TRACÉ DES PROFILS DES NERVURES

lignes Si, S 2 , S 3 ... qui, par leurs intersections avec les perpendiculaires I, il, 111. .., fournissent un certain nombre de points de la parabole.

Fig. 286.

lignes SD et CK parallèles kAB\ du point A, comme centre, avec A S pour rayon , on décrit un cercle et on divise l’arc SE, compris entre le point S et la ligne CK, en « parties égales

Fig. 287.

(six, par exemple); on fait de même pour la ligne SD et, par les points de division 1 , 2 , 3 ... on mène des parallèles k AB, qui, par leurs intersections avec les perpendiculaires abaissées sur cette même ligne des points I, II, III ..., fournissent autant de points de la courbe cherchée.

4. Ligne élastique. On prend une règle prismatique, à section carrée (fig. 288), qu’on courbe avec beaucoup de soin, en agissant sur elle par pression, aux points À',, Ks et S; lorsqu’on

Fig. 288.

voulue , on s’en sert pour tracer la courbe. Dans les constructions

Realeaux, U Coastractour. 16

ABBBE9 EN BOIS.

d’une certaine importance, on doit faire usage de règles ayant de 20 à 30““ d’épaisseur, qu’on conserve sous l’eau. Dans les petits tracés sur les planches à dessiner ordinaires, il convient de ne pas eu employer d’une épaisseur inférieure à 5“".

5. Cardioïde. La méthode que nous allons indiquer est en usage dans un grand nombre d’usines; elle s’emploie de préférence pour tracer directement la courbe du profil sur la planche même qui est préparée pour former une nervure du modèle de l’arbre. Pour effectuer ce tracé, on commence par préparer un calibre en bois S' KEC (fig. 289), dont les dimensions C S' ■— CS et CE — CK sont données par la position des points S et K, qu’il s’agit de relier par une courbe. Après avoir fixé en C et en K deux fortes pointes, ou fait mouvoir le calibre, en ayant soin d’appuyer constamment le côté CE contre la pointe C et le côté S E contre la pointe K-, dans ee mouvement, le

Fig. 289.

point S' du calibre décrit un arc de cardioïde, qui remplit parfaitement le but qu’on se propose; en fixant au point S' un crayon en plomb, on peut obtenir directement, comme nous l’avons dit, le tracé de la courbe sur la planche qui doit représenter l’une des nervures dans le modèle.

Pour les tracés à effectuer sur les planches à dessiner ordinaires , le procédé le plus commode consiste à déterminer d’abord un certain nombre de points de la courbe, par l’une des méthodes 2 ou 3, et à la tracer ensuite au moyen d’une règle mince, qu’on courbe de manière à la faire passer par ces différents points.

Arbres en bols.

Dans les roues hydrauliques on rencontre encore un assez grand nombre d’arbres eil bois de chêne, dont la section est un polygone régulier. A l’exception des extrémités, qui doivent être

CALCUL DES ARBRES DE TRANSMISSION

disposées spécialement, d’après le mode de fixation adopté pour les tourillons (V. § 86), ces arbres sont prismatiques et leur diamètre est, par suite, en tous les points, celui qu’exige la section où se produit le maximum de tension. Pour déterminer le diamètre d’un arbre en bois de chêne, on commence par chercher celui de la tête de l’arbre en fonte, également chargé, (Y. § 87 à 96) et on multiplie ce dernier par 1,55 (c’est-à-dire par la racine cubique du rapport des coefficients de résistance de la fonte et du bois, qui sont respectivement 7,5 et 2). Le diamètre ainsi obtenu peut, dans certains cas, sc trouver trop faible, lorsque, par exemple la tête de l’arbre doit être munie de bras, fixés directement dans le bois; mais il est sutfisant lorsque la section reste pleine. Lorsque ce diamètre sc trouve inférieur à celui qu’exige la fixation des tourillons, il est nécessaire de l’augmenter et de lui donner, sur toute la longueur de l’arbre, les dimensions que réclame cette fixation. Pour les arbres de roues hydrauliques, le choix à faire entre la fonte et le bois dépend essentiellement des circonstances locales, des prix comparatifs, etc.

Exemple. Un arbre de roue hydraulique, dont la demi-portée est de 2100mm, supporte une charge telle que ses tourillons en fonte doicent a voir 90""° de diamètre et, jrar suite, 120mm de longueur. Conformément aux indications du § 88, il convient de prendre, pour le diamètre de la tête de l'arbre * 2100 */— “

en fonte: D = 90 j •= 90 y 40 = 308mm. Pour un arbre en bois, on aurait lf — 1-55-308 =» 477aa.

TI. Arbres de transmission.

Calcul des arbres cylindriques.

Dans la construction des machines, on désigne sous le nom d’arbres de transmission les arbres destinés à transmettre des mouvements de rotation. Pour que ces arbres remplissent convenablement leur but, ou doit leur donner des dimensions suffisantes pour que, sous l’action des forces qui produisent la rotation, ils n’éprouvent que des déformations extrêmement faibles. Ordinairement, en dehors des- efforts de torsion, les arbres de transmission put encore à supporter des efforts de flexion , déter-

244 CALCUL DES ARBRES DE TRANSMISSION'

rainés par les poids et les pressions des roues d’engrenages, des poulies, des leviers, etc. établis en leurs différents points. Tout d’abord nous laisserons complètement de côté ce dernier genre d’efforts et nous nous bornerons à l’établissement des formules relatives au calcul des arbres cylindriques pleins, en ter et en tonte. Si, pour un arbre de cette espèce, on désigne par P la torce qui produit le mouvement de rotation,

R le bras de levier sur lequel elle agit,

N le nombre de chevaux que l’arbre doit transmettre, n le nombre de tours par minute, d le diamètre de l’arbre,

L sa longueur, exprimée (exceptionnellement) en mètres, l’angle de torsion, en degrés,

G le coefficient de torsion (*/5 du coefficient d’élasticité),

On doit prendre, en ayant égard uniquement à la résistance:

d - Pli (96)

et, en tenant compte de la torsion:

Pour donner à l’arbre le même coefficient de sécurité qu’aux tourillons, il conviendrait, à la rigueur, de prendre pour © (V. § 5) les 4/« seulement de la tension limite admise dans le calcul de ces organes; mais comme, en réalité, l’examen de plusieurs installations soignées conduit à la même valeur pour la tension dans les deux cas, nous pouvons faire 6 *= 6 pour les arbres en fer et S = 3 pour la fonte. Ces valeurs, substituées dans la formule (96), donnent, pour les arbres en fer:

d -= 0,95 }/YË - 84,7 n «

pour les arbres en fonte:

d = 1,19 i/YË - 106,7 (99).

Relativement à la torsion, pour que la transmission s’effectue convenablement, il convient que l’angle de torsion ét ne dépasse pas Y« °, par mètre courant, c’est-à-dire qu’on doit poser d® —

-t" C>n tire alors de la formule (97),

CALCUL DES ARBRES DE TRANSMISSION

pour les arbres en fer:

d — 4,13 V'FR — 120 ponr les arbres en fonte:

d = 4,91 ÿPR - 143|/^T (101).

Dans ees expressions le quotient — se déduit du moment

statique PR, à l’aide de la relation:

60-75- 1000 N 716198 & ou 71620o — . (102).

2 un n n K '

C’est au moyen des formules précédentes qu’a été dressée la table que nous donnons ci - après, pour les arbres en fer. De la comparaison des nombres fournis par cette table, il résulte qu’un arbre, tout en présentant une sécurité complètement satisfaisante au point de vue des déformations permanentes, peut cependant n’avoir que des dimensions tout -à -fait insuffisantes au point de vue de la torsion. Supposons, par exemple, qu’un arbre, de 8” de longueur, soit sollicité à l’une de ses extrémités par une force de 10ük, agissant sur un bras de levier de 500"“ et qu’il s’agisse simplement de transmettre ce moment de rotation de 50000k“" à l’autre extrémité; d’après la ligne 2 de la table, il suffirait, pour cela, de donner à l’arbre un diamètre de 35"”. Mais, sur la même ligne, le nombre de la colonne 4, indique que ce moment est environ dix fois plus fort que celui qu’on peut admettre pour la torsion d’un arbre de ce diamètre et, d’après ce que nous avons dit précédemment, le déplacement de deux points des extrémités, situés primitivement sur la même fibre, correspondrait, dans ce cas, à un angle de 10.8. l/« —20®. Comme, d’après ce que nous avons admis, l’angle de torsion, ne doit pas dépasser l/*° par mètre courant, c’est dans la colonne 4 que nous devons chercher le moment qui nous est donné; il ne se trouve pas directement dans cette table, mais il est compris entre les nombres de la 7’ et de la 8e ligne; nous devons donc prendre, pour le diamètre, un nombre intermédiaire entre ceux qui, pour ces deux mêmes lignes, se trouvent dans la colonne 1; nous trouvons ainsi 63"" environ pour le diamètre qu’il convient de donner à l’arbre; d’après la colonne 2, au point de vue de la résistance, cet arbre pourrait être soumis à un moment six fois plus considérable.

CALCUL DES ARBRES DE TRANSMISSION

Pour les arbres d’une faible longueur, où la valeur de & est naturellement toujours très -petite, la considération de l’angle de torsion n’a qu'une importance secondaire. En principe, il conviendrait donc, dans chaque cas particulier, de tenir compte de la longueur de l’arbre, pour déterminer la grandeur de l’angle de torsion qu'on pourrait admettre comme limite.

La table que nous donnons, pour les arbres en fer, peut également servir à déterminer les diamètres des arbres eu fonte, à la condition de prendre pour d, dans chaque cas, le nombre correspondant à une valeur double de celle qui est donnée pour

PR ou — •

La charge limite admise pour l’acier étant les */, de celle du fer, il en résulte que, pour obtenir les diamètres d’arbres en acier, il suffit de multiplier ceux que la table donne, pour les

arbres en fer, respectivement par y O, G ou 0,84 et yo,6 ou 0,88, suivant qu’on les calcule au point de vue de la résistance, ou, au contraire, au point de vue de la torsion.

Remarque. Les arbres, qui sont «poses à de fortes variations de force vive, comme, par exemple, les arbres de laminoirs, de volants, etc., présentent des dimensions notablement supérieures à celles que donneraient les formules précédentes; les arbres de cette espèce constituent une construction spéciale, qui n'est pas soumise aux principes généraux que nous avons admis.

CALCUL DES ARBRES DE TRANSMISSION

Arbres en fer forgé.

Calculés au point de vue de la résistance.

Calculés au point de vue de la torsion.

(Arbres moteurs.)

CALCUL DES ARBRES DE TRANSMISSION

1" Exemple. Une chaîne de grue exerce un effort de 3700k, tangentiellcment au tambour sur lequel elle est enroulée et dont le rayon ( mesuré jusqu'à taxe de la chaîne ) est de 185 ; quel diamètre doit-on donner à l'arbre en fer du tambour pour qu'il puisse transmettre cet effort? Dans ce cas, on a PR = 2700-185 = 499500 et, comme on ne doit avoir égard qu'à la résistance, la ligne 10, colonne 2, indique qu'on doit prendre d = 75mm; cette dimension doit être, en réalité, légèrement augmentée , pour tenir compte de l'effort de flexion, auquel t arbre se trouve également soumis (V. § 109).

2 *. Exemple. Une turbine doit transmettre u» travail de 92 citera ux, par l'intermédiaire d'un arbre horizontal, en fer forgé, ayant une vitesse de 114 tours par minute et une longueur de 2m,6. Pour déterminer le diamètre

4 donner à cet arbre, remarquons qu’ici ~ = 0,807. Au point

de vue de la résistance, il suffirait, d’après la table (colonne 3, lignes 10 et 11), de prendre, pour ce diamètre, 78mm environ. Mais si Fon veut que l'angle de torsion, par mètre de longueur, ne dépasse pas ce qui correspond à Us" pour la longueur totale, la mime table indique (colonne 5, lignes 16 et 17) qu'on doit prendre d = ll>mm. Dans une installation , oit les données étaient identiquement les mêmes que pour notre exemple , on a donné à Furbre intermédiaire un diamètre d — 133 ma; ce qui a eu pour résultat de diminuer encore la valeur que nous avions admise p/ur Fangle de torsion; une partie de l'augmentation de diamètre peut d'ailleurs être considérée comme concspondant aux efforts de flexion. Arec le diamètre d = llimm, Farbre se trouve présenter une résistance supérieure à celle du premier cas, dans le rapport

ou de 3,18 à 1.

Arbres de transmission des machines.

Dans les calculs précédents, snr le diamètre des arbres, nous n’avons pas tenu compte des forces qui peuvent tendre à leur donner un mouvement de flexion. En réalité, il existe toujours des forces de cette espèce, excepté dans les cas où le mouvement de rotation est produit par de véritables couples. Pour les arbres de transmission des usines, les forces qui tendent à produire la flexion consistent, dans la plupart des cas, en tensions de courroies et pressions de roues d’engrenages, auxquelles il convient d'ajouter les poids des divers organes. Si on voulait tenir compte exactement de toutes ccs forces, on serait conduit à des calculs d’une extrême complication. De plus, il est d’usage, dans la pratique, de ménager sur ccs arbres de longues portées, sans changement de diamètre, afin de pouvoir déplacer à volonté les poulies des courroies, qui servent généralement à transmettre le travail. On arrive, pour ces portées, à des

CALCUL DES ARBRES DE TRANSMISSION

valeurs parfaitement admissibles, en se bornant à les calculer par les formules de torsion (100) ou (101), suivant qu’il s’agit d’arbres en fer ou en fonte. Les arbres ainsi calculés présentant, comme nous l’avons vu, une résistance généralement très -élevée, il en résulte qu’on peut négliger, sans hésitation, les forces de flexion, que nous avons indiquées précédemment et qni ont des valeurs relativement faibles. Pour arriver à diminuer le diamètre, il suffit d’augmenter le nombre n de tours par minute; ce nombre s’élève de 60 et 80 à 120, 140, 200 et même au delà, lorsque la machine à mouvoir doit tourner très - rapidement. Les arbres moteurs verticaux ont généralement une vitesse de rotation plus faible que celle des arbres horizontaux; lorsqu’un arbre vertical traverse plusieurs étages, on le diminue à chacun d'eux d’une quantité correspondant au travail transmis à l’étage inférieur. Les arbres verticaux de cette espèce s’exécutent assez souvent en fonte; on emploie également cette matière pour les longues transmissions horizontales, qui n’ont à transmettre aucun travail sur leur parcours.

Dans la pratique, la détermination des diamètres des arbres présente d’assez graves contradictions. Ainsi, certains arbres, pour lequels la solidité est une condition essentielle, se trouvent soumis à des tensions très - élevées , comme, par exemple, les arbres à manivelles des locomotives, pour lesquels la tension s’élève jusqu'à 9 ou 10k, et les arbres d’hélices des navires à vapeur, où elle peut aller de 5 à 6*. Dans un grand nombre d’usines, au contraire, on rencontre des arbres de transmission qui ont à supporter une pression très -faible (ce qui tient le plus souvent à ce qu’on les a calculés, avec raison d’ailleurs, en ayant égard à la torsion); nous devons ajouter, il est vrai, que, dans d’autres usines, les mêmes principes ne se trouvent pas observés et que les arbres, en raison de la faiblesse relative de leurs diamètres, subissent des torsions très -considérables.

L’examen comparatif des arbres de transmission, dans les différentes installations, présente, du reste, d'assez grandes difficultés, en raison de l'incertitude qui existe généralement sur le travail réellement transmis par un arbre et qui n’a souvent aucune relation avec le travail nominal, pour la transmission duquel cet arbre a été primitivement établi. Nous nous hon orons donc à faire remarquer que l’emploi des formules, précédemment données pour la torsion, conduit à des valeurs qui, légèrement augmentées

CALCUL DES ARBRES DE TRANSMISSION

pour les arbres d’une très -grande longueur, présentent une concordance très - satisfaisante avec celles qu’on peut déduire de l’examen d’un grand nombre d’installations.

Quelques exemples rendront plus intelligibles les remarques qui précédent et qui, jointes à celles du paragraphe précédent, présentent une assez grande utilité pour le constructeur.

1 Exemple. Dans un grand navire de guerre, dont les machines ont iti exécutées à l'usine d'indret, l'arbre de !' hélice est commandé par deux pistons à vapeur, qui exercent une pression de 60,000 k sur deux manivelles, de 550mm de longueur, calées à angle droit. Entre la partie coudée et (hélice, cet arbre présente une longueur de 22m et im diamètre de 380“", Si on calcule cet arbre, en ayant égard simplement à la résistance, comme ici PS *= 2 y', ■ 80000- 5Ï0--— G221G00éè‘ 'm"' , on doit prendre, d'après la formule (96), d =* 0(9> 02216000^ 37 Gmm, 4, valeur qui se rapproche beaucoup

de celle de l’exécution et qui correspotul à une tension maximum de G" à la circonférence. Si on roulait, au contraire, s'imposer la condition que Vangle de torsion ne dépassât pas */4° par mètre, soit, pour toute la langueur, 44/4“,

on devrait, d'après la formule (100), prendre d — 4,13 V 62216000 = 367"™, valeur légèrement intérieure à celle que donne la considération de la résistance. Avec la valeur admise pour l'exécution, la valeur de Vangle total de torsion doit dune être légèrement au-dessous de 5ul/,.

2". Exemple. Dans la filature de Saltair , un arbre vertical en fonte, faisant 92 tours par minute, doit transmettre un travail de 300 chevaux; son diamètre est de 10 pouces anglais ou 254 "m. En calculant cet arbre

d'après la formule de torsion (101), nous trouverions d = 143 J 'j!1' =

192™m)2, valeur qui n'est que les */4 de celle qu'on a adoptée pour V exécution. Tous les autres arbres de (usine sont établis dans les mimes conditions de résistance que l'arbre principal. / „,i\

3* Exemple. Dans un montiu , établi sur une chûte du Rhin, un arbre, en fer forgé, de 68" de langueur, doit transmettre aux tuvalu; un travail de 120 chevaux, fourni par une turbine. Le nombre de tours de cet

arbre est de 95 par minute, ;>ar suite = __ = 1J163. En n'ayant égard

qu'à la torsion, on devrait prendre d — 12Gmm (colonne 5, lignes 17 et 16), tandis qu’en ne tenant compte que de la résistance, la même table donne d = 92""" (colonne 3, lignes 13 et 14). Le constructeur a donné, en réalité, 96"" aux tourillons , qui sont au nombre de 32, et 100mJ'Ttu corps de l'arbre. Le maximum de tension correspondant est de 5k)2 à la circonférence des tourillons et de 4kfi seulement pour le corps principal. Le constructeur de l'usine de Saltair (1) aurait donné à cet arbre un diamètre de .800"“ nu moins, correspondant à une résistance environ huit fois plus grande que celle qui a été adoptée en réalité.

(1) Fairbairn, gui, pour tout lu cas anilogust, a propos i ZVmptai de {a formule d — ISO |/£.

CALCUL DES ARBRES DE TRANSMISSION

4' Exemple. Dans 1a filature du Logelbach, un arbre en fonte de 210mm de diamètre, dont la vitesse de rotation est de 27 tours par minute, sert à transmettre un travail de 140 chevaux (mesuré au frein). Le rapport

— est alors — 5,19. Comme il s'agit ici d'un arbre en fonte, nous

devons doubler la valeur de ce rcjpcnt et nous trouvais ainsi que la valeur de d est comprise entre 200 et 220 (colonne 5, lignes 25 et 26); un calcul plus exact donne d «= 22jmm, valeur qui est très -sensiblement celle qu'on a adoptée pour Vexée i lion. En tenant compte simplement de la résistance, un aurait trouvé, d'après la même table, d -» lS5mm (colonne 3, lignes 23 et 21).

5*. Exemple. Le même établissement possède une autre transmission en fonte de 25m‘,5 de longueur, qui, avec une vitesse de 50 tours par minute, doit transmettre un travail de 270 chevaux (mesuré au frein); ce qui donne

5,4 pour le quotient Les tourillons de cette transmission ont un diamètre de 175ma ; quant au corps de l’arbre, qui est légèrement renflé, il présente en section une forme analogue à celle de la fig.282; on peut le supposer remplacé par un corps cylindrique, de 215 " de diamètre, qui possède approximativement la mime résistance. Si on cherche dans la table le diamètre à donner aux tourillons, en ayant égard simplement à la résistance,

il convient, comme précédemment, de doubler le rapjtort —, et on trouve

alors un nombre compris entre ISO et 190 ou, plus exactement , 187 valeur supérieure à celle qu'on a admise en réalité. A ce dernier diamètre, qui est de 17 5mm, correspond une tension S = 3*, 67. Pour le corps de l’arbre, comme sa longueur est très -gr amie , il convient de déterminer son diamètre par la formule de la torsion et de le chercher dans la colonne 5, pour une valeur de

— égale à 2-5,4 — 10 fi. On trouve ainsi que d est comjiris entre 200 et

220; si on le calcule plus exactement parla formule (101), on arrive à d =*

143 Vô,4 — 143-1,52 — 217ma, valeur qui coïncide très- sensiblement avec celle qu'on a admise en exécution.

Calcul de l’angle de torsion d’un arbre.

Dans un arbre cylindrique, de diamètre d, qui, sur toute sa longueur L, est soumis à un moment de rotation PR, l’angle de torsion, pour une matière dont le coefficient d’élasticité de torsion est G, a pour valeur, d’après le § 13, n° I:

„m 32.360 PR 1000 L 180® 1000 L * ^~2Tr~Sr G ~ n G Ôfid ' formule qui, pour le 1er forgé, dont le coefficient G — 8000,

donne: ^#- 72,95—^-14,32®^ .... (104>