THÉORIE DE L'INFINI

Dans récrit qu'on vient de lire, j'ai prouvé que la substance n'avait point encore été connue, quant aux principes qui la constituent ; je prouverai dans celui-ci qu'elle ne l'a pas été davantage, quant à sa manière d'exister, et qu'elle ne pouvait l'être, parce qu'on n'avait pas sondé la. nature de l'infini. Entendre comment les choses subsistent^ quand on sait par quoi elles sont formées, c'est avoir résolu les deux plus grands problèmes de la métaphysique. La substance étant composée de forces et de quantités inséparablement unies, son mode d'existence dépend à la fois de la nature propre de ces deux éléments et de l'influence mutuelle qu'ils exercent Fun sur l'autre dans leur intime combinaison. Les philosophes qui ont fait consister la substance dans la

seule force n'ont pu lui assigner d^autre manière d'être que r unité exclusive de toute pluralité, de tout nombre ; ceux qui l'ont fait consister simplement dans la quantité ont admis pour seul mode d'existence une plurar lité^ un nombre exclusif de toute unité. Les premiers n'offrent qu'une unité fausse, puisque l'unité ne saurait venir de la seule force ; les seconds n'offrent qu'un faux nombre, puisque le nombre, la pluralité réelle, ne saurait venir de la quantité dépourvue de force et livrée par là à une inévitable dissolution. C'est pourquoi les uns et les autres, quoique partis de points opposés, vont se perdre dans l'abîme commun du néant

Platon a combattu l'unité exclusive et le nombre exclusif. C'est l'objet du Parménide. Mais il n'a pas plus trouvé leur dépendance véritable et leur nécessaire coexistence, qu'il n'a trouvé celle de la force et de la quantité.

De même que pour lui la quantité et la force sont deux substances, le nombre et l'unité sont deux propriétés de choses différentes. L'unité appartient aux idées, source de la réalité ; le nombre, à la privation de la réalité, qu'il appelle matière. Il affirme le nombre contre Xénopbane, Parménide, Mélisse, Zenon ; mais à l'exemple de Pythagore, il le suppose inférieur à l'unité. Sans le nombre, rien, d'après lui, ne serait concevable, ni par conséquent n'existerait; cependant il le croit cause de l'imperfection des ébres créés. Cette opinion domine l'antiquité. Plotin voulant expliquer la Trinité proclamée par le christianisme, introduit l'imperfection

DE L*1NFINI. 639

en Dieu lui-môme. L'un, c'est ainsi quMI nomme la première personne, Yun seul est absolument parfait; rintelligeiice, ou le nombre qui vient immédiatement de Vun et iorme la seconde personne, ne Test pas ; l'âme, qui forme la troisième personne, étant le nombre qui ne vient de Vun que par Tintelligence, est moins parfaite que celle-ci.

Mais Plotin qualifie Tun d'infini (1 ),*'AnEiPON, et le premier il fait consister Tinfini dans T unité ou quelque chose de réel. Il est remarquable qu'Eutocius, qui vivait quelque temps après, passe pour Tavoir mis dans les mathématiques, en considérant la circonférence comme un polygone d'une infinité de côtés.

Depuis lors, en général, les philosophes ont vu Tinfini en Dieu considéré comme unité, et les mathématiciens dans le nombre, rapportant le nombre non à la matière privative des anciens, mais à la quantité effective, qui est l'objet des mathématiques.

Laquelle de ces deux notions de Tinfini adopteronsnous? Faut-il le placer dans Tunitéavec les philosophes? Mais alors qu'en peut-on dire, sinon qu'il est un? Gomment le concevoir? Par quoi le saisir? C'est l'unité creuse des Ëléates. Faut-il donc le demander au nombre avec les mathématiciens? Le nombre qui, par luimême, est une collection susceptible déplus ou de moins, peut-il aller avec l'infini, qui ne se conçoit que comme un tout invariable?

Jj Enn., iii^liv. 7» eb. i.

Dans la discussion sur Tinfini que Leibnitz eut avec Jean Bernoulli, celui-ci soutenait que la série i-[-i-f{, etc., a un dernier terme, qui est infiniment petit (1). En ce cas, il est certain que la collection de tous les termes, n*admettant ni plus ni moins, offrirait un tout constant. Mais qu'est-ce qu^un terme qui De saurait diminuer et qui n^est pas zéro? Uatome de Leucippe, une absurdité. Leibnitz rejetait un pareil terme. J*écarte leurs raisons pour et contre, parce qu'ils ne paraissent pas avoir saisi le vrai côté de la question. Fontenelle adopte Topinion de BemouUi, et en fait le fondement de sa Géométrie de Vinfinû Néanmoins celle de Leibnitz a prévalu. Le cardinal Gerdil, entre autres, Ta fortement défendue (2). Cest la véritable, quoiqu'elle laisse la série J4-y+t> etc., indéterminée, partant incompatible avec TinfinL Mais aussi cette série n'existe point seule ; elle n'est qu'un membre d'une égalité dont l'autre est un, c'est-à*dire que l'on a l=î' + i+ï, etc. Le second membre est égal au premier, non par la somme de ses termes, car l'addition en est impossible; mais par la loi de génàution qui les fait sortir l'un de l'autre : son essence est de pouvoir s'approcher indéfiniment du premier sans jamais l'atteindre. Supposez qu'il l'atteigne, ôtez-lui la possibî-

(1) Commerdum epist,, t. I, p. 390 et suiv.

(2) Eitai dune démmutration mathématique contre l'éternité de la mmtiirt, dans le Recueil de dissert, sur quelques principes de phiL et de religion. — De l'Infini absolu considéré dans la grandeur ^ dans les Mélanges de Turin, t. II, p. 344.

DE L1NF1N1. 641

lité d'en approcher sans fin, vous détruisez également cette série. L'unité du premier membre est le principe de l'ensemble indivisible des termes du second, et Tensemble indivisible des termes du second épuise complètement l'unité du premier. L'unité est tout entière dans l'ensemble, l'ensemble dans Tunité, sans que l'unité puisse se résoudre dans l'ensemble, ni l'ensemble dans l'unité. Us existent tels quels, et par leur coexistence nécessaire, ils forment la nature de cette égalité, et nous montrent, dans un cas particulier, celle de l'infini. D'où Ton voit que l'infini n'est ni unité seulement, comme le croient les métaphysiciens depuis Plotin, ni nombre seulement, comme le croient les mathématiciens depuis Ëutocius, ni encore moins , négation, comme l'imaginaient Pythagore et Platon ; mais qu'il est unité et nombre à la fois, de même que la substance est force et étendue ; et, si la substance est constituée par la dé^ pendance essentielle de retendue et de la force, elle a sa manière d'exister dans l'essentielle dépendance du nombre et de l'unité. La substance est, voilà son unité ; elle ne peut être sans être d'une certaine manière, c'està-dire déterminée, voilà son nombre ; sa détermination l'embrasse tout entière, répond à tout ce qu'elle est, voilà l'égaUté de son nombre et de son unité ; le tout pris ensemble, triple et indivisible, voilà en elle l'infini. Toute substance se compose de force et de quantité. Sa quantité étant divisible à l'infini, contient une infinité de parties ; chacune de ses parties étant à son tour divisible à rinfini, contient une infinité d'autres parties ; chacune

des parties de ses parties étant encore divi^le à l'infini, contient pareillement une infinité d'autres parties, et cela sans terme.

Si la force d'une substance n'est point divisible, elle a une infinité de degrés jouissant de propriétés différentes et correspondant à l'infinité de parties de la quantité ; chaque degré a une infinité d'autres degrés jouissant de propriétés différentes et correspondant à l'infinité de parties que contiçnt chaque partie de la quantité, ainsi de suite.

Ces infinités d'infimités de degrés et de parties de la force et de la quantité, indissolublement unies, forment des' infinités d'infinités d'ordres dans les substances; et ces infinités d'infinités d'ordres dans les substances sont ce que j'appelle leur manière d'être particulière, ieur détermination, leur nombre.

Dans chacune d'elles, il y a un infini principal qae Ton peut considérer comme leur unité, et il comprend

une infinité d'infinis inférieurs, par lesquels il est nombre, rapport, raison, il est intelligible dans tout ce qu'il est ; car c'est là ce que signifie être déterminé, avoir une manière propre d'être.

L'infini, si visible dans la nature des objets, se mani^ feste plus clairement encore, s'il est possible, dans celle des idées. En chacune il y a quelque chose de général ou d'un, et quelque chose de particulier ou de multiple à l'infini. Par exemple, l'idée du cercle est celle d'une courbe dont tous les points sont également éloignés d'un point intérieur qui en est le centre. Augmentez, diminue!

sans fin cette distance qu'on appelle rayon, vous aurez des infinités de cercles dont chacun jouira de la propriété d'avoir tous ses points à égale distance de son centre. Que cette propriété cessât de leur appartenir, ils ne seraient plus des cercles. Que ces cercles cessassent d'être en nombre infini, c'est-à-dire d'être possibles au delà d'un nombre limité, de mille par exemple, cette propriété serait anéantie. Ne s'étendant qu'à ces mille cercles, elle serait particulière et non plus générale, et, comme son essence est d'être générale, elle ne serait rien.

Puisque tout ce qui est intelligible Test par l'infini, que ce qui ne serait point intelligible ou déterminé ne serait rien, il en résulte que Tinfini est partout, et le fini nulle part ; en d'autres termes, que, contrairement à l'opinion des anciens, avant Plotin et Eutocius; c'est le fini qui est négatif, et l'infini qui est positif. Ne dites pas que je met§ un mot à la place d'un autre, qu'ils entendaient par fini ce que j'entends par infini ; car ils attachaient l'idée de borné à ce qui est quelque chose d'effectif, et Tidée de sans bornes à ce qui n'est rien. A

leurs yeux, un être avait plus ou moins de perfection, selon qu'il était moins ou plus illimité. Dieu, absolument parfait, n'avait aucune matière, et la matière absolument imparfaite n'avait aucune limite. Le reste flottait entre les deux extrêmes, participant inégalement de Tun et de l'autre. Ils ne s'apercevaient pas que dans le limité devait être le sans limites, et qu'avec leur fini, dans tous les sens, ils allaient se perdre dans l'unité de Parmé^

nîde ou dans Tatome de Leucippe. Cet étal de leur esprit se tiait à la notion qu'ils se faisaient du monde, où ils tie voyaient que comme un grand édifice, dont la terre alors connue, c'est-à-dire une partie de rEurope, de TAsie et de l'Afrique, était le sol, et le ciel tel qu'il parait naturellement aux yeux, les murs et la voûte. Ainsi obsédés de bornes, ils ne songeaient qu'au fini, qui les pressait de toutes parts.

C'était l'enfance de la philosophie. Naissantes comme elle, les mathématiques et l'astronomie ne lui ofiraîent aucun secouris. Les mathématiques n'avaient point encore révélé l'infini dans les idées de grandeur, ni l'astronomie dans les dimensions de l'univers. En vain, dans les derniers temps, Plotin le <^onçoit en Dieu et Eutocius dans la géométrie ; pour le voir réellement en usage, il faut sortir de l'antiquité. En se lançant au delà de l'Océan, sur des continents opposés aux nôtres, et montrant ainsi la terre ronde et suspeijdue dans l'espace, Colomb porte le premier coup au prestige des sens. Bientôt^ à l'œil armé du télescope et du microscope, rinfiniment grand et l'înfiniment petit s'annoncent dans là natm*e. Descartes ne lui impose aucune borne en grandeur. Kepler emploie l'infiniment petit à mesurer les solides (1).

A peine l'infini commence-t-il de jouer son rôle dans les mathématiques, qu'il s'y développe en divers ordres, montrant dans les lignes une infinité de points, dans les

(1) Stertometria doUorwn.

surfaces une infinité de lignes, dans les solides une infinité de surfaces. La Géométrie des Indivisibles de Cavalieri et Roberval présente Tinfim du premier ordre, r infini du second ordre, l'infini du troisième ordre. Le oalcul différentiel, inventé peu de temps après, n'est que le calcul des infinités d'ordres d^nfini et de toutes leurs combinaisons possibles! Fontenelle, qui, comme nous Pavons remarqué, se trompe sur la nature de l'infini, en expose fort bien les différents ordres.

Malebranche les porte dans la philosophie : • Tu dois savoir, c'est le Verbe éternel qui parle au disciple dans les Méditations chrétiennes (i) ^ tu dois savoir qu'il y a les mômes rapports entre les infinis qu'entre les finis, et que tous les infinis ne sont pas égaux. Il y a des infinis doubles, triples, centuples, les uns des autres... Lorsque Dieu conçoit une infinité de dizaines et une infinité d'unités, il conçoit un infini dix fois plus grand qu'un autre. Dieu conçoit, sans doute, que deux corps se peuvent mouvoir durant toute l'éternité. Il sait h présent tontes les lignes que décriront les corps qu'il a créés, et que tu peux penser devoir être en mouvement des siècles infinis. Si tu supposes donc qu'un de ces corps se meuve une, deux ou trois fois plus vite que quelque autre, la ligne de son mouvement sera une, deux, trois fois plus grande que celle que cet autre corps décrira. Ainsi tu vois clairement que les infinis peuvent avoir entre eux des rapports finis. Ils peuvent même avoir entre eux des

(1) IV, art. il.

rapports infinis, car Tesprit se représente des infinis infiniment plus grands les uns que les autres, comme si un corps se remuait en augmentant son mouvement selon quelque progression durant toute Tétemité, et que l'on comparât ce mouvement avec un autre qui serait uniforme. . . Ne sois donc pas surpris de ce que d'un côté je dis que Dieu aime inégalement les perfections inégales que je renfierme, et que de l'autre je t'assure que mes diverses perfections et les diCTérents degrés d'amour selon lesquels Dieu les aime sont effectivement infinis. >

Malebranche dans d'autres passages (1), Pascal, Leibnitz et Jean Bernoulli aiment à peindre dans les choses les infinis enveloppant sans terme des infinis. L'homme moderne a de tous côtés l'infini en face, comme l'homme ancien le fini, et s'il croit encore an fini, c'est qu'il le confond avec l'infini particulier, c'est-àdire l'infini qui n'est pas infini en tous les- sens. Une ligne d'un pied enfermant des infinités d'infinis, puisqu'elle est divisible en des infinités d'infinités de parties, est par là infinie, quoiqu'elle ne le soit pas en longueur. L'esprit humain, dont chaque idée, chaque sentiment, comprend aussi des infinités d'infinis, est infini de cette manière et ne l'est pas d'une autre, vu qu'il est à rinfini de l'infini au-dessous de l'esprit incréé. Voilà ce qu'on appelle et ce qu'on peut en effet appeler fini. Mais c'est l'infini qui n'est pas infini en tout point. Découvrez

(1) Recherche de la vérité, Hv. I, ch. vi.

^^^^'^^^tmmimmmmm^ammmm^mmmmammmt^mmmmimm^mm^

DE L'ÎNPINI. 647

quelque chose qui ne soit infini en aucun point, ce serait là le fini dans la rigueur du mot. Le chercherez-vous dans les choses examinées en elles-mêmes? vous n'y trouvez que la force et la quantité, et partant que l'infini, comme nous l'avons déjà fait voir. Le chercherez-vous dans les idées qui représentent les choses à l'esprit ? vous n'y trouverez que des idées de perfection et des idées de grandeur, dès lors encore que l'infini, comme on Va, aussi déjà vu. L'infini est donc la manière d'exiater de tout^ substances et idées. Que serait le fini absolument fini que vous demandez 7 Les idées sans rien qui représente la perfection et la grandeur, la force sans degrés, la quantité sans [divisibilité, un je ne sais quoi sans propriété, sans fondement en soi-même et sans raison dans la pensée. Tel est, je le répète, l'unité de Parménide, l'atome de Leucippe ; tel est le dernier terme dans la série descendante 7 + 7 + !+ etc., et dans la série ascendante 14-2 + 11+8-1- etc. , terme qui dans l'une ne serait ni zéro ni non zéro, et dans l'autre ni infini ni non infini. Que dansf-t-i + j-j- etc., il soit zéro, il ne sera pas un terme effectif ; qu'il ne soit point zéro, il ne sera point le plus petit possible, ou le dernier, Car tout ce qui difière de zéro est susceptible de diminuer encore. Que dans 1-f- 2 + 4 + 8 -f- etc., il soit infini, il sera unique, les autres disparaissant devant lui, et il n'y a plus de série ; qu'il ne soit pas infini, il ne sera pas le dernier, puisque la série s'étend à l'infini. • Vomnia, dit Leibnitz à l'occasion de ces deux séries, Yomnia pris comme numerus maximuSj est une chose

contradictoire comme numerus minimus ; les deux extrémités nihil et omnia sont hors des nombres, ex^remttales exclusœ non inclusœ (1) . »

Par les explications qui précèdent, nous entendons sans doute clairement que le nombre de Tinfini détermine son unité ; et il est évident de soi que son unité est la source de son nombre ; que le nombre, embraissant tout ce qui est dans l'unité, lui est égal, quoiqu'il ait un autre genre d'existence qu'elle.

Plotin, qui fait l'intelligence inégale à l'un, suppose que dans l'un ou la puissance il y a quelque chose qui n'est point déterminé, ce qui est absurde. Encore une fois, rien ne peut être sans être d'une certaine façon, sans avoir quelque propriété effective; l'absence de toute propriété, de toute façon d'être, c'est le néant. Que dire de cette âme qui doit unir Pintelligence et la puissance, être leur parfaite égalité, e( qui g!t inférieure h l'une et à l'autre? Plotin altère donc dans ses trois parties essentielles la substance pensante, et en particu* lier la substance .divine, dont, au reste, il a le mérite d'avoir tenté le premier d'expliquer à fond la triple existence. Sur ses traces, mais soutenu par renseignement chrétien, saint Augustin donne l'explication véritable. Si Plotin se trompe, que dirons-nous de l'erreur grossière d'Heraclite, des stoïciens, de Bruno, de Spinosa, de Schelling, qui posent à Dieu pour nombre Tunivers? D'où il suit que l'univers, que tout ce que nous voyons,

fi) op., t. l\\, p. 501. Lettre h Dangicoort

tout ce que nous touchons, est son intelligence, c'est-àdire qu'il n*en a point, et qu'en lui la puissance agit aveuglément. Le plus conséquent ou le plus franc d'entre eux, Spirtosa, s'empresse de le proclamer, en disant € que rintelligence et la volonté ne sont, par rapport à Dieu, que comme le mouvement et le repos, et, en général, toutes les choses physiques (1). » D'où il suit encore que, quoique le monde sdt seulement établi le nombre de la substance divine, la substance divine n'est pas plus grande que le monde, car son unité, qu'on Bemble placer hors du monde ^ est avec son nombre dans le monde même, puisque chaque substance est tout entière dans son nombre, comme elle est tout entière dans son unité, et que là où est son unité, là est son nombre, c'est-à-dire elle-même.

Sans tomber dang la même erreur, Platon semble croire que le plan ou idée de l'univers remplit entièrement la pensée de Dieu (2). Dans son ignorance de l'infini, il devait naturellement penser qu'il n'y a guère rien de possible au delà des créatives existantes. Mais que l'infini paraisse, l'entendement divin s'agrandira, Malebranche et Lerbnitz y verront les idées d'une infinité de mondes infiniment plus amples. Cependant, du milieu de ces infinis, ils ne s'élèvent point à l'infini absolu,' devant lequel s'4vanouissent tous les autres. Ils prétendent que parmi ces mondes possibles il y en a un qui est le meilleur, et que pour cela Dieu a été obligé de

(1) Eth.yp, 1, prop. 32, cor. 2.

(2) Œuv., U XII, p. 120 et 121.

le choisir ; par conséquent, il n^en pouTait créer on plus parfait que le monde existant, comme ils Tavonent euxmâmes sans peine. Ils accordent néanmoins que le degré de perfection que celui-ci possède n*est point Tinfini absolu, qui n'appartient qu'à Dieu; que c'est seul^nest un infini relatif, c'est-à-dire un ^stème d'infinités d'infinis, qui sont finis en quelque sens. Ils ne songent pas que tout ce qui est fini en quelque manière implique toujours des infinités d'infinis au-dessus de soi, et qu'ainsi l'œuvre de Dieu est à l'infini de l'infini au-dessous de ce qu'elle pourrait être. Malebranche donc et Leibnitz, en soiitenapt que Dieu ne pouvait la faire supérieure, limitent arbitrairement le pouvoir de Dieu, et méconnaissent l'infini en tous sens, qui respire en lui. Aussi renversent^ilsla nature de l'infini, qui, dans cette suite infinie de mondes possibles successivement plus parfaits les uns que les autres, reçusse un dernier monde contenant l'extrême perfection. Leibnitz n'a su tirer aucun parti des paroles déjà citées : « Vomnia^ pris comme numerus tnaxitnusj est une ohose contradictoire comme nwnerus minimus; les deux extrémités nihU et omnia sont hors des nombres, extremitates ecocluscB non incltisœ. » Oui, V omnia pris comme numerus maanmus^ c'est-à-dire dans la question qui nous occupe, pris comme le monde le plus parfait, est une chose contradictoire. D'un côté, il faut qs'il soit infini, paisqu'il est le dernier terme d'une suite ascendante qui va à l'infini. De l'autre, il faut qu'il ne soit point infini, puisque, s'il Tétait, les autres mondes qui sont finis s'annuleraient à côté de lui, il n'y

aurait plus de série, et il serait seul représenté dans l'entendement divin, ce qui est contre Thypothèse et contre la vérité. Pour me conformer au langage ordinaire, j'appelle ici finis des mondes qui ne sont pas infinis dans tous les sens ; et celui que j'appelle infini n'est point l'infini absolv, mais seulement infini dans plus de sens que les autres.

On le voit, cette infinité de mondes que Malebranche et Leibnitz mettent avec raison dans l'entendement divin se réduit à un seul, par leur faux principe de Toptimismç, et faisant rétrograder la notion de l'infini jusquTi Platon, pour eux comme pour lui, la pensée du Créateur n'est pas plus étendue que l'idée du monde créé. Cette conséquence qu'ils n'aperçoivent pas, et devant laquelle ils eussent probablement reculé, est tirée par Charles Bonnet, disciple de Leibnitz : « L'Entendement divin, dit-il, n'a point vu différents univers aspirer l'existence. La Sagesse n'a point choisi entre ces Univers le meilleur.

Un seul Univerg était possible : c'était celui dont Dieu a dit qu^il était Ion. Il était bon, parce qu'il répondait aux Perfections de la Cause. Il était le Flan de la Sagesse, l'Objet de la Puissance qui n'a point d'autres bornes que la Nature des Choses (1). L'Intelugence sans bornes a vu le Bien absolu et l'a fait. Il était Sa pensée, et cette Pensée était cette Intelligence (2) . »

L'auteur soutient aussi que la création est nécessaire : a DIEU a créé, parce qu'iL était DIEU. Ses Per-

(1) Essai de psychologie ^ p. 252.

(2) Ihid,, p. 166.

FECT10N6 voulaient des Êtres qui goûtassent l'existence. DIEU a créé ces Êtres. En les créant, il a satisfait à SOI (l). » Si Dieu a créé parce qu'il était Dieu et que ses perfections voulaient des êtres qui goûtassent Texistence, il s^ensuît qu'il ne pouvait pas plus s*empêcher de créer que d'être Dieu, et d'avoir les perfections de sa nature. Cest aussi ce qui découle du principe que Dieu a dû choisir le meilleur monde ; car s'il est obligé de se déterminer pour ce qui a le plus de prix, il ne saurait se refuser à cféer, puisque l'existence d'ua seul être, quelque chétif qu'il soit, vaut mieux que le néant, et par la même raison il se trouve forcé à le créer dès l'éternité, c Ici, dit le même auteur, le possible n'est pas ce qui Test en soi , mais le possible est ici ce qui Test relativement à la Cause qui peut V actualiser. Dans ce sens, un seul Univers ét&it possible ] c'était celui qui était en rapport avec les attributs de k Cause pris collectivement Et entre deux Univers parfaitement égaux en bonté, comment eût-ELLE choisi? Elle se connaît ELLE^ême, et dans l'Idée qu'ELLE a d'ELLE-même était celle de l'Univers açtiielj expression de sa Puissance et de sa Sagesse. Cette idée, infiniment complexe, renfermait de toide étiernité, dans sa composition, toutes les modifications possibles de la Matière et des Esprits (2). »

L'obligation de choisir le meilleur semble néanpioîns tellement inséparable de la sagesse souveraine, que le contraire a l'air d'un blasphème, et que pour prendre

(1) Eisai de psychologie^ p. 251.

(2) Es$aianalyt, sur les facultés de rame, art. 459.

DP LINFINI. 653

sur soi de la révoquer en doute il ne faut rien moius que la vue certaine des erreurs funestes où elle conduit. Mais tout solide qu'est cet argument indirect contre l'optimisme, il satisfait peir l'esprit, qui cependant n'en possède guère d'autres dans plusieurs questions essentielles où les raisons directes échappent, soit à sa faiblesse originelle, soit aux progrès qu'il a faits jusqu'à présent.

Ici l'esprit humain est plus heureux. La connaissance de l'infini lui montre clairement que l'idée de ce plus parfait monde n'existant points elle ne peut être l'objet de rintelligence de Dieu, ni nécessiter le choix de sa sagesse. Cela proijve combien il est important d'envisager un sujet sous toutes ses faces^ d'aller au fond des choses et de ne jamais se contenter d'un premier coup d'œil> quelque vaste et perçant qu'il soit.

Rarement une grande erreur traverse son siècle, sans voir s'élever contre elle la vérité qu'elle nie et qui doit l'abattre : « Représentons-nous, disent Bossuet et Fénelon dans leur réfutation de ]\lalebranche, représïentons-nous, selon la belle image de saint Augustin (1), tout l'ouvrage de Dieu comme étant dans une espèce de milieu entre l'Être suprême et le néant, qui sont comme ses deux extrémités* De quelque côté que la créature se tourne, elle aperçoit un espace infini : l'être borné, en tant que borné, est infiniment distant de Têtre infini; en tant qu'être^ quoi-

(1) Contra epist, Mankhœorum quant vocant fundamerUum, cap. xxxiu, n. 36 et seq.

6Bi THÉORIE •

que borné, il est inÛDÎment distant du néant ; la distance

infinie qui est entre la créature et le néant est en elle la

marque de la perfection infinie de celui qui la fait passer

du néantà l'être. Par là.toutdegréd'être est bon et digne

de Dieu: par là, le moindre degré d'être porte en lui le

caractère de la perfection infinie du Créateur. 11 faut

donc se représenter, et en cda l'imagination, bien loin

de dernier l'esprit, ne fait que le soulager, pour rendre

ses opérations plus parfaites, il faut donc se représenter

Hions que Dieu peut donner à. son

une suite de degrés d'une hauteur et

ir sans bornes. Ces degréa d'un côté

l'autre descendent toujours à l'iDfini.

is degrés ; mais comme ils sont infinis,

A de déterminé, au-dessus duquel il n'en

voieencore d'autres qui sont possibles; il n'en voit même

ai)cun de déterminé qui ne soit fmi et qui par conséquent

n'en ait encore d'infinis au-dessous de lui (i). ■

Bossuet et Fénelon concluent de \k que « bien loin que Dieu ne puisse produire que le plus parfait, il ne ' peut jamais produire le plus parfait, puisqu'il peut toujours ajouter de nouveaux degrés de perfection à toute perfection déterminée (2) ; que le plus haut d^ré de perfection, comme le plus bas, étant infiniment éloignés de lui, ils lui sont également inférieurs ; qu'il voit les choses les plus inégales égalées en quelque façon, c'està-dire également rien, en les comparant & sa hauteur

(1) (Euv. de Fénelon, t. (il, p. hi, Mt. àt VenaiQM.

souveraine (1); que dans cette supériorité infinie qui lui rend toutes les choses possibles également indifférentes, Dieu trouve la parfaite liberté de créer ou de ne pas créer le monde, de le créer plus tôt ou plus tard, de lui donner tel ou tel degré de perfection (2). Sans doute, disent-ilâ, que dans ce choix pleinement libre, où Dieu rfa d'autres raisons de se déterminer que son bon plaisir, sa parfaite sagesse ne Tabandonne jamais. Pour être souverainement indépendant de Tinégalité des objets finis entre eux, il n'en est pas moins sage ; il voit cette inégalité de tous les objets entre eux ; il voit leur égalité par rapport à. sa perfection infinie ; il voit leur éloigne^ ment infini du néant ; il voit tous les rapports que cbacun d'eux peut avoir à sa gloire, et toutes les raisons de le produire ; il voit une raison générale et supérieure à toutes les autres, qui est celle de son indépendance et de l'imperfection de toute créature par rapport à lui; il y trouve son souverain domaine et sa pleine liberté : il Texerce pour faire le bien, à telle mesure qull lui plaît*

N'y a-t-il pas dans toutes les vues de Dieu, qui agit librement, une science et une sagesse infinies (3) ? >

Aussi bien que Leibnitz, Bossuet et Fénelon ont donc compris cette propriété de l'infini considéré en tant que nombre, qu'il n'a point de dernier terme ; de plus, ils l'ont employée à résoudre la plus importante question, et se sont élevés à l'infini absolu, degré suprême des con-

(1) Œuvres de Féndan, t. m, p. 60.

(2) /Wd., p. 57, 58.

(8) /Md., p. 60.

656 TBÉORIE

ceptions de Tbomme et de la grandeur de Dieu. Hais ils n'ont point aperçu les infinis relatifs sur lesquels il domine, et qui, en s'anéantissant devant lui, semblent Tétaler dans sa majesté souveraine. On dirait que la pensée n'est pas encore capable de les embrasser à la fois. Si elle s'empare des infinis relatifs, ils la remplissent tout entière, et Tinfini absolu lui échappe ; si elle attdnt l'infini absolu, il lui dérobe les infinis relatifs.

L'infini qui ne fait que paraître dans les mathématiques et dans les sciences physiques l'étourdit, il faut qu'elle se familiarise avec lui, qu'elle s'assure de sa réalité. Or, cette réalité est encore disputée dans les mathématiques, où l'infini ne semble qu'un artifice de calcul, et bientôt elle y est niée, ainsi que dans la philosophie. D'AIembert (1), Locke et Condillac, reculant jusqu'à la première antiquité, ne voient dans l'infini qu'une négation. Lagrahge tente d'en bannir même le nom, et d'établir le calcul différentiel sans lui. M. de Bonald applaudit (2).

On ne reconnaît pas non plus dans les parties de la cféatioh le genre d'infini qui s'y trouve. Jusqu'à la découverte de l'aberration par Bradley, en 1728, les astronomes croient que les étoiles donnent sensiblement une parallaxe annuelle, et par suite une distance aisément assignable. Mais après cette découverte, leurs

(1) Eneyclûp., art. Infini. *

(â) Législation fnimitive, t. II, p. 185. 3« édit. : c €*est avec raison, dit-â, qQ*on bannit aiyoïird^hui de la géométrie le terme d%/M. • — Dans ses Recher* ches philosophiques y U II, p. 159, 3' édit. : c On ne peut s*empécber de remar* quer qu'on avait, il y a quelques années, banni Texpression à* infini de rensàgnemeot géométrique et qa'on a été obligé d*y revenir. »

longues tentatives, pour en saisir quelqu'une, etleur impuissance absolue, agrandissant pour eux sans fin les intervalles qui séparant les astres, leur ouvrent partout les abîmes de l'infini dans l'univers. « On devrait s'attendre assez naturellement, dit M. Herschel, à ce qu'une base aussi vaste que le diamètre de l'orbe terrestre pût être avantageusement employée pour la triangulation des étoiles ; à ce que le déplacement de la terre, d'un point de son orbite au point opposé^ produisît une parallaxe annuelle des étoiles, susceptible d'être mesurée, et de conduire par le calcul à la connaissance de leurs distances. Mais quelque raffinement qu'on ait apporté aux observations, les astronomes n'ont pu arriver par cette voie à des conclusions positives et concordantes ; de façon qu'il semble démontré que celte parallaxe, même pour les étoiles fixes les plus proches parmi celles qu'on a examinées avec le soin convenable, se trouve mêlée avec les erreurs fortuites inhérentes aux observations, et masquée par elles. Or, le degré de perfection auquel celles-ci ont été portées ne permet pas de douter que si la parallaxe en question était seulement d'une seconde (ou si le rayon de l'orbe terrestre, vu de la plus proche étoile fixe, soutendait cet angle si petit) , elle n'aurait pas manqué d'être universellement reconnue. •. Étant moins qu'une seconde, la distance de la plus proche des étoiles est donc plus grande que six trillions sept cent vingt billions de lieues, 6,720,000,000,000. De combien est-elle plus grande? C'est ce que nous ignorons (1). »

(1) Traité (Viulronomie, art. 588 ; Uad. de M. Cournot.

Parlant des amas d'étoiles, il dit que c plusieurs (k ces amas doivent contenir au moins dix ou vingt mille étoiles, pressées dans un espace circulaire, dont Taire n^est que la dixième partie de celle que le disque de la lune recouvre sur le firmament. Peut-être, ajoute-t41, on nous reprochera d'être épris du gigantesque, si nous songeons à considérer les individus associés dans ces groupes comme des soleils du genre du nôtre, et leurs distances mutuelles comme étant de l'ordre de celles qui séparent notre soleil des plus proches étoiles fixes. Cependant, si Ton réfléchit que la lumière confondue de toutes les étoiles qui composent le groupe affecte Tœil moins vivement que celle d'une étoile de cinquième ou sixième grandeur, car les plus étendus de ces amas sont à peine visibles à Tœil nu, l'idée qu'on se fera de leur distance permettra à l'imagination de se familiariser même avec des dimensions aussi énormes (1). t Et plus loin, à l'occasion des nébuleuses : c Sous quelque point de vue qu'on les envisage, elles offrent un champ inépuisable de spéculations et de conjectures. On ne saurait douter qu^elles ne soient, pour la plupart, formées par une agglomération d'étoiles, et l'imagination se perd dans cette série interminable qu'elle entrevoit de systèmes qui se groo* peut pour former d'autres systèmes, de firmaments qui composent d'autres firmaments (2), • Voilà l'infini physique en grandeur et ses divers ordres. L'infini physique en petitesse et ses ordres divers, que fait deviner le mi-

(1) Art. Mi et 615.

(1) Art. «25.

i«HV^Hn«

croscope, ne sont pas moins certains. L'un et I*autre consistent dans une telle distance des choses, qu'elles n^ont rien de commun que de faire partie d'un système qui les embrasse toutes, et de ne s'influencer que par rapport à ce système. L'animalcule imperceptible qui vit en nous dans une goutte de sang ou de lymphe n'est pas moins éloigné de notre corps, que le globe qui nous porte de l'étoile qui se meut avec le soleil autour du même centre de gravité.

Enfin, cependant, M. Bessel vient, assure M. Arago, d'obtenir la parallaxe de la soixante et unième étoile du Cygne : t Elle est un tiers de seconde ou plus exactement (y^31. La parallaxe 0",3! correspond à une distance delà Terre, qui surpasse six cent mille fois Tintervallede la Terre au Soleil, à une distance que la lumière ne franchirait, avec 9a vitesse de soixante-dix-sept mille lieues par seconde, qu'en dix ans (1). • Il résulte alors d'un calcul fait par M. Herschel (2), que la lumière d'une étoile de seizième grandeur doit mettre plus de trois mille ans pour arriver jusqu'à nous. Or cette étoile est-elle donc postée sur les limites de l'univers, qui n'a point de limites poui- l'imagination ? Ainsi il est des étoiles dont la lumière ne parviendra jamais à la terre ! Que dis-je ? Il en est dont la lumière ne saurait y parvenir ! Mais je ne m'arrêterai point à ces supputations prodigieuses ; Ufaut poursuivre mon sujet.

(1) Analyie Mit. et crUique de la vU et des travaux de iir WUUam ffenehel; Annuaire du Bureau des longitudes, p. 385, an 184 > (3) Traité d'astr., art. 500.

Par Pimpossibilité de se passer de Tinfini dans les mathématiques^ il y rentre triomphant II est vrai que c'est avec Terreur de Leibnitz, qui, peu d'accord avec Ini-mêmef tout en rejetant Texistence d'un dernier terme ou de rinfiniment petit dans la série l+j+i-h, etc., admettait les infiniment petits dans les différentielles. Suivant Poisson, Pun des promoteurs de ce retour, c on est conduit à Tidée des infiniment petits, lorsqu'on considère les variations successives d'une grandeur soumise à la loi de continuité. Ainsi le temps crott par des degrés moindres qu'aucun intervalle qu'on puisse assigner, quelque petit qu'il soit. Les espaces parcourus par les différents points d'un corps croissent aussi par des infiniment petits ; car chaque point ne peut aller d'un point à un autre, sans traverser toutes les postions intermédiaires ; et Ton ne saurait assigner aucune distance, aussi petite que l'on voudra, entre deux positions successives. Les infiniment petits ont donc une existence réelle, et ne sont pas seulement un moyen d'investigation imaginé par les géomètres (1). »

11 nous semble que c'est le contraire qu'il faudrait conclure. Si d'un point à un autre on ne peut assigner aucune distance, aussi petite qu'elle soit, il est clair que ces deux points se touchent ou qu'ils ne sont séparés par aucune distance, ni dès lors par aucun infiniment petit. Le corps se meut d'une manière continue, sans intervalle de lieu et de temps.

Divisez l'espace parcouru et la durée du mouvement,

(1) Trailéde méemuque, i 1, p. U; 2* édit.

DE L*1NF1NU «6

VOUS aurez des distances d'une position et d'un instant, à la position et à Tinstant suivant ; mais ces distances, tant qu'elles existeront, ne seront pas plus petites que toute grandeur donnée, ni par conséquent des infiniment petits ; et si vous cessez de partager l'espace et la durée, tout rentrant dans le continu de l'étendue et du temps, ces distances s'évanouiront et il ne restera rien qui prête réalité aux prétendus infiniment petits.

Bernoulli argumentait du même cas : « Un corps dont le mouvement décrit une ligne existe sans doute par le fait en chacun des points que je puis concevoir dans cette ligne ; donc il existe, aussi en deux points que je conçois comme infiniment rapprochés, et par conséquent il a réellement parcouru l'intervalle qui les sépare, c'està-dire une particule infiniment exiguë (1). n D'après ce que je viens d'expliquer, cette particule infinimerU ean- ^tié' n'est qu'un mot.

Dans son Traité élémentaire de la théorie des fonctiom et du calcul infinitésimal^ où l'on remarque le commencement de l'alliance des mathématiques et d'une philosophie qui sort des sensations, M. Cournots'effî>rce aussi d'établir les infiniment petits : « Quand un corps, dit-il, en se refroidissant, émet sans cesse de la chaleur thermométrique, la perte de température qu'il éprouve dans un intervalle de temps quelconque, si petit qu'on le suppose, est un effet composé, résultant, comme de sa

(1) « Cocpos qoodiDOlu suo describii Itneam, existit utique actu singulis piinciis que in illa linea concipere possum ; ergo etiam in duobus que ego concipio inflnitc sibi vicioia; adeoque actu intervallum illud, seu parliculam infinité exiguam emensum est. » Conunercium epiit , 1. 1, p. 391.

cause, de la loi suivant laquelle le corps émet sans cesse, en chaque instant infiniment petit, une quantité infiniment petite de chaleur thermométrique. Le rapport entre les variations élémentaires de la chaleur et du temps est la raison du rapport qui s'établit entre les variations de ces mêmes grandeurs, quand elles ont acquis des valeurs finies, le terme raison étant pris ici dans son acception philosophique.

« De même les espaces décrits par un corps qui tombe librement, en cédant à l'action de la pesanteur, varient proportionnellement aux carrés des temps écoulés depuis le commencement de la chute, parce que Taccroissemenl infiniment petit de Tespace parcouru est proportionnel à la vitesse acquise, qui elle-même, par un résultat évident de l'action continuelle et constante de la pesanteur, est proportionnelle au temps écoulé depuis que le corps est en mouvement. De cette relation si simple entre les éléments du temps écoulé et de l'espace décrit, dérive, comme de sa cause, la loi moins simple qui lie entre elles les variations finies de ces deux grandeurs.

c Sous ce point de vue, on a pu dire avec fondement que les infiniment petits eœistent dans la nature (i). •

C'est une illusion du même genre que celle de Bernoulli et de Poisson. Dans les deux exemples que Fauteur propose, on voit bien que les rapports élémentaires ou difiérentiels du refroidissement et du temps, et ceux de l'espace et du temps) conduisent à leurs n^[>ports

D£ LiNFINI. 663

ordinaires ou algébriques, et déterminent la perte de température et la loi du mouvement accéléré. Mais de ce que les rapports différentiels s'appellent aussi rapports dMnfmiment petits, s'ensuit-il que les infiniment petits existent? La question précisément n'est-elle pas de savoir ce que sont les différentielles, quelque nom qu'on leur donne ?

Il est faux de dire avec Poisson que • la différentielle dœ d'une variable indépendante est l'accroissement infiniment petit qu'on attribue à cette variable, et que la différentielle dy d'une fonction y de a; est l'accroissement correspondant de cette fonction (1). »

La quantité croît ou décroît d'une manière continue. Tout à Theure j'ai montré que dans la ligne qu'un corps parcourt il n'existe aucune position intermédiaire ou distance d'un point à l'autre. Par la pensée, sans doute, on peut rompre cette ligne en tant de parties qu'on voudra; mais à moins c^u^on ne les suppose écartées les unes des autres, ces parties ne laisseront point d'intervalle. Dans le mouvement uniforme, la vitesse est l'espace divisé par le temps ; pour qu'elle le soit encore dans le mouvement varié ou qui changé d'un point à un autre, on resserre l'espace et le temps en un point, on les fait nuls. Alors on dit que la vitesse est la diffé' rentielle de l'espace, divisée par la différentielle du

de temps, ou -j- . De même une ligne qui coupe une

di courbe en deux points devient tangente, si l'un des

(1) Traité de mécanique, t. I, p. 16; S* édit.

points va se confondre avec Tautre ; mais dans ce cas, les accroissements respectifs de l'abscisse et ceux de Tordonnée par lesquels le premier point était déterminé s'anéantissent, et leur rapport qui fixe la tangente est le rapport de la différentielle de Tordomiée

et de la différentielle de Tabscisse^ c'est-à-dire -^ •

dx

Ainsi les différentielles de^ dt, dy, dx^ sont substituées à des zéros, et non pas à des quantités infiniment petites. Mais quoi ! ces symboles, qui jouissent de si merveilleuses propriétés, ne représentent-ils les quantités en aucune manière? Sont-ils de purs riens? Newton, Euler, l'ont enseigné, et il semble que ce soit une nécessité, que la rigueur du calcul l'exige. Cependant l'imagination nous abuse. Si ces symboles remplacent des zéros, ils ne répondent point à des choses nulles ; ils expriment l'unité de l'infini. Le rapport d'une fonction et de sa variable reste le même, tandis que la fonction change, par aiite des changements de la variable. Ce rapport fait son unité, et les changements sans fin dont la fonction et la variable sont susceptibles font son nombre, l'une et l'autre son infini. La différencier, c'est prendre la partie de son infini qui est unité, et laisser la partie qui est nombre; c'est dégager la première, en excluant ou annulant la seconde, sous laquelle elle est cachée. Intégrer cette différentielle, c'est restituer à la fonction son nombre. Lorsque dans une substance nous faisons abstraction du particulier ou du nombre, pour ne considérer que le général ou l'unité, nous agisscHis comme

DE L'INFINI. 6ft5

dans la différentiation ; et lorsque nous revenons à considérer aussi le particulier, nous agissons comme dans Fintégration. Que de Tidée d'un homme ou des hommes on s*élève à l'idée de l'homme même, et qu'avec Tidée de l'homme on descende à l'idée d'un homme ou des hommes, on exécutera en métaphysique deux opérations analogues à celles de différencier et d'intégrer en mathématiques.

3i la différentielle d'une fonction est plus générale qu'elle, ainsi que Lagrange le dit (1), ce n*est qu'en apparence, puisque la différentielle se trouve contenue dans la fonction, où elle est enveloppée par l'individuel de cette fonction. M. Cournot observe « qu'il conviendrait d'appeler la différentielle fonction génératrice ou primitive, et la fonction complète fonction dérivée, au lieu d'appliquer ces dénominations en sens inverse, comme Ta fait Lagrange^ guidé en cela par des considérations de pure algèbre (2). » Effectivement, c'est la différentielle qui fait l'essence de la fonction, qui est la loi des changements que celle-ci éprouve par suite des changements de la variable, et non pas la fonction qui est la loi de la différentielle, comme c'est Tidée générale d'homme, et non pas l'idée particulière de tel ou tel individu, l'universel et non pas l'individuel, qui est l'essence de l'homme. Mais dans ce cas^ au lieu de dire avec l'auteur que la loi des variations des grandeurs

(1) Leçom sur le calcul des fonction» ^ p. 163; 2* ëdit.

(2) Traité élémentaire de la théorie de$ foncOons et du calcul infinitésimal, U 1, p. 87.

finies résulte de la loi des variations infinitésimales, il faudrait dire qu'elle est la même. La différentiation ne fait que la mettre en évidence en écartant ces grandeurs finies qui la voilent. .

Les partisans des infiniment petits ont raison de soutenir que les différentielles ne sont point zéro ; mais ils ont tort de supposer que leur réalité est dans l'individuel, avec lequel ils confondent l'universel. Ils ressemblent aux conceptualistes, qui, en philosophie, fondent sur le particulier les notions générales, ou, pour parler autrement, qui ne voient dans Tuniversel qu'une pure conception dérivée de l'individuel. Dans Texponentielle e* se confondent, par une exception singulière, Tuniversel et rindividuel, le coefficient différentiel et la fonction complète.

Leibnitz croyait faussement que les intégrales étaient des sommes de différentielles, et que le calcul intégral devait être appelé calcul sommatoire, summaiorius (1). Il est étonnant que Leibnitz, qui savait si bien distinguer les idées générales des idées particulières, n'ait pas va dans le rapport essentiel d'une fonction l'idée générale, et dans les valeurs successives des variables de la fonction, les idées particulières de cette fonction. Jean Bernoulli donnait au calcul intégral, avec raison, le nom qu'il porte ; car ce calcul, rendant à la fonction son nombre, la rétablit dans son intégrité. Pour désigner Tintégration, il employait d'abord naturellement la lettre I, initiale d'intégral; ensuite il l'abandonna mal à propos et

(1) CoffMnerdum epûl., t. U, p. 161.

DE LiNFlNI. 667

prit la lettre S, initiale de somme, lettre dont se servait Leibnitz (1). Penserait-on que celui-ci se soit égaré jusqu'à assimiler tes différentielles aux racines imaginaires (2), et que, de nos jours, Garnot n*ait pas craint d^ établir un rapprochement entre elles et les quantités négatives (3) ?

M. Lacroix, M. Gauchy et d'autres géomètres qui rejettent les infiniment petits, les évitent en employant les limites, où entre également la considération de l'infini. Mais il se rencontre deux difficultés : la première, c'est que les changements des fonctions et de leurs variables étant nuls, les limites des rapports de ces changements ne le soient pas ; la seconde, c'est que les liens de ces rapports avec leurs limites ne s'altèrent point lorsque ces changements passent par zéro.

Dans les exemples que nous examinions tout à l'heure,

de

j- est la limite du rapport des changements de Fespace

dy et de ceux du temps ; -^ est celle du rapport des chan-

dx

gements de l'ordonnée et des changements de Tabscisse. Ici de^ dt^ difj dxy ne repi:^entent ni des zéros ni des infiniment petits, mais certaines quantités assignables. Cependant, pour arriver à ces quantités, il faut anéantir les changements ou accroissements de Tespace, du temps, de l'ordonnée^de l'abscisse. Alors, que reste-t-il

(i) Commerdum epiit., t. Il, p. 155.

(% Op., t m, p. 371 et 500.

(8) Réfiex. tur la métapkyilque du calcul infinitésimal, note à la fin.

668 TBÈORIE

de ces quantités? Et s'il reste quelque chose, comment se fait-il que le rapport de ces restes émane rigoureusement du rapport des changements ? Voici un exemple plus sensible. La surface d'un polygone régulier inscrit à un cercle est égale au contour de ce polygone multiplié par la moitié de la perpendiculaire abaissée du centre sur un des côtés. A mesure qu'on augmente le nombre de ces côtés ou qu'on diminue leur longueur, le contour approche de la circonférence, la perpendiculaire du rayon, et la surface du polygone de celle du cercle. Le cercle est dit la limite du polygone, le rayon la limite de la perpendiculaire, la circonférence la limite du contour. Mais ne semble t-il pas absurde que ces côtés, qui alors sont anéantis, produisent une circonférence ? En admettant qu'ils la produisent, quelle certitude a-t-oo que le rapport de cette circonférence et de son rayon soit déterminé par le rapport du contour dû polygone €A de la perpendiculaire tirée du centre à un des côtés ? On a beau dire que le contour, approchant continuellement et indéfiniment de la circonférence, en différera toujours moins que toute quantité donnée, et qu'en passant du rapport du contour et de la perpendiculaire à celui de la circonférence et du rayon f on ne saurait commettre d'erreur. Il est visible qu'il y a là un saut où la nature des choses parait changée, où le contour, formé de lignes droites, devient la circonférence, qui est une ligne courbe, où par conséquent tout a Tair d'être rompu, et où il ne semble pas qu'on ait le droit de conclure ce qui est après de ce qui est avant.

DE LINFINI. 669

La connaissance de Tinfini montre seule qu*on le peut. Sous le rapport du contour et de la perpendiculaire, elle révèle le rapport de la circonférence et do rayon. Ce dernier rapport, qui sert de fondennent au premier, est l'unité de l'infini ; le premier en est le nombre. Le passage du contour à la circonférence dans lequel les côtés du polygone s'évanouissent n'est que rélimination du nombre et la manifestation de l'unité. Qu'on s'arrête au contour, ou qu'on aille à la circonférence, on est toujours dans l'unité. Mais à la circonférence on s'y trouve explicitement, tandis qu'au contour on n'y est qu'implicitement. Du contour à la circonférence, le saut n'est donc que partiel. Il y a un fond commun qui ne cesse de nous porter.

D'après M. Lacroix, « la limite, différente pour chaque fonction et toujours indépendante des valeurs absolues des accroissements, caractérise d'une manière qui lui est propre la marche de la fonction dans les divers états par lesquels elle peut passer (I). » Ainsi^ pendant que la fonction et la variable prennent des valeurs différentes, la limite demeure constante et règle les changements Par conséquent elle consiste dans un rapport intérieur qui est la manière dont la variable entre dans la fonction et qui constitue la nature de celle-ci. c Plus les accroissements de la variable indépendante sont petits, poursuit l'auteur, plus les valeurs succèssives de la fonction sont resserrées, plus enfin cette fonction approche d'être soumise à la loi de continuité dans

(i) TraiU iUm. de caletil différ., p. 87, 5- ëdit.

ses changements, et plus leur rapport à ceux de la van riable indépendante approche d'être égal à la limite assignée par le calcul. » Mais pourquoi cela, sinon parce qu'alors ce qui change tend à s'évanouir et à mettre à découvert ce qui ne change point ? Lorsque la fonction est soumise à la loi de continuité dans ses changements, qu'il n'y a plus d'intervalles entre les valeurs successives qu'elle reçoit, que les accroissements ou décroissements de la variable sont zéro, la partie muable de la fonction s'en va, et apparaît en même temps la partie immuable, qui est ce qu'on appelle ici la limite.

La loi de continuité, ou plus simplement la continuité forme le lieu de passage de l'une à l'autre. Elle n'est point la limite de la fonction, mais la limite du changeant et du non changeant. En elle s'annule ce qui change, et en s'annulant laisse voir au delà cç qui ne change point. Suivant Navier (1) et M. Cournot (2), la limite mesure le rapport des changements de la fonction et ceux de la variable. Ceci est encore vrai. La limite étant l'unité, la loi de la fonction, elle détermine son nombre ou le rapport de ses changements et de ceux de la variable. Dans l'équation d'une courbe, le rapport des changements respectifs des variables, rapport qui luimême change continuellement, ne dépend-il pas du rq>port fondamental exprimé par cette équation, rapport qui ne change point et qui fait l'essence immuable de la courbe? En morale, n'est-ce pas par l'idée de la vertu

(1) Réswné de$ leçon» ^«inUyse, part, i, page 7*

(2) TraiU élémentaire, L I, p. 53.

DE LINPINI. 671

qu'on estime, qu'on évalue les vertus ou les divers degrés de vertu qui se rencontrent dans les actions humaines?

Mais que ce soit avec la théorie des limites, avec celle des infiniment petits, ou avec toute autre que Tinfin rentre dans les mathématiques, peu importe ; Tessentiel, c'est qu'on l'y reconnaît existant par la nature de la quantité, et non plus seulement comme artifice analytique ; de même qu'autour de nous, sous nos pieds et sur nos têtes, il n'est plus jugé l'efi'et de l'imperfection des instruments, mais le fond des amplitudes de la création. Au reste, en combattant l'existence des infiniment petits, nous ne prétendons point en proscrire le mot, qui peut être utile dans certains cas. Il suffit que cette expression, ainsi que celle de limite, soit bien expliquée et bien comprise. D'ailleurs l'invincible rectitude de l'analyse les empêche de fausser le calcul.

L'infini reparaît aussi dans la philosophie, mais seulement pour les idées qui appartiennent à l'entendement divin, et pas encore pour celles qui appartiennent au nôtre. C'est qu'en général on nie ces dernières, et qu'on n'admet que les autres dans la pensée. De là vient que Biran, par exemple, soutient que l'âme ne se connaît point. S'il s'entendait lui-même, il de vrait soutenir qu'elle ne connaît rien. Sans les idées qui font qu'elle pense, comment connaîtrait-elle quoi que ce soit? Avec ces idées, comment ne se connaîtrait-elle pas avant tout, puisqu'elles ne peuvent donner la connaissance de rien qu'en donnant la connaissance d'elles-mêmes, et par conséquent de Tàme dont elles forment la substance ?

Entre une connaissance réelle de Tâme et une ignorance de tout, il n'y a point de milieu. Biran, et^ avant lui, Malebranche, qui, dans la pensée, ne voit non plus que les idées divines, en supposent un singulier, c*est que Tâme se connaît par conscience. Ordinairement on appelle conscience ce mélange dMdées et de sentiments qui, en morale, nous fait juger du bien et du mal. Gomme ici les idées semblent fondues dans les sentiments, Malebranche et Biran se sont imaginé, sans doute, que le mot conscience indique un peu plus que le sentiment, et beaucoup moins que Tidée, une sorte de connaissance légère qui ne pénètre point les choses, mais qui cependant en découvre la superficie. C*est pourquoi ils disent* que les actes ou opérations de Fâme nous sont connues, et que Tàme ne Test pas, ou, selon le langage de Biran, que nous apercevons le moi actuel de la conscience^ et que le moi absolu^ que Came sub^ stance ou chose pensante nous échappe. Mais, ou la conscience n'est que le sentiment, et alors nous ignorons le moi actuel de la conscience aussi complètement que le moi absolu, car sentir, être affecté, ce n'est point connaître ; ou la conscience est le sentiment et Fidée, et dans ce cas le moi absolu. Pâme substance ou chose pensante nous est aussi bien connue que le moi actuel, car le sentiment, pour se mêler à l'idée, ne l'altère ni ne l'affaiblit, quoiqu'il empêche quelquefois de l'approfondir, enlevant, brisant l'attention par sa rapidité et ses transports. Faut-il s'étonner qu'à ce simulacre de connaissance, qu'ils n'admettent d'ailleurs qu'en se con^

tredisant, Malebranche et Biran refusent Tinfinité?

D'autres, comme les disciples de Reid, de Kant, excluent de la pensée les idées divines et y laissent les idées humaines; mais ils les atténuent au point qu'elles ne peuvent produire aucune connaissance véritable ni supporter T infini. Aussi déclarent-ils également que Tàme est impénétrable, et s'ils ne bannissent pas tout à fait rinfini, ils n'en conservent qu'une ombre vaine et sans usage.

Cependant, aussitôt qu'on reconnaîtra à ces idées leur réalité propre, on verra, conune Descartes, Leibnitz, Bossuet et tous ceux qui ont philosophé un peu à fond, qu'elles renferment l'infini. Le premier n'hésite pas à dire que l'idée de perfection infinie ne diffère nullement de nous-mêmes, en d'autres termes, qu'elle est l'âme entière. Pour eux l'infini est la source des idées claires. A la vérité, ils croient qu'il est aussi celle des idées confuses (1). La raison que Leibnitz en donne, c'est que nous ne pouvons considérer distinctement une infinité de choses ou de rapports (â). Ceci demande explication. Pourquoi l'infini est-il la source des idées claires? Parce qu'il fait leur unité et leur nombre, leur général et leur particulier, enfin leur manière d'exister. Dans l'idée du cercle, déjà donnée pour exemple, la propriété que tous ses points sont & égale distance du centre est inséparable de la propriété qu'il y a une infinités de cer-

(1) « Fons est ideanim claraminy sirnul et confusaramy quibos noUa crettur peoitus exoi potest > Leib. op,, t. V, p. 149.

(2) • NoQ est nobis finito intellectu praeditis, infinitarum vaiietatum distineta

oéttideralio. » /M., p. 143.

des. Sans la première, rien de général ; sans la seconde^ rien de particulier. Sans le général point de science possible, car d'un côté point de liens entre les cercles particuliers, et de Tautre point même de cercles particuli^[^, qui ne sont cercles que par le généraT, que parce qu'ils ont tous leurs points également éloignés du centre. Point de science non plus sans le particulier varié à Tinfini, c'est-à-dire sans l'infinité des cercles particuliers, puisque le général, qui est leur lien, leur rapport, n'ayant rien à unir, n'est rien lui-même. C'est ainsi que l'infini est la manière d'exister du cercle, qu'il la manifeste, et dès lors qu'il en fait la clarté.

Mais cette infinité de cercles particuliers, fort nette tant qu^on les considère dans leur ensemble, devient confuse si on veut se les représenter en détail ; on ne peut tous les distinguer les uns des autres, à cause de leur multitude sans terme. L'infini, source de la clarté, n^amène donc la confusion que par accident et en quelque sorte malgré lui. C'est de notre esprit qu'elle vient, non qu'il soit fini, comme le dit Leibnitz, mais parce qu'il n'est pas un infini assez élevé, ou même l'infini absolu, peut-être encore parce qu'il manque de force pour percevoir complètement les idées qui le constituent. cTelle est tout ensemble, dit Bossuet, la grandeur et la faiblesse de l'esprit humain, que nous ne pouvons égaler nos idées, tant celui qui nous a formés a pris soin de marquer son infinité ! »

J'ai déjà remarqué que tous les infinis relatifs sont nuls par rapport à l'infini absolu ; que dans une suite

DE L*1MFIN1. 676

ascendante, Tinfini du premier ordre est nul par rapport à Tinfini du second, Tinfini du second par rapport à rinfini du troisième, ainsi des autres; que dans une suite descendante, l'infini du second ordre est nul par rapport à l'infini du premier, l'infini du troisième par rapport à l'infini du second, que la même chose a lieu pour les suivants. Cette nullité fut aperçue en môme temps que ces divers ordres, et aussitôt on commença de s'en servir. Mais quoiqu'on Tait crue certaine, on n'a pu se l'expliquer d'une manière satisfaisante, parce qu'on ignorait la nature de l'infini.

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^ f f ff jr c

Soit un angle quelconque ABC ; que de l'un de ses côtés on tire des parallèles à l'autre, on formera les bandes ABpm, wippW, fitlpp'rn!\ etc. Qu'on prenne de ces bandes autant qu'on voudra, non-seulement on ne remplit point l'espace angulaire ABC, mais cet espace reste toujours tout entier vide. Comme les côtés ne se terminent point, il est clair qu'après la dernière bande, s'ouvre constamment un angle w^y^C, qui présente une étendue égale à celle de ABC. Cependant les bandes renferment chacune un espace infini, puisque leurs côtés se prolongent indéfiniment. D'où il résulte que cet infini, et même un nombre quelconque d'infinis semblables, sont

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nuls devant celui de Fangle. Mais aussi à un côté double, triple, dans la bande, répond un espace double, triple, tandis que dans Tangle, à un côté double, triple, répond un espace quatre fois, neuf fois plus grand, c'est-à-dire que dans la bande F espace croît comme les côtés, et dans l'angle comme les carrés des côtés ; par conséquent Tangle et la bande ne sont point de même genre. Voilà pourquoi la bande s'annule devant Tangle.

Si la fonction différentielle s'évanouit devant la fonction primitive, c'est pareillement qu'elle est d'un autre genre, ou, comme dit M. Lacroix, qu'elle est «ut ^ neris (i). Aussi, quand elle vient d'une fonction primitive à deux variables, par exemple, elle exprime la tangente Irigonométrique de l'angle que la tangente à la courbe fait avec l'axe des abscisses, au lieu que la fonction primitive exprime la courbe. En différentiant, on

passe par zéro divisé par zéro, ^ , symbole de l'indétermination, lequel, suivant Lagrange, est toujours le symptôme d'un changement de fonction (2). Ladifférentiation consistant à annuler l'individuel de la fonction, traverse le néant, qui est l'indétermination même. C'est par là qu'elle nous transporte d'un genre à un genre différent.

On peut encore considérer la fonction comme un tout qu'on détruit dès qu'on en ôte une partie. Avant la différentiation elle est un infini complet, après elle n'est

. 1) TraiU éUm. de cûUmI digèr,, p. 704; 5< ëdit.

(t) Uçonê mr le cëlaU des fcmctioiu, p. 321 $ 2« édit.

plus qu'un infini unité, lequel, par conséquent, n'est rien à Tégard de Tinfinî unité et de Tinfini nombre réunis. L'iufmi nombre ne serait rien non plus, si on pouvait l'isoler. Qu'est un bras pour le corps dont il ne fait pas partie? Rien. 11 ne serait encore rien, lors même que le corps particulier qu'on envisage manquerait d'ui> bras semblable. Dans cet exemple, la chose frappe, parce qu'elle tombe sous les sens; mais quand ellelçs passe, elle n'est pas moins certaine.

On dit qu'une infinité de différentielles égalent la fonction dont elles dérivent, et une infinité de bandes l'espace angulaire» On ne s'aperçoit pas que cette infinité en nombre étant impossible, comme somme, c'est l'unité qu'on prend à la place ; je veux dire qu'au fond on cesse de considérer cette infinité de fonctions différentielles, pour considérer la fonction elle-même, l'infinité de bandes pour considérer l'angle.

Comme dans un même objet, de l'unité de l'infini à l'infini unité et nombre est l'infini, on dit des choses qui ont une nature différente qu'elles sont séparées par l'infini, ce qui est philosophiquement et mathématiquement rigoureux. Qu'on se garde donc de voir une exagération et non pas la vérité même dans ces paroles de Pascal :

< La distance infinie des corps aux esprits figure la distance infiniment plus infinie des esprits à la charité, car elle est surnaturelle.

€ Tout l'éclat des grandeurs n'a point de lustre pour les gens qui sont dans les recherches de l'esprit. La

grandeur des gens d'esprit est invisible aux riches, aux rois, aux conquérants et à tous ces grands de chair. La grandeur de la sagesse qui vient de Dieu est invisible aux charnels et aux gens d'esprit. Ce sont trois ordres de différents genres.

€ Les grands génies ont leur empire, leur éclat, leur grandeur, leurs victoires, et n'ont nul besoin des grandeurs chamelles, qui n'ont nul rapport avec celles qu*ils cherchent. Ils sont vus des esprits et non des yeux, mais c^est assez. Les saints ont leur empire, leur éclat, leur grandeur, leurs victoires, et n'ont nul besoin des grandeurs charnelles ou spirituelles, qui ne sont pas de leur ordre, et qui n'ajoutent ni n'ôtent à la grandeur quMls désirent. Ils sont vus de Dieu et des anges et non des corps ni des esprits curieux : Dieu seul leur suffit....

c Tous les corps, le firmament, les étoiles, la terre, les royaumes, ne valent pas le moindre des esprits, car il connaît tout cela et soi- même, et le corps rien ; et tous les corps et tous les esprits ensemble, et toutes leurs productions, ne valent pas le moindre mouvement de charité, car elle est d'un ordre infiniment plus élevé.

< De tous les corps ensemble on ne saurait tirer la moindre pensée : cela est impossible et d'un autre ordre. Tous les corps et tous les esprits ensemble ne sauraient produire un mouvement de vraie charité : cela est impossible et d'un autre ordre tout surnaturel. »

De même que les divers ordres d'infini mathématique et d'infini iporal, les divers ordres d'infini physique, soit

de force, soit de distance, soit de grosseur, se trouvent nuls les uns devant les autres. La puissance de Thomme et de son industrie ne peut rien contre le flux et le reflux de rOcéan, contre les tenipêtes qui Tagitent, contre les explosions volcaniques, contre les tremblements de terre, ni le flux et reflux de l'Océan, ni ses tempêtes, ni • les explosions des volcans, ni les tremblements de terre, contre le mouvement qui emporte notre globe autour du soleil, ni contre celui qui le fait tourner sur son axe. Que peuvent les forces qui animent les planètes contre celles qui animent le système solaire et le font mouvoir autour d'un centre de gravité commun à d'autres systèmes solaires? Qu'est le rayon de l'orbite de la terre par rapport à la distance qui nous sépare de la plus proche des étoiles fixes? Qu'est le grain de sable par rapport & la masse du globe? Ces infinis subordonnés ne sont rien à côté des infinis qui les dominent.

On»a reproché à Bossuet d'avoir mis tous les peuples anciens en mouvement autour du peuple juif. Mais ce peuple, qui portait principalement les destinées du genre humain, n'avait-il pas dans son institution une force d'un infini supérieur aux infinis des forces qui existaient dans les institutions des autres peuples ? De même, le peuple chrétien possède une force plus infinie que les forces des peuples infidèles ; la raison humaine rattachée intérieurement à Dieu, au moyen âge, par le christianisme, jouit d'une force plus infinie que celle de tous les préjugés et de toutes les fausses philosophies, depuis six siècles acharnés contre elle, sans qu'ils aient pu, je ne

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dirai pas la ruiner, comme à la publication de TEvangile, mais seulement Tempêcher de se déployer dans sa puissance, de tout renouveler, de se constituer reine du monde, avec le sacerdoce chrétien, pour le gouverna* avec lui jusqu^à la consommation dés temps.

Mais tous ces infinis de la société et de Tunivers le cèdent aux infinis dq la pensée ; les uns et les autres rentrent dans le néant en face de Tinfini absolu de Dieu« Toutes les créatures ensemble s* écrient comme le Psalmiste : Subslantia mea tanquam nihilum ante te (i). Comprend-on que M. Lamennais (2) déclare la création impossible, parce que la somme d'être serait plos grande après qu'avant, comme si Tétre créé pouvait entrer en ligne de compte avec l'être créateur I Je l'ai dit ailleurs : qu'à chaque instant de son éternité. Dieu jetit à l'existence des myriades d'univers, il ne diminuerait point l'intervalle qui le sépare du moindre atome.

(2) Eiquisie d'une philoiopMe, t. 1, p. 110.