CHAPITRE V

Cêontftrte aoalftl^iie, — Calcul différentiel.

Comme la physique astronomique, comme la physique terrestre, comme la dynamique, les mathématiques étaient dans F enfance quand Descartes les entreprit. Les mathématiques ont pour objet les rapports d'étendue ou quantité intelligible. Les rapports de quantité, nous l'avons remarqué au chapitre des substances, jouissent d'une propriété qui leur est exclusive, c'est de pouvoir être exactement représentés dans des symboles, de telle manière qu'opérant sur ces symboles, on se trouve opérer sur les rapports eux-mêmes, et en obtenir ainsi la connaissance. Sans de pareils symboles, c'est-à-dire avec le seul raisonnement et le secours si restreint des figures, on ne parvient guère à saisir que les plus faciles et les plus comn. 8

114 m CARTÉSIANISME.

muns. Excepté les chiffres, auxquels des recherches récentes semblent établir que l'antiquité ne fut pas étrangère, les autres symboles n'ont été inventés que depuis le commencement du seizième siècle. Aux signes -f, —;==,>,<, X, : , K^ imaginés avant lui, et à l'usage des lettres représentant simplement les quantités, Viète ajoute les règles du calcul sur les lettres elles-mêmes. Il convient peut-être d'observer que la première idée de ces règles ne semble pas lui appartenir.

« Stifel, Peletier, Butéon, ont représenté les inconnus par les lettres A, B, C, et leurs puissances au moyen de signes ou exposants. Le mot s'y trouve. Stifel exprime en ces termes la règle des exposants dans la multiplication et la division des puissances : « Dans la multiplication, ajoutez les exposants des signes ; dans la division, retranchezlis, et vous aurez l'exposant du signe du résultat (1).» Et quoique ces exposants ne soient pas les chiffres de Descartes, mais des signes analc^es, représentant les valeurs numériques de ces chiflfres, cette double invention, l'usage des lettres et d'exposants, était un perfectionnement notable dans la théorie des équations; car les algébristes italiens désignaient, dans le

(1) « Exponenles signorum, in multiplicatione adde,' in divisiime sul>trache, tune fit exponens signi fiendi. » Arithmetiea intégra, (^ 236, verso. — Voir anssi VAlgèhre de Peletlci\

calcul même, les inconnus et leurs puissances par des mois, tels que cosa^ censo^ cubo, censo de censOj relaie primOy etc. Quand il y avait deux inconnues, ils appelaient la première cosa^ et la seconde seconda cosa. Lucas de Burgo apporta à cette notation une faible simpliGcation, consistant dans la substitution du mot quanlila à l'expression complexe seconda cosa (1). Les mêmes géomètres se sont aussi servis des signes +, —, K^ qui ont été ignorés de Lucas de Burgo. Ces signes se trouvent dans les ouvrages de Stifel, de Scheubel, de Butéon, de Record. Peletier n'a employé que le signe |/", et a exprimé plus et moins par les lettres p, m. Le signe = n'a été introduit dans l'algèbre qu'après les autres. C'est Record, géomètre anglais, qui Ta imaginé, en 1557, dans son livre intitulé : La pierre à aiguiser V esprit (2). Christophe Rudolph, dès 1522, se servait de -h, —, |/~, et représentait les puissances des inconnues par les mêmes symboles que Stifel. C'est donc lui qu'on devra désormais citer nu sujet de ces importantes innovations. Adrianus Romanus s'est servi de lettres, non pas seulement comme désignation abrégée des quantités sur lesquelles il avait à raisonner, ainsi que tant d'autres avaient

{\) Sumwa de arithmetica^ etc.

(2) Wheistone of wii. .

116 LB CARTÉSIANISSIË.

fait avant lui, mais dans une pensée philosophique neuve et profonde, qui nous paraît être celle que Viète a réalisée ; savoir, de créer une science mathématique universelle, embrassant, sous la forme de symboles abstraits et généraux, les quantités de toutes natures, telles que les grandeurs de la géométrie et les nombres de l'algèbre. Pour donner une idée de cette science qu'il concevait, Romanus a énoncé, sur des lettres, les premières règles de Tarithméiiquet telles que la règle de trais. Il faut surtout remarquer dans ces prolégomènes l'application des signes + et — aux lettres; car ce fait porte essentiellement le caractère de l'abstraction algébrique» Romanus paraît avoir puisé l'idée de cette science mathématique universelle dans un passage de Bénéd. Pererius, auteur contemporain. Dans l'Arithmétique nouvellement composée par Etienne de la Roche, dit Villefranche, mise au jour en 1520/ et réimprimée en 1538, les puissances 2«, 3«^, 4% etc., d'un nombre, de 12, par exemple, sont ainsi représentées ; 12*, 12', 12*, etc. (1), et les racines : R* 12, R' 12, R* 12, etc.; R étant pour V^. L'au teur cite le Traité d'algèbre de Nicolas Chuquet, Parisien, autre ouvrage d'un auteur français, antérieur à 1520. Peut-être la notation exposant

(1) Folio 42 de l'édition de 1520.

vS V trouvait-elle déjà. 11 est à désirer, dans rinlérêt de Thistoire, que cet ouvrage ne soit pas entièrement perdu (1). »

Jusqu'alors les mathématiques se bornaient h la géométrie élémentaire, à quelques propriétéjs simples des sections coniques et de trois ou quatre autres courbes, la spirale, la conchoïde, la cissoïde, la quadratrice, aux équations des quatre premiers degrés; encore celles du troisième et du quatrième ne sont résolues qu'au milieu du même siècle, par Tartaglia^ Cardan et Ferrari. Avec Vie te commence la théorie générale des équations. Il enseigne à chasser les fractions, les radicaux, à augmenter, diminuer, multiplier, diviser les racines, à faire disparaître le second terme; il réussit quelquefois à les résoudre, et donne une méthode d'approximation; il entrevoit les rapports qui existent enire les racines et les coefficients; apet'çu qui est ensuite développé par Harriot.

Malgré cet essor, T algèbre n'a pu s'élever entièrement au-dessus de l'étendue matérielle, et rompre les liens qu'elle fut forcée de contracter avec elle en naissant. Descartes les brise et l'affranchit. « La notation que l'on employait, dit

(l) Extrait d'une note de M. Chasles, Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. XII, n" 18, 5 mai 1851, p. 751.

M. Biot, était encore grossière et affectée des rapports matériels par lesquels on liait l'algèbre à des idées de longueur, de superficie et de solidité. Or, l'algèbre est une langue qui a pour objet spécial et pour utilité principale d'exprimer purement les rapports abstraits des quantités. Il fallait donc, pour l'étendre, commencer par la dégager des considérations étrangères qui la limitaient: ce fut le premier service que lui rendit Descartes ; et la métaphysique de son esprit. . . lui fut singulièrement utile dans cette circonstance. Selon cette ancienne limitation de l'algèbre, les produits successifs d'une même quantité étaient représentés dans les trois premières dimensions de l'étendue par un carré et par un cube en perspective, quelquefois par la lettre initiale Q ou C mise en haut de la quantité, quelquefois enfin par la répétition même de la lettre au moyen de laquelle la quantité était désignée. A toutes ces nofations embarrassantes et qui retardaient la pensée, Descartes en substitua une claire, simple, générale et surtout calculable. 11 imagina de mettre un chiffre audessus de la quantité, et par les différentes valeurs de ce chiffre il désigna ses diverses puissances. Pour sentir toute l'importance de cette découverte, il ne faut que jeter les yeux sur les anciennes formules, et comparer leur embarras extrême avec la forme simple, et, pour ainsi dire, saisissabie,

LE CARTÉSIANISMK\ 119

que l'emploi des exposants leilr a donnée (1). » Oui, coiume le dit M. Biot, l'esprit métaphysique de Descartes lui fut singulièrement utile dans cette circonstance. Quoique ayant lui les exposants ne fussent pas tout à fait inconnus, on ne voit aucun analyste supérieur qui s'en soit servi, ni qu'ils aient été utiles à lavàncement de la science. Pour la simplicité et la facilité, le symbole ne laisse rien à désirer, et, appliqué dan;^ toute son extension, il est d'un usage si grand, qu'il entre dans presque tous les calculs. Bientôt Newton en fait la base d'une formule, le binons, qui contient en effet presque toutes les relations de la quantité. 11 parvient & cette formule en voulant interpoler une série, afin d'obtenir la quadrature du cercle. On peut voir, dans ses Opuscules (2j, la marche qu'il suit, retracée par lui-même.

Descartes reconnaît que tes racines négatives, qu'on rejetait antérieurement comme fausses, ne diifèreiit des racines positives qu'en ce qu'elles sont prises dans un sens contraire de celles-ci. Il donne une règle pour juger, par le seul aspect des signes, du tiombre des unes et des autres, dans une équation qui n'en a que de réelles. « Il peut y en avoir, dit-il, autant de vraies que les signes + et — s'y trouvent de fois changés, et autant de

(1) Biog. Univ., art. Descaries, t. XI, p. Ift7. '

(2) T. I, p, 328. Lellrc à Oldemburg.

120 hE CARTÈSIAMSAIB.

fausses qu'il s'y trouve deux signes + ou deux signes — qui s'enlre-sulvent. Comme en x^ — 4a?' — i9a?*+ 16a? — 120 = o, à cause qu'après •4-0?* il y a — 4a?', qui est un changement du signe + en — , et après — 19a?* il y a + 16a?, et après + 16a? il y a — 1 20, qui sont encore deux changements,, on connaît qu'il y a trois vraies racines et une fausse, à cause que les deux signes — de 4a?' et 19a?' s'entre-suivent(l). » Fermât prend le change et lui reproche d'avancer faussement qu'il y a autant de racines vraies ou positives que de variations de signes, et de racines négatives que de permanences. Descartes le nie avec force : «J'ai dit seulement, répondit-il, qu'il y en peut autant avoir, et j'ai montré expressément quand c'est qu'il n'y en a pas tant, à savoir, quand quelquesunes de ces vraies racines sont imaginaires (2). i^ En effety il suffît d'ouvrir les yeux pour s'en convaincre. La même objection est renouvelée par RoUe (3). Six ans après, il est vrai, dans son traité d'algèbre (4), il déclare, avec une bonne foi digne d'éloge, qu'il n'attaquait point Descartes, mais ceux qui croyaient sa règle générale, et que s'il avait connu, sa réponse à Fermât, il n'aurait pas

(3) Journal de» Savants^ 1684. p. 251.

(H) P. 270, an. IflOO.

' LE CAKTÉSIANISME. lât

manqué de la ci 1er pour autoriser les observalions que lui, Rolley avait faites dans le dessein de justifier Descaries. Cette objection est aussi reproduite par Wallis en 1685(1), et par d'autres qui peut-être n'ont pas vu la réponse de Descartes, quoiqu'elle fût publiée depuis 1667, et qui sont aussi distraiis que Fermât. Là même, Wallis gratifie Harriot de cette règle; mais plus loin (2) il la restitue à son véritable auteur. « Je reconnais que celte règle ne se trouve pas dans Harriot ; elle est bien de Descaries (3). » Cependant, pour se dédommager de cette justice, il ajoute : « Mais elle est fausse (4). D Quoiqu'elle ne soit générale que dans le cas où l'équation ne renferme que des racines réelles, elle sert souvent à découvrir les racines imaginaires. « Ainsi dans l'équation x^ -f px^ + 3p'^ — ç = 0, les signes indiquent une racine positive et- deux racines négatives. Supposez que a? = 2^5 ou 0? — 2p = 0, et multipliez la première équation par x — 2p==0, de cette manière, l'équation résultante devra contenir une racine positive de plus que la première, et il viendra a;* — pa?'-|-p*a?* — (6p'+g)a?+2pqr = o,équa-

(1) p. 171 de son Algèbre^ dans ses Œuvres complètes.

(«) P. 215. • (a) « Hanc regulam agnosco in Harriotto non habeii. Carfcsianuin hoc utique est. »

(ft) « Sed falsum est. »

lion qui devrait avoir seulement deux racines posiûves et deux négatives ; cependant, en considérant les variations des signes, on voit qu'elle a quatre racines positives.^ Ceci vient donc de deux racines imaginaires, qui, par leur ambiguïté, se montrent sous la forme de racines négatives dans la première équalion, et sous celle de positives dans la dernière (1). » Que l'équation manque d'un terme et qu'on le remplace par + 0 ; si l'on considère la succession des signes avec+t) et avec — 0, et que le nombre des variations et celui des permanences aient changé^ c'est une marque qu'il y a des ra-cines imaginaires. Mais il peut arriver qu'il reste le même, et que les racines ne soient pa^ toutes réelles. Pareillement, lorsqu'on multiplie l'équàlion par un binôme x — ça racine positive, comme dans l'exemple précédent de Newton, il peut se faire que les variations répondent au nombre supposé de racines positives, et qu'il s'y trouve des racines imaginaires. Dans les Éléments d'algèbre, on cite des cas inutiles à rappeler ici.

Telle qu'elle est néanmoins, cette règle a été, pendant deux siècles, ce qu'on ar eu de mieux. Les plus grands analystes, à commencer par Newton et finir par Lagrange, n'ont pu, malgré tous leurs efforts, faire un pas décisif après Descartes. L'équaiion aux carrés des différences, simple en théorie,

(1) Ariihm. univ. de Newlon^i. Il, p. 9, Irad. de Bcaudeux.

LE caktésianisme:. 123

engage, quand on veut remployer, dans des calculs fatigants et quelquefois presque interminables. Fourier atteint presque le but. En 1820, il publie (1) une règle, dont il était en possession depuis plusieurs années. S'il échoue, ses efforts aident M. Sturm à réussir dans un théorème qu'il donne en 1829. Ce théorème exige seulement une dérivée, qui s'oblient immédiatement, et une opération analogue à la recherche du plus grand conunun diviseur, entre la dérivée et l'équation. Toutefois, l'esprit a je ne sais quel pressentiment qu'il existe quelque voie encore plus simple. Celte découverte, en montrant qu'il n'y a dintrouvable que ce qui est impossible, loin d'^endormir, doit redoubler l'ardeur. L'emploi des dérivées remonte à Rolle, qui les appelle cascades (2).

Ce que Newton ajoute à Descaries pour résoudre les équations, consiste principalement dans un moyen abrégé de déterminer les limites des racines, de discerner les diviseurs comn;ensurables, et dans une méthode d'approximation qui porte son nom (3). Beaune, peut-être avant Descartes, aperçoit quelque trace des coefficients indéterminés; mais c'est Descartes qui, par Tii-

(1) Bulletin des Sciences pour l<i société philomatiqœ de Paris, \). 156 et 181, an. 1820.

(2) Traité d'algèbre, liv. II, p. 124.

(3) Arilhm. univ., I. II. — Opuscul , l. 1.

lâV LK CARTÉSIANISME.

sage particulier qu'il en fait (1), y révèle un procédé merveilleux pour transformer les- quanlilés. Jusqu'ici nous avons supposé, comme on fait ordinairenîenl, que Descartes emprunte à Viète et à Harriot leurs inventions , mais le contraire paraît certain. «J'ai commencé, écrit-il à iMersenne, où Viète avait achevé, ce que j'ai fait toutefois sans y penser ; car je l'ai plus feuilleté depuis votre dernière que je n'avais jamais fait auparavant, l'ayant trouvé ici par hasard entre les mains d'un de mes amis; et, entre nous, je ne trouve pas qu'il en ait tant su que je pensais, nonobstant qu'il fût fort habile (2)... Pour l'accusation dugéostaticien, que je ne donne rien des équations que Viète n'ait donné plus doctement, nego majorem; car, comme je crois vous avoir déjà remarqué quelque autre fois, je commence en cela où Viète avait fini. Et, pour ce qu'il dit que je ne suis^pas excusable de n'avoir pas vu Viète, il aurait raison si j'avais ignoré pour cela quelque chose qui fût dans Viète, ce que je ne crois pas qu'il m'enseigne par ce beau livret qu il a autrefois fait imprimer (3)... Je n'^ai aucune connaissance de ce géomètre dont vous m'écrivez, et je m'étonne de ce qu'il dit que nous avons étudié ensemble Viète a Paris; car c'est un livre

(1) OEuv., l. V, p. 36/i ci siiiv.

(2) T. Vï, p. 300.

(3) T. VII, p. 157

dont je ne me souviens pas avoir seulement vu la couverture pendant que j'ai ëlé en France (1). wSui* ce que disait Newton, qu'il connaissait la théorie des forces centrales avant que les théorèmes de Huyghens vissent le jour, quoiqu'il ne Teût publiée que quinze ans plus tard, nous avons cru devoir admettre qu'il ne lui a Hen pris. Descartes assure à {plusieurs reprises que pendant son séjour en France, c'est-à-dire avant 1629, par conséquent avant l'âge de trente-trois ans, il n'a point vu Viète. Il est manifeste par l'histoire de sa vie qu'alors il avait fait toutes ses découvertes dans les mathématiques ; il déclare même à Mersenne qu'il ne veut plus s'occuper de cette science. « Pour les problèmes, lui dit-il, je vous en enverrai un million pour proposer aux autres, si vous le désirez; mais je suis si las des mathématiques, et j'en fais maintenant si peu d'état, que je ne saurais plus prendre la peine de les résoudre moimême (2). » Pourrions-nous ne pas lui reconnaître d'avoir trouvé de son côté les mêmes choses que Viète, et aussi que Harriot, dont l'écrit, Ariis analylicœ Praxis y n'est publié qu'en 16317 Donc, sans diminuer le mérite de ces deux auteurs, il faut avouer que la théorie générale des équations, renfermée dans le troisième livre de sa géométrie,

(1) T. VIII, p. 99.

(2) T. VI, p. 103.

lâO Lfi CARTÉSIANISME.

lui apparlieiil lout entière. D'ailleurs ce sont vingt-cinq ou Irenle pages- si nettes, si simples, qu'elles semblent exclure plusieurs sources. D'un seul coup celte théorie est poussée si loin, qu'elle demeure longtemps sans recevoir d'autres perfectionnements que ceux de Newton. Et cependant elle n'est point la principale œuvre mathématique de Descartes.

Découvrir, au moins s'il s'agit de principes, ce qui constitue les grandes découvertes, c'est s'élever à des rapports plus génémux. La quantité peut être considérée comme discontinue, ou comme continue. Les portions de ligne droite ou de ligne courbe offrent des rapports de la quantité discontinue; la ligne droite, les lignes courbes entières, des rapports de la quantité continue. Il est évident que les premiers sont moins généraux que les derniers, puisque la ligne droite renferme toutes les portions possibles de lignes droites, les courbes toutes les portions possibles de courl>es, et que, parla, elles sont d'une nature supérieure à la nature de ces portions. Or, Dejgcartes conçoit de représenter les rapports de la quantité continue par des symboles. Soit la circonférence ABCD. Abaissons sur le diamètre AC les perpendiculaires mpy mp'y m p'\ nt" p y ni" p"\ m" p""\ etc. , les points m, m', m", m", m "", m"", etc., de la circonférence sont déterminés

LK CARTESIANISME.

parles longueurs des perpendiculaires correspondantes, et les longueui^s des perpendiculaires par

celles des lignes op, op\ op'\ op\ op"\ op""\ etc. qui diminuent à mesure que les perpendiculaires augmentent, et réciproquement. Rien n'empêche de considérer les opj op\ etc., comme une seule ligne qui varie, de même les mp, rnp\ etc. ; représenlons l'une par a?, l'autre par y^ symboles affectés aux quantités changeantes; omp^ om'p\ etc. , étant des triangles rectangles, et la ligne om la même dans tous, c'est-à-dire constante, désignons-la par R, il vient R*= a?' + y*, c'est l'expression de la circonférence; elle en renferme tous les points. Qu'on la résolve par rapport à y,

on Siy = ±y R* — ^P*. Si œ=0, y = + R,cequi donne tes points B et D ; + R pour B, — R pour D ; si â?=+ R, y =+ 0, ce qui donne les points Cet A ; + R pour C, — R pour A. Que x croisse

d'une manière continue depuis 0 jusqu'à + R, y décroissant d'une manière aussi continue depuis +.R jusqu'à 0, l'on aura les points intermédiaires. Lequalion du cercle peut avoir différentes formes, selon la situation des axes AC et BD, auxquels on la rapporte, mais elle est toujours du second degré entre deux variables ; il en est ainsi des équations de l'ellipse, de la parabole et de l'hyperljole ; et qu'on discute léquation générale du second degré à deux variables Ay' + Ba?'4- Cxy + Dy + Ea? + F = 0, on est conduit, selon la valeur et les signes des coefficients, à l'équation de l'une des quatre sections coniques. Dans l'équation du premier degré, Ay + Bo? + C = 0 est la ligne droite. Enfin toute équation à deux variables représente une ligne droite ou courbe. Les équations à trois variables représentent les surfaces. Quoique au delà d'un nombre très-limité de variables , on ne puisse, dans la quantité matérielle se rien figurer qui réponde aux équations, celles-ci n'en expriment pas moins la quantité continue intelligible.

Maintenant qu'il s'agisse de découvrir un rapport quelconque de celte quantité, soit dans- les lignes, les surfaces, les solides, soit dans les mouvements, soit où Ton voudra, on les écrit dans leurs symboles, et l'interprétation de ces symboles révèle le rapport demandé, ce qui permet à la pensée d'embrasser tous les rapports et égale sa puissance

LK CARTESIANlSiME. 129

à la nature même des choses. C'est pourquoi tf Alembert s'écrie: «Idée des plus vastes et des plus heureuses qu'ait eues l'esprit humain, et qui sera toujours la clef des plus profondes recherches, non-seulement dans la géométrie sublime, mais dans toutes les sciences physico-mathématiques (1). » a Cette découverte, dit Dutens, a été d'une si grande utilité aux sciences, que les deux plus grands géomètres de l'Europe, M. d'Alembert et M. de Lagrange, m'ont assuré que tout ce que Newton a fait depuis pour Tavancement des sciences ne peut être comparé à ce trait seul de Descartes (2). »

Sans doute avant Descartes on s'était occupé d'équations à plusieurs variables ou inconnues, c'est-à-dire, sous un autre nom, d'analyse indéterminée; mais personne n'y avait aperçu le symbole de la quantité continue. Il est vrai qu'on l'y aurait vainement cherché avant l'introduction récente des lettres, seules représentatives du contenu ; car les chiffres et les autres symboles^ quels qu'il soient, des nombres, ne représentent que le discontinu.

Fermât néanmoins l'y reconnaît en même temps que Descartes. Dans son introduction aux lieux

(1) Encï/cï., dise, prél., p. û2.

(2) Origine des de'couvertea atlrihuéefi aux modernes, U H, p. 170, û* édit. Paris, 1812.