C. — Argument de bon sens à l'appui de la formule trouvée

Les mathématiciens qui ont donné la formule du coefficient de corrélation ajoutent une remarque, secondaire à ieurs yeux, capitale pour nous. Ils font remarquer que le coefficient :

di Xa Xp

= VE Aa: > Fe

apparaît, a priori, comme une bonne mesure de la ressemblance existant entre deux séries d’écarts.

En effet, disent-ils !, l'expression :

> sd Ya Xp « & VE ME y > cer

! Cf. Bowrey, Elements of Statistics, section VI, p. 320.

COURBES ANALOGUES A LA COURBE DES ERREURS 117 peut s’écrire

Xai Xpi + Xa2 X ba — ss.

VS x D x

Lorsque les écarts x; et x; sont tous deux des écarts

posilifs ou des écarts négatifs, c'est-à-dire sont de même signe, leur produit est positif et vient grossir le numérateur du rapport. Si, au contraire, ils diffèrent dans leurs signes, leur produit est négatif et diminue le numérateur. La valeur de la fraction augmente donc quand il y a similitude de signe, et diminue quand il y a dissemblance, ce qui est logique. En même temps, le dénominateur donne aux écarts leur valeur relative, qui seule importe, et maintient la valeur du rapport entre — 1 et + 1. |

Celte remarque ramène notre atlention sur une vérité que le raisonnement mathématique avait voilée, à savoir que la corrélation de deux phénomènes dont les valeurs s’ordonnent selon la loi des erreurs, se ramène à la ressemblance de deux séries d'observations de ces phénomènes, observations groupées par couples, d’après les valeurs que prend une variable commune.

Le coefficient de corrélation, trouvé à l’aide du calcul des probabilités, ne faisait en somme que mesurer cette ressemblance. La formule établie indique, en effet, qu’on considère les écarts donnés par l’expérience et qu'on les groupe. par couple : xu avec Xs; Xa AVEC Xp, ClC... Supposons qu'il y ait, au sein de chaque couple, ressemblance parfaite; il y a alors tout lieu de penser que cette ressemblance se retrouvera dans les nouvelles expériences. D'autre part, cetle ressemblance parfaite donne au coefficient la valeur 1; de là, l'affirmation que, quand le coefficient prend la valeur 1, la corrélation est parfaite. De mème si, au lieu d’avoir la valeur 1, le coeffi-

cient prend la valeur — 1, cela indique que, dans le passé, les écarts de valeur constatés pour À et pour B ont élé égaux, mais de signes contraires; il y a eu non pas ressemblance, mais antisymétrie ; et puisque cette antisymétrie a été parfaite dans le passé, on est fondé à affirmer qu'elle se retrouvera dans lavenir.

Sous la corrélation calculée à l’aide du calcul des probabilités, nous retrouvons, en un mot, la ressemblance de deux séries de répartition ayant la même variable, et cette constatation de bon sens rend la formule trouvée plus intelligible au lecteur non mathématicien. Mais ne peut-il donc y avoir ressemblance que si les courbes de réparlition se conforment à la loi théorique des erreurs ? Evidemment non. De même, nous l'avons vu, il peut être intéressant de comparer deux courbes se rapportant à un seul et même phénomène et non à deux phénomènes différents.

Peut-on légitimement, dans ces nouvelles hypothèses, mesurer numériquement la ressemblance des séries statistiques ? Peut-on utiliser pour procéder à celte mesure le coefficient :

ai Na Xp 2x > Xa Li Xb

D’autres procédés de calcul ne sont-ils pas préférables ?

Telles sont les questions qui se posent, dès qu’on a fait le tour du problème particulier résolu par l’école anglaise.

$ II — DE LA RESSEMBLANCE DES COURBES STATISTIQUES NON CONFORMES A LA LOI DES ERREURS ET DE LA MESURE DE CETTE RESSEMBLANCE.

A.— De la légitimité des mesures portant sur la ressemblance des séries statistiques peu régulières. |

Avant d'appliquer à toutes les séries statistiques ayant la même variable un procédé quelconque, destiné à mesurer leur ressemblance, on peut se demander si cette opération est, en principe, légitime. Nous avons supposé, dans tout ce qui précède, que les séries comparées se référaient chacune à un seul phénomène, mais comment être certain qu'il en est ainsi? Comment être certain que telle ou telle série de chiffres, très irrégulière, vise bien un seul phénomène? Ne doit-on pas, au contraire, dans ce cas-là, présumer l'hétérogénéité des observations failes ? Nous avons précédemment indiqué ce point de vue. On peut, si on l’adopte, opposer, le cas échéant, à tout coefficient de ressemblance quel qu’il soit, une objection de principe: à savoir qu'il mesure une ressemblance globale et que cette ressemblance, si elle concerne plusieurs objets distincts, est dénuée de sens. On ne songerait pas à faire la moyenne des ressemblances existant d’une part entre deux hommes, d’autre part entre deux animaux ou deux objets. Notre coefficient de corrélation n’aboutit-il pas à une notion aussi absurde?

C'est là, on le voit, la grande querelle des moyennes qui reparaît. Il est certain que le coefficient de corrélation mesure une ressemblance moyenne. Admettons que les ressemblances ainsi rapprochées soient celles de couples hétérogènes. Cette hélérogénéité est-elle trop accentuée pour que l'opération faite ait un sens?

C'est là une question d'espèces, et la réponse dépend surtout de l'emploi qu’on fait de la moyenne. Considérée dans sa valeur absolue, une mesure de la ressemblance moyenne de deux séries comme celles que nous avons étudiées n'aurait sans doute pas grand sens. Ïl nous paraît au contraire légitime de létablir pour la comparer à la fonction correspondante de deux autres séries : sa valeur relalive signifie quelque chose.

Reste à savoir si le coefficient particulier

= Lu X a X5

+ VE nor > Xe:

que nous dénommerons dorénavant, pour être plus bref, le coefficient classique, et qui a été établi en se référant expressément à des courbes du type « courbe des erreurs », peut être légitimement employé pour mesurer

la ressemblance de séries statistiques quelconques, — ou si d’autres formules ne doivent pas lui être préférées.

B. — De l'extension de l'emploi du coefficient classique aux séries non conformes à la loi des erreurs accidentelles.

Il semble, a priori, logique de ne pas transférer hors du calcul des probabilités une formule établie à l’aide de ce calcul. Ce point de vue est celui de MM. Pareto et Boninsegni'; au contraire, M. L. March, dans sa brochure déjà citée, cherche à démontrer la possibilité d'appliquer le coefficient classique à toute espèce de séries statistiques.

La vérité nous paraît se trouver entre les deux opinions extrèmes. Le coefficient classique peut être envisagé, en effet, sous deux aspects. Il est, d'une part, la mesure la

! I nous a été indiqué au cours d’entreliens particuliers que ces messieurs ont bien voulu nous accorder,

plus probable de la corrélation existant entre deux séries de valeurs distribuées selon la loi des erreurs accidentelles : mais il est en même temps, nous l'avons vu, une mesure de la ressemblance de deux séries statistiques quelconques, ayant la même variable. Il serait sans doute hors de propos, lorsqu'on le considère sous ce deuxième aspect, de parler de sa « probabilité » ou de son « écart probable ». Mais on peut, sous cette importante réserve !, rechercher quelle est, comme simple indice de ressemblance, sa valeur propre.

J. Premier inconvénient du coefficient classique : il porte sur les écarts existant entre les valeurs et leurs moyennes respectives. — Le grave défaut du coefficient classique, lorsqu'on le considère comme indice de ressemblance, est qu’il porte non pas sur la ressemblance des séries à comparer, mais sur la ressemblance de séries dérivées des premières, à savoir : les séries des écarts séparant chaque valeur observée des moyennes respectives des deux séries primilives.

Il y a là une complication très grande d’une matière déjà fort ardue. Un exemple imaginaire ne sera pas inutile pour bien faire saisir la superposition d’abstraction à laquelle on arrive ainsi.

Supposons que nous ayons, dans un cadre à cinq compartiments, les deux séries d'observations suivantes :

! Ji nous paraît nécessaire d’insister sur cette restriction, qui n’est pas toujours faite avec assez de netteté. Si deux séries n’cbéissent pas, dans la répartition de leurs valeurs respectives, à la loi des erreurs, on ne doit pas calculer l'erreur probable du coefficient de corrélation. La solution bâtarde qui consiste à calculer cette erreur probable et à mettre, en même temps, le lecteur en garde contre le caractère illusoire de ce calcul est également à rejeter. Son seul effet serait de rendre le lecteur sceptique à l'égard de toute application, même légitime, de ces procédés d'investigation statistique.

Tableau «

VALEUR VALEURS ABSOLUES des observations faites de la variable

Série I Série II

e 490 2.110 otatx 3.220 8.020

Avant de vouloir comparer les chiffres des séries I et IT, il faut leur substituer leurs valeurs relatives, par rapport aux moyennes, lesquelles sont respectivement 644 et 1604'. Nous devons donc considérer, au lieu du tableau ci-dessus, le tableau ci-dessous :

Tableau & VALEURS VALEURS RELATIVES des observations faites de la variable D TR Série I Série II a 0,99 0,82 b 1,25 0,80 c 1,20 0,79 d 0,80 4,27 e 0,76 1,52 Totaux... 5,00 5,00

Si, maintenant, nous voulons former le coefficient classique, nous devons d’abord substituer aux chiffres relatifs ci-dessus la troisième espèce de données que voici :

‘ C’es! là, on le sait, un postulat fondamental en matière de comparaisons statistiques; voir, entre autres, Marc, loc, cit., p. S et 15, citant Cueysson, in Journal de la Société de statistique de Paris, avril 4887.

T'ableau Y

ECARTS VALEURS ENTRE LES VALEURS RELATIVES et leurs moyennes respectives.

de la variahle 7 rm

Série I Série II a — — 418 b + 25 — 20 re + 20 — 21 d — 20 + 27 e — 24 + 32

Hotaux ce. 0 0

Enfin, pour comparer ces deux nouvelles séries entre elles, la règle indiquée au sujet du tableau « doit ètre appliquée derechef, c'est-à-dire que nous devons substituer à chacun des écarts notés sa valeur relative par rapport aux moyennes respeclives des deux séries. Celles-ci sont de 18 pour la série [ et de 23,6 pour la série IT; nous sommes donc finalement amené à considérer le tableau suivant :

Tableau à F VALEURS RELATIVES DES ÉCARTS VALEURS par rapport de la à leurs moyennes respectives

ë TS ES

variable Série L Série IL a — 1/18 —18/23:6 D + 25/18 — 20/23.6 Ce + 20/18 — 21/23.6 d — 20/8 + 27/23.6 e — 1/18 + 32/23.6

La comparaison de ces deux séries, que réalise le coefficient classique, nous renseigne, cela est certain sur la ressemblance des chiffres inscrits au tableau y et, par suite, sur celle des chiffres des tableaux $ et x. Mais il faut reconnaitre que le procédé manque de

simplicité et facilité, par là même, les erreurs et les

malentendus.

11. Deuxième’inconvénient du coefficient classique : il définit la ressemblance d’une façon trop particulière. — Les chiffres à comparer étant ainsi déterminés, il s'agit d'effectuer la comparaison; et ici se pose la queslion capitale de savoir si les variations du coefficient donnent de celles de la ressemblance elle-même une notion satisfaisante. Sur ce point, l'argument de bon sens, indiqué plus haut, a déjà répondu sommairement; mais il est nécessaire de revoir les choses de plus près. La brochure de M. March sur Les ressemblances graphiques et la statistique comparative va nous y aider. Dans cette étude, M. March se place volontairement, en effet, en dehors des conditions du calcul des probabilités, et se propose de mesurer la ressemblance de deux courbes statistiques quelconques. S'il arrivait, au cours des raisonnements faits dans ce but, à retrouver comme indice de ressemblance le coefficient classique, la cause de celui-ci serait gagnée; mais nous ne croyons pas que ce soit le cas. Deux démonsirations successives sont pourtant présentées dans ce sens. Mais, de ces deux démonstrations, la première comporte, dans l’enchaîinement des formules mathématiques, une solution de continuité qui la rend partiellement inutilisable, et elle aboutit seulement au coefficient

ai Na Xp

SRE TE pe L's —- Æd Xp

Quant à la seconde démonstration qui, elle, aboutit bien au coefficient classique, elle repose tout entière sur les conventions suivantes :

1°) On décide de considérer comme semblables tous les écarts de même signe, et comme dissemblables tous les écarts de signes contraires ;

2°) On décide, en outre, de mesurer chaque ressem-

blance ou chaque dissemblance par le produit - . er =

symbole dans lequel #7, représente une fonetion des x, el myune fonction semblable des x,‘ ; la ressemblance moyenne est alors égale à la somme algébrique des produits:

Xa Xb

Mas IN

divisée par le nombre des couples, ce qui donne au

coefficient la forme = À Æ X a Xp,

ñn Ma Mb

3° On détermine enfin la valeur de #, el de m, par cette seule condition que, lorsque les x, et les x; sont deux à deux égaux et de mème signe, le coefficient prend la valeur 1. Cette dernière convention étant faite, on ramène aisément le coefficient

ù PDEFEN NÉE Re Xa Xb RE | forme

nl Ma Mb S Xe. PE

Le seul exposé de cette méthode indique notre cri-

tique :

! M. Marcx désigne ces fonctions comme étant les valeurs moyennes des variations comparées; mais d'autre part, pour que son coefficient prenne la valeur 4 dans le cas où la ressemblance des écarts comparés est parfaite, il est amené à donner à ces mêmes fonctions les valeurs,

Ce ne sont donc pas, à proprement parler, des moyennes, mais bien une autre fonction des séries considérées.

La dernière convention admise assure bien au coefficient la valeur 1 dans le cas de la ressemblance parfaite, mais ne nous garantit nullement qu'il soit sensible à toutes les nuances dans la ressemblance ou la dissemblance moyenne des séries. Nous n’en voulons pour preuve que le pelit exemple ci-après, choisi, il est vrai, à dessein :

VALEURS ECARTS ENTRE LES VALEURS RELATIVES et leurs moyennes respectives Eee Série I Série II

de la variable

>= æ QI

Totaux.....

Pour ces valeurs, on trouve en effectuant les calculs D SEE: 490 VS ns A5 pæ ne dd LE.

c'est-à-dire que le coefficient indique une ressemblance

presque parfaite qui ne cadre guère avec la physionomie des écarts eux-mêmes. Tächons de dégager de ce cas particulier l’enseignement qu’il comporte, et nous pouvons dire, croyons-nous, que, si l’on a affaire à des écarts tous concordants, ou tous discordants, une très grande différence des écarts peut ne pas empêcher le coefficient de prendre des valeurs proches de 1 ou de — 1.

La critique précédente se ramène d’ailleurs elle-mème à celle-ci plus générale et visant les deux premières conventions faites : identifier la ressemblance des séries primilives avec celle des écarts que font les valeurs absolues avec leurs moyennes respectives, utiliser, d'autre part, pour

mesurer cette ressemblance, le procédé de la multiplicalion, c'est accorder aux signes de ces écarts une importance excessive.

111. Domaine limité du coefficient classique. — Faut-il, des diverses critiques qui précèdent, déduire que le coefficient classique est, d'une façon générale, un mauvais indice de ressemblance, et qu’on doit, par suite, limiter exclusivement son emploi aux cas pour lesquels il a été construit? Ce serait aller trop loin. Il y a, en effet, certaines séries statistiques n’obéissant pas à la loi des erreurs accidentelles et pour lesquelles, pourtant, le coefficient classique peut être ulilisé avec avantage. Ce sont les séries relatives à des phénomènes dont les intensités sont susceptibles d’être reliées entre elles par un rapport inverse, comme, par exemple, fréquentation des écoles et pourcentage d'illettrés, activité commerciale et chômage, etc. Si, lorsque les valeurs du phénomène A se chiffrent par 101, 102, 103, etc., celles du phénomène B tendent à descendre à 99, 98, 97, etc., il y a là un antiparallélisme qu'il est important de noter, et cet antiparallélisme est mis vigoureusement en relief par le coefficient classique *. Mais son usage nous paraît devoir être limité aux hypothèses de ce genre.

JV. Autres coefficients possibles et parfois préférables. — Le domaine du coefficient classique étant ainsi limité, on ne manque pas d’autres coefficients possibles, qui conviennent mieux que lui à telles ou telles formes particulières de

1! En effet, les écarts des valeurs du phénomène A, par rapport à leur moyenne sont affectés, dans l'hypothèse que nous venons de faire, d’un signe positif, ceux des valeurs du phénomène B d’un signe négatif, et cette différence de signes donne au coefficient une forme négative.

ressemblance. C’est ainsi que M. March indique un système très simple, recommandable si le signe des écarts a beaucoup d'importance, et qui consiste à ne considérer que ce signe : on compte le nombre C des concordances de signe et le nombre D des discordances, et on forme le rapport

Cab:

Lorsque tous les signes concordent, le coefficient prend la valeur 1; il prend la valeur O quand il y a autant de concordances que de discordances, et la valeur — 1 pour l’anliparallélisme des signes.

M. March, à la suite de Fechner, montre en outre qu'il y a signes et signes, et que le signe des écarts par rapport à la moyenne n'est pas le seul intéressant. Pour les séries de succession, les plus fréquemment considérées des séries statistiques, il y a un grand intérêt à rechercher le sens des variations successives. Si deux phénomènes, considérés dans la mème série d'années, passent par des variations successives de même sens, augmentent ou diminuent de valeur ensemble, il y a là une concomitance si remarquable qu'elle peut à bon droit ètre considérée comme de la corrélation, et cela lors même que lon ne prendrait pas en considération la valeur même des varialions. Dans cette hypothèse, le signe des variations successives l'emporte en intérêt sur le signe des écarts par rapport à la valeur moyenne *.

Il y a enfin des cas où les questions de signes, signe

! Dans toute la première partie de son étude, M. Marcn rétudie que ces variations successives, Il leur applique, mutatis mutandis, le coefficient classique, ce qui paraît élargir beaucoup le domaine de ce dernier. Il nous semble préférable de ne pas confondre ces deux types de ressemblance : ressemblance des variations successives et ressemblance des écarts par rapport à la moyenne. L'application de la formule classique aux variations successives se heurte d’ailleurs aux objections indiquées pour les écarts.

des variations successives ou signe des écarts, n’ont pas d'intérêt. Ce sont ceux où l’antiparallélisme des phénomênes est improbable ou inadmissible a priori. Si l’on compare deux phénomènes très semblables, ou mieux deux fois le mème phénomène, il serait absurde de rechercher si, pour la même variable, les variantes prennent des directions antiparallèles. Dans cette hypothèse, le coefficient classique, ou les autres coefficients que nous venons de mentionner, seraient franchement mauvais. Il faut donc en imaginer d’autres, visant seulement la ressemblance parallèle. C’est ce que nous avons fait dans notre travail qui porle sur deux mesures du même phénomène.

À côté du système que rrous avons adopté, on pourrait en imaginer d’autres. On pourrait, par exemple, décider de mesurer non pas le rapport des valeurs entre elles, mais leur différence ou le carré de leur différence. L'indice qui serait obtenu ainsi aurait le désavantage de ne pas comporter de limite supérieure fixe.

On pourrait encore, au lieu de mesurer comme nous le faisons le rapport moyen des valeurs, prendre la moyenne des rapports au sein de chaque couple ‘. Ce système donne aux divers rapports considérés isolément un peu plus d'importance qu’il ne nous paraît convenable.

On pourrait aussi définir conventionnellement et sommairement la ressemblance et la dissemblance : déclarer semblables, par exemple, tous les taux dont l’un vaut plus de 50 0/0 de l’autre, et dissemblables ceux pour lesquels ce rapport est inférieur à 50 0/0. On comparerait alors le nombre de ressemblances au nombre total d’observations, et l’on obtiendrait ainsi un coefficient très simple,

‘ Ce système, appliqué aux écarts, est mentionné par M. Marcn. Cf. loc. cit., p. 27, note 1.

semblable dans sa forme à l'indice de dépendance de Fechner.

Il serait fastidieux de chercher encore d’autres combinaisons, et le but de ce chapitre est atteint si nous avons montré qu’il était légitime de mesurer la ressemblance de nos deux séries de taux, lors même qu’elles seraient hétérogènes, et que le coefficient choisi par nous était mieux adapté au cas particulier dont il s'agissait que le coefficient classique trouvé par le calcul des probabi-

lités.