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98 LE CAUTÉSlAMSMf:,

appliquée^ il suffit que cette force passe , aux mêmes époques , par les mêmes degrés de grandeur j pour qu^elle engendre ou détruise^ au bout d'un même temps quelconque , une même quantité de mouvement.

Le principe étant posé, nous en déduirons; comme conséquence immédia ie. que dans un système de^ corps abandonnés à leurs actions mutuelles et réciproques , la somme algébrique des quantités de mouvement demeure constamment invariable. En effet, si nous isolons par la pensée deux quelconques des corps du système, nous voyons qu'à chaque instant ils s'attirent ou se repoussent avec une force égale. Les quantités de mouvement engendrées de part et d'autre sont donc les mêmes eii grandeur et en diiection ; mais elles sont évidemment de signe contraire. Donc leur somme algébrique resîe nulle.

Cette grande loi pouvant s'appliquer au système du monde, restituons aux corps planétaires le . calorique versé par eux dans l'espace. De l'état solide ramenons-les progressivement à l'état gazeux, et faisons croître la diffusion jusqu'à ses dernières limites (1). Il semble incontestable qu'en procé-

(1) Dans un ouvrage intitulé Mémoire sur l'état primitif et sur Vorganisalion de l'univers^ M. Lenglet s'est proposé d'établir que les lois admises en ])liysiqne permettent de coosidéror l'état actuel de l'univons

LK CAU TKSIANISMR, 99

(lant ainsi nous approchons de plus en plus de rélal d'équilibre. Nous croyons donc permis de supposer que, nulle à Tinslant précis de la création, la somme algébrique des quantités de mouvement no, doit pas cesser d'êire nulle.

Reprenons l'exemple cité tout à l'heure, et concevons qu'au lieu de marcher à la rencontre l'un de l'autre, les deux corps s'élèvent suivant la ver* ticale, avec une même quantité de mouvement. La gravité s'exerçant par une action constante proportionnelle à la masse , le temps nécessaire à la force pour détruire le mouvement est proportionnel à la vitesse d'impulsion. Or, l'espace croît comme le carré du temps : donc il sera comme le carré de la vitesse.

Il résulte de là que le produit de la hauteur franchie par l'effort exercé croît proportionnellement à la vitesse, lorsque la quantité de mouvement demeure invariable. Ainsi , deux corps capables de se réduire^ mutuellement au repos par le choc, peuvent néanmoins, sous l'action continue d'une même force retardatrice constante, franchir des espaces proportionnels à leurs vitesses respectives.

Pour trouver quelque chose de contradictoire

comme la conséquence d'un éiai initial présentant la matière uniformement répartie dans I*espace.

100 LK CAUJ ÉSIAMSME.

dans les termes de celte proposition, il faut confondre la dépense continue de force qu'exige la génération de la vitesse eu égard au temps et abstraction faite dé Tespace, avec celle qu'elle exige eu égard à l'espace et abstraction faite dp temps.

Lorsqu'il s'agit d'un effort instailtané, ni le temps ni l'espace ne sont à considérer; en ce cas, on a la force proprement dite. S'agil-il, au contraire, d'un effort continu, et veut-on tenir compte de la continuité, l'expression isolée de la force devient insuffisante ; il faut y joindre un nouvel élément. Ce sera ou le temps pendant lequel la force agit, ou Tespace que parcourt son point d'application. Dans le premier cas, le produit de la force par le temps est la mesure correspondante de la quantité de mouvement que peut engendrer la puissance dans son développement uniforme et conlinu. Dans le second cas, le double produit de l'espace par la force mesure de la même manière la quantité de force vive.

Le produit mv'^j appelé improprement force vive, n est point une force. Il en est de même du produit mv^ nommé quantité de mouvement. Un corps se meut ; il y a là masse et vitesse, mais non force; il y a puissance, mais elle serait la même à l'état de repos. Le mouvement acquis témoigne d'une lutte antérieure , pendant laquelle se trouvaient à chaque instant en présence deux forces

LE CAUTÉSIAXîSMi:. 101

toujours égales et contraires, Tune extérieure et excitatrice, Tauire inhérente à la matière et rendue sensible par l'excitation étrangère qui provoquait son développement. L'effet de cette lutte se r^ume dans la génération d'une certaine vitesse.

La même force extérieure, constante en grandeur et en direction, peut être conçue agissant sur des masses ditférentes. Quelles que soient ces masses, la force engendrera toujours, pour une même durée d'action, une même quantité de mouvement; pour un même espace franchi pendant la lutte, une même quantité de force vive. L'on peut donner pour expression de l'effet produit, la quantité de mouvement ou la force vive , et demander quelle a été, pendant la lutte, l'intensité de la force excitatrice. Observons que chacune de ces deux expressions renferme implicitement la force, combinée pour l'une avec le t^mps, pour l'autre avec l'espace. Si l'on fait abstraction de l'éléuient distinct qui les différencie, on perd de vue le but qu'on se propose, et dès lors comment pourrait-on y atteindre ?

Connaître la quantité de mouvement ou la force vive, c'est avoir un rectangle défini par sa surface seulement.

Évaluer d'après -cette donnée l'intensité de la force génératrice supposée constante , c'est déter-

lOâ LE CARTÉSIANISME.

miner une des dimensions du rectangle, en faisant sur l'autre telle hypothèse qu'on voudra.

Les solutions sont, ainsi qu'on le voit, en nombre infini. Dans tous les cas , si l'on prend la hauteur du rectangle pour mesure de la force, ]^ base exprimera, soit la durée de l'action, soit le double de l'espace franchi , suivant qu'on aura opéré sur la quantité de mouvement, ou sur la force vive.

Est-il nécessaire d'ajouter que si la même force, appliquée à des masses différenles, engendre au bout d'un même temps une même quantité de mouvement , il est par cela même impossible que les forces vives correspondantes' soient égales? En effet, les vitesses diffèrent; or, la force vive est le produit de la vitesse par la quantité de mouvement ; donc, pour une même quantité de mouvement, elle varie comme la vitesse.

Lorsqu'il y a repos , le changement d'état ne consiste que dans le passage du repos au mouvement. Lorsqu'il y a mouvement, le changement d'état peut se manifester, soit par une altération dans la vitesse, soit par une modiHcation dans la direction; il est inulile d'ajouter que dans l'un et l'autre cas l'état nouveau tend toujours h se conserver. De là, mouvement varié tant que la force agit, et mouvement uniforme a partir de l'instant où son action cesse. •

Jusqu'ici nous avons suppose que l'ai tion solli-

LE CARTESIANISME. i03

citante s'exerçait dans la direction de la vilesse acquise. Arrêtons-nous lin moment à la considération du mouvement circulaire, la force étanf constante eh grandeur et agissant normalement à la circonférence.

En ce cas, nul déplacement n'a lieu dans le sens de l'effort exercé. La force vive se conserve donc sans altération, et il n'y a pas de modification dans la vitesse. Quant à la quantité de mouvement, bien qu'elle ne change pas en valeur absolue , néanmoins elle subit, dans le sens de l'action sollicitante, la loi générale qui règle sa génération. Qu'on décompose à chaque instant , parallèlement aux axes coordonnés, la quantité de mouvement qui s'engendre dans le sens de la force, la quantité engendrée suivant la direction des a?, pendant le temps correspondant au parcours du quart de la circonférence, deviendra, en désignant par r le rayon, par v la vitesse et par 9 la force infléchissante,

as I V V

0 yo

On trouverait évidemment la même expression pour la quantité de mouvement engendrée dans les mêmes circonstances, suivant la direction des y;

mais chacune de ces deux expressions est précisément égale h m V. On Si donc :

iVoù Ton déduit :

Telle est la mesure de la force normale capable de transformer en un mouvement circulaire délerniiné le mouvement rectilîgne uniforme. Telle est aussi la mesure de la réaction due à l'inertie par suite du changement de direction, c'est-à-dire de la force centrifuge»

Lorsque Leibnitz évalue la force centrifuge sur la courbe polygone, il ne prend pas garde que la position occupée par le mobile peut appartenir indifféremment, soit au sommet d'un angle, soit au milieu du côté qui joint deux sommets consécutifs. Or, si dans le premier cas on trouve pour exprès-» sion de la force centrifuge une valeur double de la valeur exacte, dans le second la force centrifuge s'annule. La moyenne donne donc la valeur véritable. Il est singulier que cette remarque échappe à Leibnitz, qui la fait pour la série

1 — 1 + 1 — 1 + 1 — etc.

Les détails précédents nous ont permis de mettre on évidence ce qu'est la force vive, non une force, mais l'expression d'un effet complexe dans lequel

on considère à la fois l'intensilé de la force excilatrice et la continuité de son action par rap|K)rt à Tespace. Il nous reste à indiquer maintenant comment cef effet j c'esl-a-dire comment le produit d'une force par un espace peut devenir en certains cas la mesure d'une puissance, et s'introduire dans les appréciations de la mécanique industrielle, où il figure, comme élément capilî»!, sous le nom de quantité d'action.

Lorsqu'il s'agit d'une puissance, telle que Taltraclion solaire par exemple, on la définit con4)léiement en énonçant qu'en présence d'un cor[)s extérieur, elle se développe proportionnellement a la masse de ce corps et en raison inverse du carré de la distance. En ce cas, la force naît et persiste indépendamment de la vitesse du point auquel elle est appliquée; il n'y a donc pas lieu de tenir compte de l'espace franchi , pour évaluer la puissance dans son développement continu.

S'agit-il, au contraire, d'un moteur animé? Quelle que soit la circonstance où la puissance se révèle, il n'y a point instantanéité de développement. La force part de zéro, croît par degrés et ne peut dépasser une certaine limite. Concevons que cette force soit appliquée à un mobile, libre d'ailleurs et soustrait à toute autre action ; supposons, en outre, qu'à chaque instant la puissance se développe autant que le permet la circonslance dans laquelle

106 LE CÂllTESIANISME.

elle s'exerce. La vitesse graduellement acquise persiste en vertu de l'inertie. Il y a donc d'abord accélératiop , puis ensuite uniformité, car bientôt la vitesse est telle, que la puissance, à qui le mobile échappe, est condamnée à demeurer stérile.

Ainsi , dans les moteurs ammés, le développement continu de la puissance, n'est pas indépendant de la vitesse du point d'application , et cette puissance ne peut être utilisée qu'entre certaines limites de vitesse. Un même effort révèle donc des puissances différentes, par cela seul qu'il peut être continué, toules choses égales d'ailleurs, avec des vitesses inégalés.

Considérons deux moteurs capables d^ exercer les mêmes efforts dans les mêmes circonstances de vitesse. L'identité relative de ces deux élémenls suffira -t-elle pour identifier les puissances? Non, sans doute. Il faut encore y joindre un nouvel élément, la durée.

Dans l'homme et dans les animaux, la puissance exige, pour se conserver, des intervalles d'inaclion. Le temps consacré ali travail de chaque jour peut varier suivant la nature de l'effort exercé, mais, en général, il ne doit pas excéder les ressources que l'organisation du moteur fournit pour une restauration complète, sans traces d'énervation permanente. Plus ces^ ressources sont étendues, plus la puissance esl grande. Il faul donc,

pour Tévaluer, tenir compte non-seulement de Teffort instantané qui la manifeste, mais, en outre, de la vitesse et de la durée que comporte son développement continu. Ajoutons que ces trois élé- . ments varient suivant le mode d'action de la puissance, et Ton reconnaîtra qu'elle n'est susceptible d'évaluation précise que relativement à certains effets déterminés.

L'objet qu'on se propose habiluellement dans' l'emploi des moteurs et <Jes jnachines consiste, soit à reproduire périodiquement une certaine vitesse, à partir de laquelle la puissance du moteur cessant d'agir, d'aulres puissances interviennent pour accomplir l'effet désiré; soit, plus généralement, à réaliser lin développement de la puissance non interrompu, et tendant au maintien de l'uniformité dans un mouvement que certaines résistances contrarient, et qui s' anéantirait bientôt, si ces résistances n'étaient point contre-balancées.

But essentiel de l'emploi du moteur, et, par conséquent, mesure relative de la puissance, l'effet utile est évidemment proportionnel, dans le cas de la périodicité, au nombre de périodes quotidiennes; dans le cas de la continuité, à la vitesse uniforme ou moyenne avec laquelle le mouvement persévère.

Dans le premier cas, chaque période d'action exige de la part du moteur la génération d'une

108 LK CARTÊSIANISMK.

vilesse délenninée. Or, la généjalion de celle vitesse implique, eu égard à la masse mise en uiouvement, la génération d'une quanlilé déterminée de force vive, et celle ci correspond toujours à une quantité d'action équivalente fournie par le.moteur (1). Supprimons tout intermédiaire: la puissance dans son développement continu s'évaluera pai* la quanlilé d'action journalière,

(1) Soit P la force luolrice , Q, Q', olc, les résistances passives et

dp do do

j-, ~, -T^ ,etc., les vitesses avec lesquelles se déplacent, dans le sens de

af. at at

chacune decçs forces, leurs points d'application.

Soit en même temps m, m\ etc., la masse des différents points du système, et v, v\ etc.. les vitesses dont ils sont animés respectivemcni.

En vertu du principe fondamental de la dynamique . il y a à chaque instant équilibre, au moyen des liaisons, entre les forces données et les réactions dues à l'inertio. Donc on a constamment, en vertu du principe des vitesses virtuelles.

Ou intégrant pour un intervalle de temps quelconque ,

^ (mt?«-|-m'v'2 + etc. ) = 2r /pdp— / ( Q dq -|-Q' dq' + etc.) )

On appelle quantité d'action le produit d'une force par le déplacement du point auquel elle s'applique, ce déplacement étant estimé suivant le

sens de la force. Les intégrales / P (i|), / (Qdq -|- Q' dq'+ etc. ), sont

donc, relativement à chacune des forces P, Q, Q', etc., la somme dos quantités d'action qui leur correspondent pour la durée que l'on considère. En conséquence léquation qui précède fournit l'énoncé suivant :

La somme de forces vives engendrée ou consommée dans uï) intervalle de temps quelconque, est égale au double des quantités d'action impripiées ou détruites dans le même intervalle.

LIÎ CARTÉSIANISME. 109

c'est-à-dire par une expression dans laquelle entreront respectivement comme facteurs : 1° l'effort moyen exercé pendant chaque période; 2** le chemin parcouru dans le sens de cet effort; 3° le nombre de périodes que le moteur peut accomplir chaque jour.

Dans le second, cas, la vitesse étant supposée uniforme, l'équilibre existe conslamment entre les forces motrices et les résistances passives. Néanmoins, le produit de l'effort exercé par le chemin parcouru dans le sens de l'effort constitue toujours une quantité d'action déterminée pour chaque intervalle de tenips, et servant de mesure a la puissance développée continûment pendant cet intervalle.

Le moteur et la machine, pris dans leur ensemble, forment une puissance nouvelle. On observera que le jeu de la machine introduit des résistances improductives qui consomment en pure perte uiie partie de la quantité d'action fournie par le moteur. Du reste, rien ne change dans le mode à suivre pour évaluer la puissance ; on la mesure, soit en soustrayant de la quantité d'action motrice celle que détruisent les résistances intérieures, soit en opérant isolément sur les résistances extérieures et faisant la somme des quantités d'action qui leur correspondent. En général, les circonstances initiales de la mise en

train u'onl qu'une influence tout à fait secondaire sur le jeu régulier qui leur succède. On peut donc en faire abstraction, introduire en ce qui concerne le temps l'élément de continuité, et prendre pour base commune d'appréciation un seul et même intervalle. C'est ainsi que la puissance d'une machine se trouve évaluée parla quantité d'action qu'elle utilise pendant une seconde. En pareil cas, considérée comme effet uiile^ l'élévation d'une livre à deux pieds de hauteur équivaut à l'élévation de deux livres à un pied.

Nous avons vu que la puissance des moteurs animés ne pouvait se développer qu'entre certaines limites de vitesse. Remarquons, en outre, qu'il existe pour chaque mode de développement une vitesse particulière à laquelle correspond le maximum de quantité d'action susceptible d'être fournie chaque jour. Quelle que soit la nature du moteur, l'emploi des machines présente des circonstances analogues. En deçà ou au delà d'une certaine limite, il y a toujours réduction d'effet utile, et la perte est d'autant plus grande, que l'on s'écarte davantage de la vitesse uniforme, à laquelle correspond, pour une certaine intensité d'effort, le développement le plus complet de la puissance.

On conçoit dès lors que l'uniformité de vitesse soit, toutes choses égales d'ailleurs, la condition

LE GAUTËSIANISMK. 111

la plus favorable au jeu des machines. On voit de même que si cette uniformité ne peut êftre rigoureusement maintenue, il importe de s'en écarter le moins possible. Tel est le résultat qu'on obtient en augmentant la quantité de force vive à l'aide des volants.

Presque toujours les quantités d'action que le moteur fournit et celles que les résistances consomment doivent être considérées, les unes par rapport aux autres, comme croissant et décroissant périodiquement entre certaines limites. Cette circonstance dépend soit de la nature des puissances en exercice, soit du mode suivant lequel elles sont assujetties à se développer. Le mouvement s'écarte donc sans cesse de l'uniformité par une sorte d'oscillation qui s'exécute autour d'un état moyen, et de là résultent, pour chaque période limitée par les états extrêmes, des changements alternatifs de vitesse auxquels correspondent certaines variations de force vive.

Les variations de force vive ont pour mesure équivalente le double de la somme algébrique des quantités d'action fournies et consommées pendant chaque période. Supposons cette somme déterminée et constante : il en sera de même, non pour le changement de vitesse, mais bien pour la variation de force vive. Or tout changement de vitesse éprouvé par une masse, et

112 LK CARTKSUNISME.

correspomlant à une variation de force vive délerrairfée et conslanUî, est d'autant moindre, que la quantité de force vive qui subit cette variation est plus considérable. Donc d'abord les niasses additionnelles à l'aide desquelles on augmente la quantité de force vive que possède une machine en mouvement ont pour effet, toutes choses égales d'ailleurs, de resserrer entre des limites plus étroites les changements de vitesse dus aux inégalités d'action du moteur et de la résistance. Mais en resserrant les limites des changements de vitesse, on atténue la cause de ces inégalités; donc, à plus forte raison, peut-on réaliser ainsi le but qu'on se propose.

Os notions permettent d'apprécier quelle est la fonction particulière du volant dans les machines, quel rôle il convient, en général, d'attribuer à la force vive, et comment enfin la quantité d'action sert de mesure à la puissance mécanique, considérée dans son développement continu.