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Sous toutes ces nuances numériques, on pourrait retrouver les quatre types de séries que nous indiquons dans le texte.

en ce sens qu'elles représentent toutes les variations d'importance numérique d’un certain phénomène correspondant aux variations d’un certain attribut de ce phénomène : situation dans le temps, dans l’espace, qualité mesurable ou non mesurable. Exprimant ces relations en langage mathématique, on peut dire que ce sont celles d’une variante avec sa variable‘. Les différences de nature de lattribut (variable), les différences d'importance numérique du phénomène (variante) donnent lieu à diverses classifications qui recoupent celle que nous venons d'indiquer.

B. — Classifications secondaires des séries statistiques.

On peut d’abord opposer la situation dans le temps à tous les autres attributs, et distinguer ainsi les séries de succession des séries de répartition. Cette distinction, intéressante par elle-même, est, en outre, utile à faire, lorsqu'on mesure la ressemblance des séries statistiques : nous la retrouverons à la fin du présent exposé.

On peut, d'autre part, assimiler le temps à une variable de nature numérique, l’espace à une variable de nature non numérique, et ne plus distinguer que ces deux types de séries : celles pour lesquelles les variations de l'attribut sont numériques et celles pour lesquelles elles ne le sont pas.

A ce nouveau classement correspond une différence, qu'il est utile d'observer dans les représentations graphiques des séries statistiques. Lorsque le phénomène et l’attribut varient tous deux d’une façon numérique, on peut représenter les chiffres observés par des points,

! Dans notre cas particulier, la variable est la profession, et la variante le taux de chômage. à

géométriquement déterminés dans un plan. On se donne, à cet effet, deux axes coordonnés le long desquels sont mesurées, d’une part (axe des abscisses), les variations de valeur de l’altribut; d’autre part (axe des ordonnées),. les variations dans les chiffres observés. La position des points représentant ces chiffres est alors déterminée par l'intersection de deux parallèles aux axes, menées respectivement par l'extrémité de l’abscisse et lextrémité de l’'ordonnée. Si on relie ces points par une ligne brisée, on a un profil analogue aux courbes géométriques, et qu'on désigne, pour cette raison, sous le nom de courbe statistique.

Au contraire, pour les répartilions dont le cadre est qualitatif et dont par conséquent une seule donnée est numérique, il vaut mieux renoncer à la représentation par courbes, et utiliser soit les cartogrammes, soit des images analogues aux cartogrammes moins le cadre géographique : teintes dégradées, lignes ou surfaces proportionnelles aux grandeurs du phénomène seul”.

Une dernière et plus importante classification des séries statistiques est celle qui prend en considération les fluctuations dans le nombre des observations faites. On peut distinguer, à ce point de vue, deux grands types de séries : celles pour lesquelles limportance numérique des groupes d'observation varie conformément à la loi des erreurs accidentelles, et celles pour lesquelles les chiffres relevés ne se conforment pas à cette loi. Ce rapprochement, surprenant au premier abord, appelle quelques

‘ Cette règle, que nous observons dans notre graphique B, n’est pas toujours suivie. Dans le Reïichsarbeïtsblatt, par exemple, les graphiques représentant. tous les trois mois, les pourcentages de chômage des différentes fédérations professionnelles sont établis sous forme de ligne brisée, Ce procédé permet de diminuer les dimensions des graphiques et de représenter les variations simultanées de plusieurs grandeurs sans trop nuire à la clarté. Il ne saurait, pourtant, en raison de son inexactilude théorique, être recommandé.

commentaires montrant comment il est possible et quel est son intérêt.

C. — Rapprochement des séries statistiques et de la loi des erreurs accidentelles d'observation.

J. La loi des erreurs accidentelles d'observation. — On sait que lorsqu'on observe un grand nombre de fois un même phénomène, par exemple la déclinaison d’une étoile, l’imperfection des moyens d'observation fait qu’on ne trouve pas toujours le même résultat, mais bien une série de valeurs légèrement différentes entre elles.

Si l’on recherche alors comment les valeurs observées se répartissent autour de leur moyenne, on constate que cette répartition est assez régulière; que, d’une façon générale, les valeurs proches de la moyenne sont celles qui sont observées le plus souvent, qu’au contraire plus une valeur diffère, en plus ou en moins, de la moyenne, plus rarement elle est observée. Si l’on représente cette répartition par une courbe statistique dont les abscisses mesurent les valeurs observées el les ordonnées les nombres d'observations, on constate que la valeur moyenne correspond, à très peu près, à l’ordonnée maxima, et que, de part et d'autre de celle-ci, la courbe décroit régulièrement et rapidement.

Le profil ainsi élabli est, on le voit, analogue à celui qu’on obtient lorsqu'on représente les probabilités régulièrement décroissantes, autour d’une probabilité maxima, des répétitions d’un phénomène pouvant également se produire ou ne pas se produire, el l'on peut dire que la courbe des erreurs accidentelles représente un cas particulier des courbes de probabilités.

11. Comparaison des courbes statistiques avec Ja courbe des erreurs; son intérêt. — La courbe des erreurs étant, comme l'indique notre description, une courbe de réparlition à variable numérique peut être directement comparée à toute autre courbe de ce même type. Quant aux séries stalistiques qui ne peuvent èlre représentées par une courbe de cette nature, on peut toujours répartir leurs éléments selon l’importance numérique de chacun d'eux, et obtenir ainsi la matière d’une comparaison avec la courbe des erreurs.

Soit, par exemple, une série de succession formée par cinquante taux annuels de natalité. On peut considérer ces cinquante taux indépendamment de leur date, les répartir en catégories d’après leur valeur, et établir une série du type suivant : tant de taux entre les valeurs a et b, tant entre les valeurs à et c, etc. Le procédé consiste, on le voit, à prendre comme attribut l’imporlance numérique des observations primitivement faites et à considérer comme nouveau phénomène le nombre de fois que chacune de ces valeurs numériques a été observée. C'est exactement la méthode que nous avons employée précédemment pour rechercher si les valeurs des taux de chômage se répartissaient, ou non, selon la loi des erreurs.

La comparaison des courbes stalistiques avec la courbe des erreurs accidentelles jette sur les observations faites une grande lumière. Elle montre si, aux variations de l’'attribut, correspondent, dans les observations faites, des différences significalives ou non. Si les chiffres relevés ne différent pas entre eux autrement que ne le comporterait la loi de probabilité, nous en augurons légitimement que P’influence de l’altribut sur le phénomène est insignifiante et négligeable; si, au contraire, nous constatons dans les chiffres observés des changements de valeur considérables, et si les observations ne se répartissent pas

selon la loi des erreurs accidentelles, c’est, apparemment, qu'il y a une action du fait considéré comme attribut sur le phénomène. Qu'est cette action, nous ne pouvons le dire, mais nous savons au moins qu'il y a là un rapport à étudier.

111. Autre qualification des séries soumises ou non à Ja loi des erreurs accidentelles : séries homogènes et hétérogènes. — On peut présenter la même idée sous une forme encore plus catégorique, en disant des séries statistiques qu'elles sont ou homogènes, ou hétérogènes. Lorsque les observations se répartissent dans le cadre élabli conformément à la loi des erreurs, on peut, semble-t-il, affirmer qu’elles portent sur un seul et même phénomène et c’est pourquoi la série peut être dite homogène. Si, au contraire, les groupes d'observations diffèrent entre eux, plus et autrement que ne le comporterait la loi des erreurs, on ne peut être assuré qu'il s'agisse du même phénomène : chaque chiffre de la série peut être considéré comme relatif à un phénomène distinct, et la série peut être dite hétérogène.

Ce jugement porté sur l’homogénéité ou l'hétérogénéité des courbes est d’ailleurs entaché de subjectivisme. Dire qu’une courbe ressemble ou ne ressemble pas à la courbe théorique des erreurs, c’est constater un fait; dire qu'ii y a homogénéité lorsque cette ressemblance existe ou inversement identifier dissemblance et hétérogénéité, c’esl exprimer une opinion. Que vaut cette opinion, nous n’avons pas actuellement à nous le demander; nous avons seulement voulu l'indiquer, parce qu’elle est à la base de certains raisonnements mathématiques, que nous exposons plus loin, et qui ont trait à la mesure de la ressemblance des séries statistiques.

IV. Fréquence de la ressemblance des courbes statistiques et de la courbe des erreurs accidentelles. —— Un des plus féconds

enseignements de la statistique moderne est d’avoir montré que les fluctuations de valeur des phénomènes sociaux tendent souvent à se répartir autour de la valeur moyenne de chacun de ces phénomènes selon la loi des erreurs accidentelles. Lorsqu'on ne fait d’un phénomène que quelques observations isolées, cette régularité n’apparaît pas; on constate un certain nombre de valeurs différentes, et il semble que le phénomène n’obéisse à aucune loi fixe ; lorsque, au contraire, on répète l’observation un grand nombre de fois, on s'aperçoit que le phénomène a une valeur normale à peu près constante, dont il ne s’écarte que par exception. Cette distinction du normal et de l’accidentel est une première étape dans la découverte des lois sociologiques.

$ IT. — DE LA MESURE DE LA RESSEMBLANCE EXISTANT ENTRE DEUX COURBES STATISTIQUES ANALOGUES A LA COURBE DES ERREURS.

Intéressant en lui-même, le rapprochement des séries statistiques et de la courbe des erreurs éclaire, en outre, le problème particulier que nous étudions ici, celui de la mesure de la ressemblance existant entre deux séries statistiques. C'est, en effet, la ressemblance de deux séries conformes à la loi des erreurs qui, historiquement, a été étudiée la première, et la question qui se pose est celle de savoir dans quelle mesure les conclusions auxquelles on est arrivé pour ce cas particulier de ressemblance sont applicables à d’autres séries statistiques.

À. — Champ exact de la recherche et son intérêt.

Avant d'aborder ce problème délicat, il est bon de le délimiter exactement. La ressemblance que nous nous proposons d'étudier n’est pas, en effet, celle de séries sta-

Uüsliques quelconques, mais seulement celle de séries ayant la même variable.

Dans notre cas particulier, la variable est l'occupation professionnelle ; nous y distinguons autant de modalités qualitatives qu’on peut former de familles industrielles bien déterminées, etnous recherchons d'abord comment varient d'une famille à lautre, d’une part le chiffre total des salariés hommes, d'autre part le chiffre des salariés privés d'emploi. L'examen de cette double répartilion, synthétisée dans la différence des taux de chômage d'une famille industrielle à l'autre, est destiné à nous renseigner sur les rapports existant entre le chômage et la profession. Mais, comme un seul renseignement serait insuffisant, nous faisons une seconde expérience el comparons ses résultats avec ceux de la première répartition. Cela impiique donc bien que le cadre des observations doit être le même dans les deux séries statistiques ou, en d’autres termes, que les deux séries ont la mème variable.

L'intérêt” de la recherche -ainsi conçue-a-déjà- été indiqué précédemment. Si le même phénomène, à savoir, en l’espèce, le taux de chômage, prend plus d’une fois, dans des circonslances semblables, la même valeur, cela tend à prouver qu'il y a un lien constant entre les circonstances en question et le phénomène lui-même. La ressemblance constatée d’une série d'observations à l’autre nous met donc sur la trace de rapports de causalité *:

Le même résultat est atteint d’une façon encore plus

! Remarquons, avant d'aller plus loin, que, sur les quatre types de séries statistiques antérieurement distingués, il en est un pour lequel des comparaisons comme celle dont nous parlons ne serait pas possible. C'est le type des séries de succession. La variable « temps » est en effet constamment changeante. Si l’on observe deux fois un même phénomène, ce ne peut étre au méme moment; et, par conséquent, le cadre des observations n’est plus identique à lui-même. Au contraire on peut observer à deux reprises le même phénomène dans un cadre de lieu ou dans un cadre de répartition quelconque.

évidente dans une autre hypothèse, plus fréquemment envisagée par les statisticiens que celle qui nous intéresse: c’est lorsque, dans le même cadre, deux séries statistiques se rapportant à deux phénomènes différents sont comparées. On aperçoit alors, non seulement le rapport respectif des deux phénomènes observés avec le phénomène indice, mais aussi leur rapport éventuel entre eux. Supposons, par exemple, qu’on relève pour 10.000 conscrits d’une part la taille, d'autre part le tour de poitrine, et qu'on établisse les deux séries suivantes :

SÉRIE Î SÉRIE II CR TRE Dane A EN AE ER Liste Tailles mesurées Liste Tours de poitrine des conscrits cn des conscrits mesurés

centimètres en centimètres

et ainsi de suite.

Ces deux séries, convenablement rapprochées, peuvent nous montrer si, en règle générale, les tailles et les tours de poitrine varient ou non simultanément; et, si c’est le cas, il est raisonnable d'admettre que ces deux caractères physiques dépendent d’un facteur commun’. La nature

! En opposilion avec l'exemple mentionné dans le texte, on pourrait imaginer les deux séries suivantes :

SÉRIE I SÈRIE Il EE Sr Nombres Tailles Nombre destours Tours de poitrine et AT mesurées de poitrine mesurés ailles de chaque en de chaque F < dimension centimètres Er CHSCEATAS TES X m X m’ ii n dé n’ Z p A p’

et ainsi de suile.

Un instant de réflexion suffit pour voir que ces deux séries rapprochées ne peuvent rien nous apprendre quant à la connexité éventuelle de la taille et du

tour de poitrine. Et cela tient précisément à'ce qu'il n’y a pas de variable commune.

exacte du lien qui les unit est d’ailleurs difficile à préciser et l’on peut, dans le doute, se contenter de dire qu'il existe entre eux une certaine corrélation‘. Plus la ressemblance constalée entre les deux séries de chiffres sera grande, plus grande sera la probabilité de cette corrélation el, inversement, moins il y aura de chances pour que les phénomènes aient entre eux un rapport constant.

Cette forme spéciale de ressemblance ayant élé beaucoup plus étudiée jusqu'à présent que la ressemblance de séries relatives à un seul et même phénomène, il est plus commode pour nous d'indiquer d’abord la solution à laquelle on est arrivé dans le cas où les phénomènes observés sont différents. Nous aurons ensuite à rechercher comment appliquer les procédés indiqués à notre hypothèse particulière.

Les travaux relatifs à cette question ont en général un caractère mathématique très abstrait. Nous excusant de devoir suivre leurs savants auteurs sur ce terrain, qui n’est pas de notre compétence, nous ne prétendons pas apporter ici, au point de vue mathématique, quoi que ce soit de nouveau. Notre seul désir est de présenter, dans leur enchaînement logique, et de discuter, à l’aide du simple bon sens, les résultats auxquels on a abouti. Nous nous appuierons pour cela principalement sur les travaux de l'école anglaise, qui révèlent mieux que les autres, nous semble-t-il, la genèse de la formule vers laquelle les différents auteurs convergent *.

1! Ce mot de corrélation est celui qu'emploient en général les auteurs anglais ; le psycho-physicien ailemand FEcaxer parle de « dépendance » ; M. Lucien Marca (Remarques sur la terminologie en statistique, Journal de la Société de statistique de Paris, septembre 1908, p. 295) préfère celui, plus objectif, de « co-variation ».

* Citons parmi ces travaux GaLTow, Family likeness in stature (Proceedings of the Royal Society, 1886 ct 1888); K, Pearson, Contribution tothe theory of evolution (Transactions of the Royal Society, 1896) ; U. Yure, The Theory

B.— Traitement du problème de la corrélation par l'école anglaise.

Préoccupés d'établir une formule scientifiquement irréprochable, les auteurs anglais ne considèrent d’abord, parmi les courbes statistiques, que celles qui donnent prise au raisonnement mathématique et spécialement celles dont le profil se rapproche de celui de la courbe théorique des erreurs. Se limitant ainsi, ils peuvent utiliser, pour mesurer la ressemblance des séries, le calcul des probabilités. Cette méthode, scrupuleusement scientifique, est, il est vrai, difficile à manier. Le passage des courbes mathématiques d’abord étudiées aux courbes statistiques réelles est plein de dangers. Certaines notions théoriques importantes, comme celle de la probabilité plus ou moins grande des coïncidences, perdent toute précision dès qu'on n'envisage plus toutes les combinaisons mathématiquement possibles des événements observés. Comme, de plus, l'hypothèse originelle est très particulière, on peut se demander dans quelle mesure la solution trouvée peut êlre appliquée à des cas moins spéciaux. Quoi qu'il en soit de ces difficultés, voici dans quelle forme a été traité par l’école anglaise le problème qui nous occupe.

of correlation, in Statistical Journal, déc. 1897; A.-L. BowLey, Elements of Statistics, London, 1901.

Le précurseur de ces recherches semble avoir élé le Français Bravais, dont les travaux remontent à 1837. Du côté allemand, la principale contribution est celle de FEcaner dans sa Kollektivmasslehre, Leipzig, 1897. Citons enfin les travaux plus récents de M. Lucien Marc, en particulier : Les représentations graphiques et la statistique comparative (Communications faites à la Société de Statistique de Paris en 1904-1905), Nancy, Berger-Levrault, 1905. L'analyse des travaux de M. Marcn ainsi que les commentaires oraux que leur auteur a bien voulu nous fournir, nous ont été, pour la rédaction du présent chapitre, de la plus grande utilité.

Nous devons également tous nos remerciements à M. M. Huger, statisticien du Ministère du Travail, qui nous a aplani les difficultés mathématiques du sujet. A l'étranger, enfin, nous avons trouvé de précieux conseils auprès de MM. A.-L. Bowzey, Parero et BoniINsEGxI, et Lenons à leur exprimer ici notre gralitude.

Soient deux séries d'épreuves, portant l'une sur un phénomène A et l’autre sur un phénoméne B, et donnant toutes deux des résultats tels qu'on puisse appliquer le postulatum de Gauss, et prendre comme valeurs les plus probables des deux phénomènes les moyennes des déterminations obtenues d’une part pour À, de l’autre pour B. Supposons qu'on fasse une nouvelle épreuve qui donne pour À une détermination présentant un écart x, par rapport à la moyenne : quelle est la probabilité d'obtenir pour la valeur de B un écart x,?

Si les deux phénomènes A et B sont entièrement indépendants, s’il n’y a entire eux aucune corrélation, la réponse est simple : le fait d'obtenir pour À un écart x; ne modifie nullement la probabilité d'obtenir pour B un écart x,, et la probabilité composée » que les deux mesures fournissent précisément ces deux écarts est égale au produit des deux probabilités d'obtenir séparément l'écart x, sur A et l'écart x, sur B.

Si, au contraire, les phénomènes A et B ne sont pas indépendants, s’il existe entre eux une certaine corrélation, lorsqu'on fera une épreuve nouvelle, le fait d’avoir obtenu pour À un écart x, fait que, dans la mesure de B, certains écarts seront plus probables que d’autres. Autrement dit, la probabilité d’avoir, pour A et B, les écarts x, et x, n’est plus égale au produit des probabilités d'obtenir séparément l'écart x, et l’écart x».

En faisant, pour soumettre la question au calcul, cer-

", on peut calculer la

taines hypothèses simplificaltrices probabililé P que les deux mesures fournissent l’écart x sur À et l'écart x, sur B.

La comparaison des expressions mathématiques de

{ On admet que les écarts x, el x, sont des fonctions linéaires d’un certain nombre de variables, ou, en d'autres termes, que les phénomènes A et B dépendent linéairement d’un certain nombre de causes communes.

p et de P montre alors que l’accroissement de la probabilité est en raison directe de la valeur de l'expression :

— si Xa Xb

Tr — N: 9 > 9

Les variations de r servant d'indice aux variations de

la probabilité composée cherchée, r est dénommé coefficient de corrélation. On démontre que sa valeur absolue varie entre — 1 et + 1. Plus r approche de l'unité, plus grande est la probabilité d'obtenir un écart donné + x, ou — x, pour B quand on a déjà obtenu pour À un écart Xa.

La valeur de r n’est d’ailleurs qu’une valeur probable et sa probabilité peut être faible. On peut alors, en calculant l'écart probable de r, déterminer les limites entre lesquelles r a une chance sur deux d’être compris.