cas, on reste au point de vue de l'analyse ordinaire. Dans le second, on s'élève à la conception du principe sur lequel repose le calcul infinitésimal.

Soit la relation finie ,

^=r(^) + ^W + elc.,

le développement f'[x) + {f'oc) + etc., esi

par hypothèse essentiellement continu. Or, pour

ùix— Oj il se réduit à f{x) ; donc, si Ton repré-

dv sente par le rapport symbolique -7^, l'expression

universelle de la suite infinie des valeurs qui se concentrent toutes dans la valeur unique et distincte fournie par la fonction dérivée, on a Téquatioh différentielle

Le symbole dy est relatif à l'accroissement Ay; il exprime que l'on considère, non pas un état isolé, mais l'ensemble d'une suite d'états immédiatement successifs. Il en est dé même de dx par rapport à l'accroissement A^. Les deux symboles

k9k SUPPLEMENT A LA MÉTAPHYSIQUE

peuvent être remplacés à la fois par les différences annulées qui leur correspondent, et réciproquement. Nulle valeur numérique ne leur est d'ailleurs assignable.

Présentons ces idées sous une autre forme.

La notalion A indique que l'on considère la fonction dans deux états quelconques, et que l'on a particulièrement en vue le changement quantitatif qu'elle subit en passant du premier état au second. Le symbole général Ay est donc l'indice d'une capacité d'accroissement inhérente à la fonction y y et en même temps il est la mesure des effets finis qui résultent du développement continu de cette capacité. Lorsqu'on annule les différences Ay, A^, elles s'évanouissent comme quantités, mais elles subsistent nécessairement comme indices des capacités qu'elles expriment. Telle est la signification des symboles différentiels dy et dar» substitués aux différences annulées (A2/=o, Ax = o).

Ay Dans le rapport -r— , le sens symbolique se t^jouve

dominé et presque entièrement effacé par l'expression quan^tative des différences finies. En annulant ces différences, on isole le rapport numérique des capacités d'accroissement et on le fait apparaître dégagé de tout voile.

La propriété exprimée par l'équation différentielle subsiste en vertu de la continuité. Considé-

rée dans ce qu'elle a de général par rapport à tous les élats de la fonction dérivée, supposée quelconque, elle ne dépend d'aucune détermination particulière. Lorsqu'on se donne la fonction dérivée et qu'on assigne une valeur à la variable, la propriété exprimée ne change point dé nature, mais elle se particularise. Peu importe alors que dans la fonction dérivée les valeurs qui correspondent à des états distincts soient ou non différentes. Tout se trouve complètement déterminé par la valeur particulière attribuée à cette fonction, et quelle que soit cette valeur, il suffît de la supposer constante pour mettre en évidence la propriété dont il s'agit. Or, dans cette hypothèse, il vient

^ = f'(a)=cons\ dx ' ^ .

et l'on en déduit immédiatement

-^ =cons'. = /•(«)• Donc, quelle que soit la propriété générale qu'exprime l'équation finie -7-^ = cons*. et que

particularise la valeur attribuée à la fonction dérivée, il est manifeste que, pour chaque état particulier de la fonction que Ton considère, elle détermine la circonstance initiale qui préside

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MÙ SUPPLËMKNT A LA MÊTAPHYSIQUB

aux changements délai immédiatement successifs.

Ainsi Ton peut énoncer d'une manière absolue que dans toute fonction Taccroissement, pris à son origine, se produit proportionnellement à la fonction dérivée. Contentons-nous d'indiquer ici cette conséquence générale. Plus Join nous ferons ressortir l'importance de l'équation différentielleconsidérée comme exprimant d'une manière explicite la loi qui régit la suite infinie des états non distincts.

Kn posant

nous avons admis implicitement que l'expression

dv

-j- avait généralement pour valeur une fonction de

la variable. Il est aisé de voir qu'il doit en être ainsi. En effet, nulle loi ne peut régir la suite infinie des états successifs par l'intermédiaire desquels la continuité s'établit, sans qu'on en retrouve

Aï/ des traces dans le rapport finiV^ ^^ ^"^ ^^^^

sans cesse à se transporter. Or, si petit que soit A^, ce rapport n est jamais indéterminé, et, sauf le cas des fonctions linéaires, il dépend toujours

DU (Calcul différentiel^ 497

de la variable; le même caraclère appartient donc

nécessairement à l'expression ^ (1).

La remarque précédente s'applique aux expressions fractionnaires, lorsqu'elles se présentent

sous la forme -, chacun de leurs deux termes o

s'annulant à la fois pour une même valeur {x'= a) donnée à la variable. En ce cas le symbole -n'implique pas l'indétermination, et l'on peut aisément s'en convaincre.

Pour que la continuité cesse, il faut une limite

dy (1) Le symbole j- exprime le rapport des capacités d'accroissement

intiérentes aux variables y et x. Il est évident que ce rapport est déterminé par cela seul qu'il existe entre les variables une loi de dépendance. On peut, sans rien changer à cette loi, faire dépendre a; et v d'une autre variable choisie arbitrairement. En ce cas, et sans qu'il soit besoin de dire quelle est cette variable, ni comment les autres en sont rendues dépendantes, chacun des symboles dy et dx doit être considéré comme prenant

dy une valeur numérique dans le rapport r^i et chacune de ces valeurs ex-

dx

prime la capacité relative de la fonction correspondante, la capacité d'aoeroissenient de la variable arbitraire étant frise pour um'^e. ^lors les symboles dy et de deviennent de véritables fonctions, et, si l'on suppose ' constante 4a capacité d'accrofssement de la variable arbitraire, ce qui est toujours permis, puisque par hypothèse la variable dont il s'agit est indéfendante, ces fonctions ont pour expression de leurs capacités d'accroissement les symboles c2*i/, d%. Tel est le sens que présentent les différentielles successives, quel que soit l'ordre auquel elles appartiennent.