SAS
Nous avons supposé que notre problème admet une solution satisfaisant aux conditions du n° 3. Nous avons alors supposé que les équations (11) sont compatibles. Nous pouvons vérifier directement que c'est le cas pour 4 = 1, $ —1 en substituant les valeurs ci-dessus des 45° dans (14). Le calcul est un peu long, mais il est direct; il né paraît nécessaire de reproduire ici aucune de ses parues.
La quantité A! est donnée par (13). Il est facile de démontrer que l'intégrale converge dans ce cas. Je n’essaierai pas d'établir ce point ici, parce que, au paragraphe suivant, nous considérerons une seconde solution du problème dans laquelle l'équation (12) peut s'intégrer immédiatement sans que l’on considère cette inté-
grale, pour le cas 4—1, 8 — 1. Nous ne considérerons pas non plus la détermmation des autres Af,°.
11. Nous allons chercher la solution pour le second système de coordonnées. Ces coordonnées, que nous appellerons, comme auparavant, r, 3, 0, {, se réduisent aux coordonnées cylindriques ordinaires si les deux : masses sont nulles. Elles sont SHUnUse à celles de (8) si l’une des masses est nulle. Les conditions du n° 5 ont été rédigées de telle façon que nous pouvons les employer sans changement dans le nouveau système. Puisque nous n’aurons plus à considérer le premier système, ce séra une simplification que de conserver exactement toutes les notations employées dans les dix premiers paragraphes. Il est facile de vérifier que dans ce système les équations S 1) qui définissent les inconnues ont la même forme. Les fonctions ! URS (48) ont, bien entendu, de nouvelles valeurs.
Nous avons seulement à calculer de nouveau les valeurs des bi} et dès c#-en ne 4 forme (8) au lieu de (7). Nous n’écrirons pas ee valeurs des Bi que l’on fait dériver des autres en substituant r, à r,. Nous Nues facilement, par la même méthode qu ’auparavant, les valeurs suivantes des Hi :
(1) 2 (ee Le AIR SEL TES D L (UPS), NÉE RE AE cg rer ed TT (22) big = 0 (HET 20 4), ; b bib == Se (81, 2, ), 4% A
SABRE où les bg sont des constantes définies par le développement suivant les puissances de m du coefficient de dt? dans (8).
Quoique les équations (11) conservent une forme idénuque, il faut se rappeler que dans ce cas la condition F exige un choix différent des fonctions qui doivent être arbitraires. Ainsi les équatons (18), (17 Uts), (19) et (21) ne sont plus applicables.
Les quantités A(%* sont définies par (13), quand l'intégrale est convergente.
Pour 4 —1, B—1, l'équation (12) a une forme qui s'intègre immédiatement en termes de 75 et ro.
A la place de (15) et de (17) nous prenons
; . A (23) APT 6 2 (2 BE ter) et (C4) (af) C se | r+tr »
(à ASE +86), (24) | 3 CURE UD ES GUN EE A EE > COR T COUR QUDEE EN, Û 4
qui, ainsi qu'on peut le voir immédiatement, satisfont à toutes les conditions. Alors les A sont donnés par
6) ST { fe su ( à 25) JA TR Cu Aa) : JA pa ee o? AP are U) ap), À 03 or 03 03 or dz LE ce qui donne x PINQU c PP ( (6) AE = PE A — or f YA ds,
où la fonction arbitraire de l'intégration est omise. Elle est nulle selon la condition E.
Les Aa) sont déterminés par
VA (ab ) d2A (ah)
(1257 ep —— £ or dz?
02 A (XF)
X Tr) LB l Pr MAP 2 UP pa.
ea =
Comme plus haut,
, ga (af) A (ab Le pis
| Dr | : / —f? ##ar+ fr Va) dr + FE ve 0? A (ah) + [rosier [AA à
Cette expression peut être simplifiée, comme l’a été (20), par l'emploi de l'identité (14). Nous obtenons
+ A(ab)
‘ (xp) { po + AB + à n°
E — or fe (af) 'di=fr na,
La solution est alors donnée par les équations (13), (23), (24), (26) et (28).
Les A 48) peuvent être calculés pas à pas en commençant par A‘?
2028) "AGP
. comme pe montre le n° 8.
Les pas) pour 4 + = n sonttoujours fonctions des 4,4, des pipi des c{5F? et des AY? '{ÿ+è<n) dans le cas où n >> 2.
uv 12. On caleule aisément les 4," qu sont YAD = — 12 mi 1 r2 i (z ni 1 ne rrra ri TS TUE rs 2% = Fr Eux ANR ANS y 1) ce 2 dd? d d MD PME See. (3— di) — AU 2) 3 A De 2) Ti la 2 F4 Os EUR À 4 FAVLe rire l'ir8 1 1 4 î 4 = LAN = — 3z—d,)(3—-d)———r?+ — — F3 7 35 F3 x ( 1)( 2) + rà Lie PU dt 1) — i (z— d;)(z— d:) + 3 SE DARANT AT QUE 12 1»
VAL pfz—d)—=—7r(3—d;)— 2 (SA) Ÿ 12 73 R ( 1) r3 ( 2) rè rà ( ) 2 \ — r(3— di).
SN COEES
A l’aide de ces valeurs, on vérifie rapidement que Fidentité (14) est satisfaite pour 4 —1, 5 —1.
La quatrième équation de (11) devient
Une solution de cette équation qui satisfait à nos conditions est
A ) LES Le Er
En employant cette valeur, et celles de A! et A! de (23) et (24) dans (26), nous obtenons, après plusieurs réductions,
(z — di)
Fons
(30) Afin =—
+ 3(d— dr [23 — (di + di)] ds
Fire
— (4 da) [tre arte d:)] ds.
TPS
De même de (28) :
Turs (31) An =— Far +a(di— di)[23—(di+ &)]/ r$rè dr ‘ "3
oh d)re—(h+æ)]f dr
de(s ds = 4) fire (a a)ts —@)}ar ce de à
du DORE 4) LE [+ (3 — di(s — ds)] dr.
