II. ETAT SONORE EN UN POINT DU CHAMP ACOUSTIQUE
7. Problème traité dans ce mémoire. — Ces préliminaires étant rappelés, nous allons aborder l'étude du cas spécial qui fait l'objet de ce mémoire.
Nous nous proposons de déterminer :
a Quel sera, en un point quelconque x, y, z, de l'espace, au temps t, Yétat sonore 9, quand l'atmosphère qui remplit uniformément cet espace est sillonnée par un mobile qui parcourt, d'un mouvement connu, une trajectoire donnée. »
Nous considérons seulement le cas où le mobile a des dimensions très petites dans le sens normal à sa trajectoire. C'est là évidemment un problème élémentaire, auquel, grâce au principe de la superposition des petits mouvements, tous les autres peuvent être ramenés. L'étude de ce problème simple est d'ailleurs bien suffisante pour donner une idée nette des phénomènes; ceux-ci se produisent alors dans des conditions de simplicité et de clarté qui les rendent plus particulièrement saisissables.
îa LE CHAMP ACOUSTIQUE.
8. Mouvement élémentaire. — Soit a (fig. a) la surface 1res petite d'un élément plan situé à l'origine des coordonnées dans le plan ZOY. Ce sera l'extrémité d'une très longue tige solide de section ex, couchée sur OX'.
Imprimons à cette tige, pendant un instant très court, une vitesse V dirigée suivant l'axe OX.
La couche des molécules en contact immédiat avec le plan a va prendre cette même vitesse V, de sorte qu'on aura pour / = o
D'autre part, l'ébranlement causé par le choc du plan a contre les molécules d'air qui l'environnent de toutes parts sera, au bout du temps t, tout entier transporté dans le voisinage d'une sphère de rayon at.
Soit P un point de cette sphère de coordonnées X, jx, v. Quel sera l'état sonore 9 de ce point ?
D'après le théorème de Poisson, il faudra décrire du point P comme centre une sphère de rayon at et intégrer sur toute la surface de cette sphère. Mais cette intégration portera sur des éléments dtù où les fonctions F,/ seront identiquement nulles à l'exception de l'élément rfd) intercepté par le cône de sommet P et de base a sur la sphère du rayon 1 .
L'intégrale de Poisson se trouvera donc réduite à un
LE CHAMP ACOUSTIQUE. i3
seul élément et Y état sonore 9 en x, y, z sera donné par la formule :
o = j— t¥ (x — at cos)., y — at cosfi, z — at cosv) dta,
+ j—-n tf( x — a * cosX, y — at cos ji, z — at cosv) rfeo.
Il faut mettre le signe — dans les parenthèses parce qu'ici l'origine est, non pas comme au paragraphe 5, au point dont on cherche l'état sonore, mais au point d'où il. émane.
9. Détermination des fonctions arbitraires. — Les conditions initiales vont nous permettre maintenant de déterminer les deux fonctions F et/.
i° On sait qu'on a :
pour t = 0.
Comme nous supposons la dilatation nulle à l'origine, il faut donc que F soit identiquement nul.
2 D'autre part, d'après le paragraphe 4
do
dx = a >
dy ' dz
A l'origine, on a
Il en résulte que
*± — y dx
d'où = Vx.
Or, pour t = 0, On aura donc
-r t (x — at cosX);
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ou bien, en effectuant l'opération indiquée,
9 = t— &ru (x — 2at ces X).
10. Formule de l'état sonore. — Il reste à exprimer So en fonction de a.
L'angle sous lequel on voit du point P le plan a ne dépend que de l'angle X, car tout est symétrique par rapport à l'axe des x. Appelons 8g>' la projection conique de 80 sur la sphère du rayon at; on aura W = a 2 t 2 8w.
D'autre part, on aura évidemment
80/ = a cosX.
L'équation définitive de Y état sonore sera donnée par la relation
/ n VccosX
(2) 9 = -7 — — (x — 2at cos a).
v J r kxa 2 l 2 K J
11. Vitesses propres des molécules. — De l'équation (2) qui définit Y état sonore ç, on déduit par différentiation
dy V<j cosX
dx l\na 2 t 2
Ainsi, sur la sphère qui transporte tout le mouvement émané de l'origine :
i° L'état sonore est symétrique par rapport à la direction du mouvement ;
2 Les vitesses propres des molécules sont toutes parallèles à la direction du mouvement ; elles varient en raison inverse du carré de la distance at à l'origine ; elles sont proportionnelles au cosinus de l'inclinaison du rayon vecteur sur la direction du mouvement.
Quant à la compression 0, elle est nulle, comme elle l'était à l'origine ; il est d'ailleurs facile de le vérifier en
formant -~.
at
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On trouve en effet :
i dy 2 Va cosX (x — at cosX)
= — a~ 2 ~dt "" ô* bnaH 2 ï '
quantité nulle, le facteur x — at cos X étant infiniment petit par hypothèse, puisque le mouvement initial est concentré très près de l'origine.
Remarquons qu'aucun mouvement ne pénétrera du côté des x négatifs; le plan ZOY sur lequel, d'après la formule (3), à cause de la présence du facteur cos X, les vitesses sont nulles, forme dans le milieu une surface de séparation que l'ébranlement initial ne franchit pas et tout le mouvement se trouve ainsi réparti sur la demisphère de rayon at, décrite du côté des œ positifs.
12. Mouvements à l'arrière. — On peut d'ailleurs considérer l'état sonore résultant de l'action de l'arrière de la tige indéfinie de section ex.
Dans ce cas, la figure étant celle du paragraphe 8, et le point P pris en arrière du plan ZOY, la vitesse V de l'élément a est dirigée en sens inverse de dœ.
On a ainsi :
S = - v d ' où » = - v*;
de sorte que l'équation (2) s'écrira
