III. ONDE NEUTRE
14. Définition. — Soit S (fig. 3) une des positions du mobile sur sa trajectoire TT' ; V est la vitesse qu'il possède en ce point.
La demi-sphère Al, qui a emporté dans l'espace l'ébranlement issu du point S, aura au temps t un rayon égal à at. Prenons sur la normale à la trajectoire SM = SM' = at.
A cause de la relation (3) qui contient la fonction cos X, aucun mouvement ne se fera sentir sur la circonférence du grand cercle MM' de la sphère et sur celle-là seulement. Lorsque le point S se déplacera sur sa trajectoire, le grand cercle MM' aura pour enveloppe une certaine surface sur laquelle aucun point ne sera en mouvement.
Nous désignerons cette surface sous le nom d'onde
neutre. Elle limite à Farrière le champ acoustique N-. ; elle limite au contraire à l'avant le champ acoustique jft.
Fig. 3.
15. Équation de l'onde neutre. — Bornons cette étude au cas d'une trajectoire plane. La généralisation ne présenterait d'ailleurs pas de difficultés spéciales. Il suffira alors, dans le cas d'une trajectoire plane, de définir l'intersection .de l'onde neutre avec le plan de la trajectoire.
Appelons P la position actuelle du mobile que nous prendrons pour origine des arcs S et des temps t. L'équation du mouvement sur la trajectoire s'écrira s ==/(/) en donnant à t et à s des valeurs négatives.
Si on prend comme système de coordonnées la trajectoire TT' elle-même et les normales successives à celte trajectoire, s désignant l'arc parcouru au temps t par le mobile, n désignant la longueur parcourue au même temps par l'ébranlement suivant la normale, on aura
s =/(0 n = at.
C'est-à-dire que l'équation de l'onde neutre sera
16. Tangente en nn point. — Soit S' un point voisin de S- On a SS' = \dt. Soit NS' la normale en S' qui coupe au point I la normale MSM' en S ;
IS est le rayon de courbure p.
Nm étant perpendiculaire à MS, on a
Mm = Nmtgp.
Or Mm, différence des longueurs MS et NS', est égale kadi.
D'autre part, on peut écrire
N/n __ IS + Sm p + ai SS' — IS ~ F * d'où
Nm=v(i +— )rf/.
On en déduit, pour l'angle que fait la tangente NM à l'onde neutre au point M, la formule
Le signe + convient au point M situé du côté de la convexité de la trajectoire ; le signe — au point M' situé du côté de la concavité.
17. Discussion de la forme de l'onde neutre. — La formule précédente permet de discuter facilement la forme de. l'onde neutre d'une trajectoire déterminée. '
Elle est d'abord toujours réelle, car tg £ peut prendre toutes les valeurs positives et négatives que lui imposera le choix arbitraire de V et de p. L'onde neutre, qui part du point S de la trajectoire où, t étant égal à p,
elle fait avec la trajectoire un angle p tel que tg {J = ^,
de part et d'autre de la tangente, se propage avec la vitesse du son dans deux sens opposés.
Si on considère la portion de l'onde neutre qui se dé-
place du côté de la convexité de la trajectoire, la tangente lait un angle § donné par la formule
ai
at
P décroît donc constamment et s'annule pour / =, oo. . Si on considère, au contraire, le déplacement du côté
de la concavité de la trajectoire, il faut employer la formule
V at
P qui part de la même valeur tg p = y > P our ' — °>
TC
augmente jusqu'à la valeur - qui a lieu au temps t == -.
-A cet instant, Ponde neutre est venue rencontrer la déve-
toppée de la trajectoire et, puisque P =-, ces deux
courbes sont tangentes entre elles.
Il suit de là qu'aucune portion de champ acoustique M, que l'onde neutre limite à l'arrière, ne peut pénétrer à l'intérieur de la développée de la trajectoire. La figure 4> où l'onde neutre est représentée (comme elle le sera toujours dans les figures ultérieures) par une courbe en gros traits interrompus, montre cette sorte de réflexion de l'onde neutre sur la développée en I.
18. Exemples. — On peut rechercher la forme de l'onde neutre dans quelques cas particulièrement simples.
Mouvement rectiligne uniforme.
Dans ce cas, p est infini. On a donc :
a tg§ = y-
L'onde neutre est un cône droit à base circulaire dont le demi-angle au sommet est égal à p.
Mouvement rectiligne pendulaire.
Ainsi, soit un diapason dont AB = 2 / (fig. 5) représente l'amplitude vibratoire. Soit x la distance au centre O d'un point quelconque.
D'après les formules du paragraphe i5, l'équation de l'onde neutre sera '
x = / cos Kt, g = at 9 ffoù
K -=• = arc cos -r* a l
La tangente aura pour expression
tgp = v = —
K/sinK/
La figure ci-dessous donne la forme de l'onde neutre du
Fig. 5.
mouvement pendulaire et les limites, du champ acoustique Af représenté ombré (fig. 5).
Mouvement circulaire uniforme.
Le rayon de courbure p doit être remplacé ici par le rayon R du cercle.
Y étant la vitesse linéaire du mobile sur le cercle, on a $ = V l — R g), « étant l'angle au centre du mobile dans sa position actuelle et ses positions antérieures.
n = at = r sera l'autre équation de l'onde neutre.
aa LE CHAMP ACOUSTIQUE.
On en déduit r = -y- a ; c'est l'équation d'une spirale
d'Archimède. .
La tangente a pour expression
Fig. 6.
La figure 6 indique la forme de Tonde neutre quand le mobile a parcouru la circonférence C et est revenu à son point de départ après un tour.
