RAT
J'ai donné les résultats sous cette forme pour mettre jen évidence le fait que la condition F est satisfaite.
Nous pouvons les simplifier légèrement sans perdre en généralité en prenant l’origine des coordonnées à mi-chemin entre les masses,
el m;, de sorte que dy = — d,. Dans ce cas, 6 } 3 (st) z dl; ) (32) NAME - + 124: nf — 3 ds —idir? [° Se À 3 da rire U FRrE S For el $ 3 r3 g. 7 (33) Afl=- = — +8di3 | —— dr —84dis [ — dr rire ASTAAE CHAT LS
—rd(s+d) [5 [rt (32 d?)] dr
lea
On peut de même calculer les Aa) pour a+ 62
en termes des formes que je viens de donner.
On peutprocéder ainsi indéfiniment.
13. Nous pouvons sans difficulté étendre les résultats obtenus plus haut au cas de n particules sur une droite, Nous procéderons pas à pas, en supposant toujours que la solution pour le cas de n — 1 particules a déjà été calculée. En fait, il est évident que le problème peut être posé de telle façon que les équations aient exactement la forme (11), les d, ayant des valeurs nouvelles.
Les conditions À, , F ne demandent qu’ une légère extension pour définir les ST physiques du problème. Si l’on fait cette modification on constatera que la solution sera donnée comme auparavant par les équations (13), (23), (24), (26) et (28).
Nous emploierons les coordonnées r, 3, 0, 4 qui se réduisent à celles de (6), si toutes les masses sont nulles. Supposons que les n particules de masses m,, .…., m, sont sur l'axe de 3 respectivement aux points d4, .…., dy. Dans la condition À du n° 5, nous remplacons les mots « deux sphères » par « x sphères » et les deux points par les n points d,, .…., dy. Dans B nous remplacerons m4, m2 par m4, .…, Mn. Dans D, nous remplaçons m,—=m;—0 par
Mi= Mi ,+— Mn 0 ét dans E, à la place de mxmB(a, (0,0), nous éCrivons
mme... MmAna, .., An) 7 (0, : +; 0).
A F nous substituons :
FPour d\;—d;, ment à celle de 7 —p +1 particules situées aux points correspondants, dans le système de coordonnées choisies.
De plus, nous donnerons aux ri({—1,...,n) la définition
RE d;,(P= n) la solution se réduit exacte-
ri Vri+(s di} GUN UTL),
La solution a alors la forme suivante :
(34) Eu = D Se È AN Pie Pelmenmes En (Hs VI, 4).
END) fs
Dans la notation de (9) les A!" correspondent aux a,,, et ont les valeurs données par (6). Les valeurs des Afÿ::#", pour lesquelles À —1 des 4; sont nuls, peuvent être déterminées immédiatement à l’aide de (22). Nous appliquons à (22) les transformations
d; —= di,
NE
Les coefficients de m% sont alors déterminés par la transformation pour laquelle : = s. C’est ce que nous avons fait au n° 6.
Les valeurs des Af%:--#, pour lesquelles » — 2 des 4; sont nuls, peuvent être determinées à l’aide de celles des AE données aux paragraphes 11 et 12, par une méthode similaire à celle qui précède, mais dans ce cas il faut appliquer les transformations
ALU NO TS PTT
DEV To Ts
Les coefficients de m% mê (x, 8—1,2,...) sont déterminés par la transformation pour laquelle 1 = 5,, 7 —52.
De même pour lé cas général où nr — p (o pr) des a; sont nuls, on peut déterminer les Aÿ%:::%1 à l’aide de la solution du champ de p particules, On lui applique les transformations
d; —= ASE da = d,., CPR. ao sp; - TI ITS re . lp = Tip Les coefficients de mm... mr (as PSE AN ON NÉSDRE
déterminés par la transformation pour laquelle s, = (À = 1, ep)
Tous les coefficients de la série (34) sont alors déterminés en termes des solutions du champ de p particules (p °n), excepté ceux pour lesquels aucun des 4; n’est nul, Ces derniers coefficients sont déterminés par les équations (11). Il est bien entendu que les indices (4, $) sont maintenant remplacés par (41, %, ..., #,). Les solutions ont exactement la même forme qu'auparavant, en termes des #5: %, On les obtient en procédant pas à pas comme cela a été expliqué au n° 8.
Nous trouvons ainsi qu'en procédant pas à pas dans les deux
