I. INTÉGRALE DE POISSON
1. Les petite mouvements de l'air. — Nous n'aurons à considérer, dans cette étude, que de très petits mouvements dont sera affectée l'atmosphère supposée indéfinie.
Il y a lieu de distinguer, dans l'étude des propriétés acoustiques des gaz, deux sortes de vitesses :
i° Les vitesses propres des molécules gazeuses. Si x y y, z sont au temps t les coordonnées d'une des molécules du gaz, dans un système d'axes rectangulaires fixes, les composantes, suivant les trois axes, de la vitesse propre de cette molécule seront désignées par les notations
dx du dz
u, V, w sont des fonctions des coordonnées x, y, z et du temps t ;
2° La vitesse de propagation des petits mouvements, dite aussi vitesse du son dans le milieu et parfois célérité*
On sait que, dans un tuyau indéfini plein d'air, la vitesse de propagation est constante, quelles que soient la nature et l'intensité des petits mouvements du gaz.
Cette vitesse, que l'on désignera par la lettre a, a pour
expression
f> LE CHAMP ACOUSTIQUE.
p Q est la pression du gaz dont la masse spécifique est p ;
-,- est le rapport des deux chaleurs spécifiques du gaz, c
sous pression constante, c sous volume constant. Numériquement, on a :
— = i,4 1> p = 10 333 kg par mètre carré,
= 1^9? __l__ î po 9,81 1 4- 0,0037 a'
8 étant la température.
En calculant la valeur numérique de la vitesse du son, on trouve a = 33 i m à zéro, nombre qui, comme on sait, s'accorde parfaitement bien avec les expériences.
2. Hypothèses fondamentales. — On fait, dans l'étude des petits mouvements qui ont leur siège dans l'atmosphère, trois hypothèses distinctes qu'il est utile de rappeler.
La première admet que l'air est un fluide parfait au point de vue de l'hydrodynamique, c'est-à-dire qu'il s'agit d'un corps ne mettant en jeu dans ses mouvements ni rigidité, ni viscosité.
La deuxième suppose que, à cause de la rapidité de transmission des petits mouvements, de la faible conductibilité du gaz pour la chaleur et enfin de la très petite quantité de chaleur dégagée, les variations du volume
- et de la pression tc en un point, se font suivant la loi
adiabatique. Cette loi s'exprime d'une manière générale par l'équation
constante.
La troisième hypothèse, enfin, consiste à considérer comme très petites vis-à-vis de la vitesse du son a, lés vitesses propres 11 y v, w des molécules du gaz. On négli-
géra donc, devant a 2 , leurs produits deux à deux et aussi leurs produits par leurs dérivées en x, y, z et t qui sont des quantités du même ordre.
Si cette dernière hypothèse est vérifiée, l'expérience de la mesure de la vitesse du son dans les tuyaux, aussi bien qu'à Pair libre, démontre que les deux premières sont légitimes.
3. Équations différentielles. — Ces hypothèses étant ainsi admises, les équations différentielles des petits mouvements dans l'air s'obtiendront en portant l'expression analytique de ces trois hypothèses dans les équations qui définissent les fluides en mouvement et qui sont :
i° Les équations générales de l'hydrodynamique ;
2 L'équation de continuité du fluide ;
3° L'équation caractéristique du milieu, c'est-à-dire la relation rappelée plus haut entre la pression et la densité au même point.
Ces hypothèses réduisent le problème de l'étude des petits mouvements dans le milieu fluide à l'intégration de la seule équation différentielle du second ordre,
9 est une fonction de x, y, z et t qui, étant une fois connue, donnera les composantes des vitesses propres des molécules par les formules ;
do do do
U = -5-» V = -3-1 W = -jr m
dx dy dz
La fonction 9 donnera, en outre, par sa dérivée en t, la compression 0, c'est-à-dire le rapport de l'accroissement de volume au volume primitif en un point ; on aura :
a 2 dt
Comme d'autre part l'équation caractéristique du fluide permet d'écrire :
la pression sera ainsi déterminée en un point quelconque. La fonction 9, qui permet ainsi, par des opérations immédiates, de connaître toutes les circonstances du mouvement en un point, sera nommée Yétat sonore du milieu au point œ, y, z considéré et à l'instant /.
4. Conditions à l'origine. — Mais, parmi l'infinité A 9 états sonores qui sont compatibles avec la constitution du milieu et que l'intégration de l'équation (1) fait connaître en bloc, il n'y aura qu'un nombre limité de ces états, un seul même généralement, qui sera compatible avec les conditions initiales qu'on impose arbitrairement au milieu et qui définissent le mouvement à son origine.
Analytiquement, cette indétermination relative de la fonction 9 sera mise en évidence par la présence, dans l'intégrale générale, de deux fonctions arbitraires qui permettent d'appliquer au cas particulier qu'on a en vue, l'équation générale qui régit l'ensemble de tous les cas possibles.
Ainsi, on exprimera, par exemple, qu'à l'origine du temps, pour t = 0,
i° Les composantes u = -~ ; v = -~ ; w = -j- de la
vitesse propre en chaque point du fluide ont des valeurs déterminées. Par suite, l'état sonore 9 qui se réduit alors à 9 = / (x, y, z) est une fonction connue au temps
2° La compression = -^ aura aussi, en chaque
point, une valeur connue au même instant t = 0. On posera donc :
Au moyen de ces deux relations, les deux fonctions arbitraires se trouvent complètement déterminées.
5. Intégrale de Poisson. — La solution générale de l'équation (i) a été donnée par Poisson.
Fig. 1.
Soient x, y, z (fig. i) les coordonnées du point O de l'espace dont on cherche Y état sonore ç au temps t.
Prenons ce point comme origine des coordonnées.
Les autres points de l'espace seront définis par leur distance OP et par les 3 angles X, |x, v, que fait le vecteur OP avec les trois axes.
Soit dtù la surface d'un petit élément de la sphère décrite du point O comme centre avec un rayon égal à l'unité.
L'intégrale de Poisson est la suivante :
<p = -. — / / tduF (x + at cos\, y + at cos^, z -f- at cosv)
+ t~j} / / td(x)f(x-\-atcosl 9 y + a/cosjx, r + a^cosv).
L'intégrale est étendue à toute la surface de la sphère. Les fonctions F et/sont celles qui ont été définies par
io LE CHAMP ACOUSTIQUE.
les conditions à l'origine, ainsi qu'il a été dit au paragraphe précédent.
On voit que, pour avoir Yétat sonore total en au temps f, il faudra considérer l'état sonore antérieur qui existait au temps o en chaque point d'une sphère décrite de ce point avec un rayon égal à at ; et la superposition de tous ces états sonores élémentaires donnera l'état sonore résultant.
6. Vitesse du son. — La première et la plus simple de toutes les applications que l'on peut faire de l'équation de Poisson est la suivante :
Supposons qu'à l'originç du temps / = o, le milieu considéré soit en repos, à l'exception d'un très petit volume Q où tout le mouvement est concentré, qu'il s'agisse d'une compression 8 ou d'un état cinétique u, v, w.
Plaçons en ce point l'origine des coordonnées.
A l'origine du temps, la fonction 9, dont les dérivées partielles sont u, v, w et 8, sera nulle partout ailleurs qu'en dehors de l'espace Q. Les fonctions/^ y, z) et F {x, y, z) n'ont donc de valeurs appréciables que si on donne aux coordonnées x, y, z de très petites valeurs X, & Ç ne faisant pas sortir le point de l'espace Q.
Mais, à une époque quelconque t, la fonction 9 ne pourra être différente de zéro que si les variables qui entrent alors dans les fonctions / et F conservent des valeurs très petites, c'est-à-dire si l'on a :
x -f- at cosX = y, y -f- at cos (x = Ç, z + at cosv = Ç.
Comme on a la relation
cos 2 X + cos 2 (x + cos 2 v = 1 , on en tire :
( x y y + ( y ç)a + Çg __ ,y = a * t z
Cette équation exprime que tout le mouvement, initialement renfermé dans l'espace û, sera, au temps t, tout entier concentré dans le voisinage immédiat d'une sphère
ayant pour centre l'origine des coordonnées et pour rayon a(.
Ainsi doue, l'ébranlement initial se transmet avec une vitesse de propagation a, qui esl la même que dans les tuyaux indéfinis.
