mmJ, et Vi — 10-1,12 ^ - o, c'est-à-dire que

dans ce cas, les flancs se composent de simples lignes droites, tracées par le centre de la roue.

3* Exemple. On lionne 3 — ”, 1 = 30. On a: na = 50-0,45 J J = 50-0,45 J y 31mm£, ou, en nombre rond, 31mm. On trouve ensuite,

pour le rayon de tare intérieur: (>i «= 50-0,45- ^// = — 50-0,45- j =

- -50- 0,3375 = — /7mm ajiproximatirement. Dans ce cas les flancs de la dent se trourent disposés comme l'indique la fig. 452 (§ 187).

Remarque. Lorsque le nombre des dents est inférieur à 15, il est préférable de recourir au tracé exact indiqué dans le §191, car, dans ce cas, la forme approximative que fournirait le tracé par arcs de cercle ue donnerait pas une marche suffisamment régulière.

Denture à flânes droits.

Le tracé des flancs droits est un cas simple du tracé des cyeloïdes; les roues qu'on obtient de cette manière sont des roues non harmoniques (v. § 1H4); ce genre de tracé convient spécialement pour les engrenages coniques, puisqu’il conduit, dans ce cas, à adopter, pour les flancs des dents de bois, des surfaces planes qui sont, à tous égards, les plus avantageuses pour cette matière.

I. Roues engrenant extérieurement. Fig. 457. Soient 3 Ie nombre des dents, li le rayon de la roue à dents de bois,^3i et Jî, les données correspondantes pour la roue à dents de foute, t le pas, k et f k, et /] les longueurs de tête et de pied des dents pour les deux roues, W le cercle de roulement, qui engendre le profil des dents de la roue Rl. On doit prendre

DENTURES A 1T.ANCS DROITS.

Ji - - f (£ ), rayon de TF égal à f, if, » & (A),

A: = 0,1 /, f =■ o, CT, = <>,5 T, /', = 0,2 T et l’épaisseur des dents,

pour les deux roues, égale à /. Le profil aSi de la dent à

flancs droits se compose de la droite Si, dirigée suivant un rayon du cercle O et d’un quart d’arc de cercle S a , dont le rayon est

égal à / . • L’arc S h , étant pris égal à l’are //, a, , S a, repré-

sente un are d’épicycloïde, engendré par le roulement du cercle TF sur le cercle '1\ ; l’arc a, S est prolongé par une portion de droite Si,, qui se raccorde par un congé avec l'arc de la roue; l’ensemble de ces deux lignes a, S et Si,, ou tt, S i, , donne le profil de la dent à lianes courbes.

Fig. 457. Fig. 458.

II. Houes à cngrhicmmt intérieur. Fig. 458. La roue à denture intérieure porte les dents courbes en fonte; son rayon est ü, et le nombre des dents 3i î pour la seconde roue, le nombre des dents est 3 et le rayon li ; le cercle générateur TF a

pour rayon — ; quant aux longueurs de la tête et du pied de

chaque dent, elles ont les mêmes expressions que précédemment. Le profil de la dent en bois est la droite aSi , qui est légèrement arrondie à la partie supérieure; le profil de la dent en fonte est <i,Sit, qui se compose de l’arc d’hypocycloïde a, S, engendré par le roulement de 1F sur 1\ et de la partie de raccordement S i , .

DENTURES A FUSEAUX

Si on voulait mettre les dents à flancs droite sur la roue A denture intérieure , il faudrait adopter, pour le profil des dente de l’autre roue, un arc de périeycloïde , engendré par le roulement, sur le cercle primitif de cette roue, d’un cercle générateur, dont le rayon serait le moitié de celui de la première roue. Au point de vue de l’exécution, les formes de dente ainsi obtenues seraient moins avantageuses que celles fournies par la méthode précédente.

Dans le tracé par flancs droits, pour la denture d’une crémaillère et de sou pignon, on peut opérer de deux manières: prendre Jt, infini, en conservant pour R une valeur finie; dans ce cas, le profil des dente du pignon serait formé de lignes droites, tandis que celui des dente de la crémaillère se composerait d’arcs de eycloïde ordinaire; si, au contraire, on prenait R inljni, R, conservant une valeur finie, la crémaillère aurait des dents il flancs droits, tandis que celles du pignon seraient formées par des développantes de cercle.

Dans le tracé par flancs droits, la ligne d’engrèuemcnt

coïncide avec le cercle générateur ^ j ; la longueur de l’arc

d’engrènement est égale à l’arc \ a, ; enfin la durée de l’cugrènement c est comprise entre 1,7 et 3,7. Quand les deux profils de la dent à flancs courbes viennent à se couper, avant de rencontrer le cercle de tête, cette dent n’est admissible qu’à la condition que t reste plus grand (pie 1 ; dans le cas contraire, il convient d’augmenter le nombre des dents.

Dentures à fuseaux. Dentures mixtes.

On utilise encore assez souvent le tracé par lignes droites, en munissant les deux roues de dents, dont le pied est formé de flancs droits et la tête de flancs courbes. Mais les dente qu’on obtient ainsi ne jouissent pas de la propriété d’engrener rigoureusement l’une avec l’autre et, pour ce motif, ne doivent pas être admises dans la construction ordinaire des machines. 11 n’y a guère que les engrenages d’horlogerie pour lesquels on puisse, à la rigueur, conserver cette méthode de tracé, par ce qu’elle permet à la fois de tailler facilement les vides à la lime et d’employer des roues d’un petit nombre de dente.

DKNTUBKX A FUSEAUX.

Si on prend le diamètre du cercle générateur supérieur d’une certaine fraction an rayon du cercle primitif correspondant, on obtient des dentures qui sont encore d’une exécution possible, mais qui, en pratique, ne sont admissibles que pour des cas tout particuliers.

Lorsqu’on prend, pour ecrelc générateur, le cercle primitif d’une des deux roues, on obtient, pour le profil des dents de la roue correspondant au ecrelc primitif sur lequel il roule, îles ares d’épicycloïde , tandis que, pour l’autre roue, le profil des dents se réduit à un point. C’est dans ce genre de tracés que rentrent les engrenages tV fuseaux.

Engrenages extérieurs à fuseaux. Fig. 45!). Du point auquel se réduit le profil de la dent de la roue li, on décrit,

avec t pour rayon, un cercle, qui donne le profd du fuseau

correspondant ù ce point. Quant au profil de la dent sur la roue /£, , il est formé par une courbe parallèle (ou équidistante) à l’are d’épicyeloïde Sa, engendré par le point S, dans le roulement de T sur T \ (l’arc Sib «= l'are Sb)\ l’enveloppe des cercles, décrits des différents points de Sa, avec un rayon égal à celui du fuseau, donne le profd ed d’une partie de cette dent; l’autre partie d i est formée par un quart de cercle. La ligne d’engrènemeut coïncide avec le cercle T; sa longueur SI, dont la limite I est déterminée par le cercle de tête À", et qui est égale à l’are d’engrènement, doit être supérieure à t et, par suite, au moins

Fig. 45». Fig. 460.

DENTURES A FUSEAUX

égale à 1,1 t. Cette dernière valeur sert à déterminer la longueur k\ et la longueur réelle de la tête A,, qui s’en déduit.

Engrenage intérieur à fuseaux. Fig. 460. La marche A suivre est identique à la précédente. La partie cd du profil de la deut est formée par une courbe parallèle A l’are d’hypocycloïde Si, engendré par le roulement de T sur T, (l’are S b — l’are i b) ; la longueur SI de l’engrènement, qui est la même que celle de l'arc, doit être prise au moins égale à 1,1 1. Le profil du du pied de la dent est une droite, dirigée suivant le rayon et qui n’a pas besoin d’être raccordée avec la couronne par un arc de cercle d’aussi grand rayon que dans la lig. 459.

Dans la fig. 461, c’est la roue creuse qui porte les fuseaux; le profil cd est parallèle à l’arc de péricycloïde Sa, engendré par le roulement de T sur T, (l’arc S b = l’arc ah)-, la longueur SI de l’engrèncmcnt, qui, comme précédemment, est la même que celle de l’arc, doit être au moins égale à 1,1 t; le profil di du pied de la dent est une droite radiale.

La fig. 462 représente un cas particulier du tracé de la fig. 460. On a, dans ce cas, R = 'h R, et, par suite, 3 = 7» 3i > ce qui, pour 3 = -> donne 3i =4. Le profil cd est une parallèle à la droite Si, à laquelle se réduit ici l’hypocycloïdc (l’arc S b l’are bi)-, la longueur SI de l’cngrèncmeut a encore la même valeur que l’arc d’engrènemeut. Cet arc est ici nécessairement

plus petit que i\ toutefois, comme la forme droite des flancs des dents de la roue R , permet de supprimer tout jeu, de telle sorte

DENTURES A FUSEAUX

que le même fuseau engrène avec les deux flancs opposés, il en résulte que la valeur de l’are d’engrènement peut être considérée comme égale au double de SI.

Plusieurs auteurs regardent ce genre d’engrenage comme un mécanisme spécial; du reste, dans les installations où on en fait usage, les fuseaux sont de véritables rouleaux mobiles, inunis de tourillons.

Si, dans la fig. 460, on fait croître indéfiniment le rayon .R,, on obtient le mécanisme à crémaillère, dans lequel les profils des dents, sur la crémaillère elle -même, sont formés par des lignes parallèles à des cycloïdcs ordinaires.

Si, au contraire, c’est le rayon R qu’on fasse croître indéfiniment, dans la fig. 461, on obtient une forme de crémaillère très -simple, d'une exécution commode, qui est le plus souvent employée de préférence à la première; sur le pignon les profils des dents sont formés par des parallèles à des développantes de cercle.

Les engrenages à fuseaux, pour les installations qui exigent une certaine précision et qui ne se répètent pas souvent, offrent cet avantage que les fuseaux peuvent être exécutés très -simplement et très -exactement au moyen du tour; les crémaillères à fuseaux, en fer forgé, sont très-employées, dans la pratique, pour tous les appareils qui sont très -exposés au froid, comme les appareils de manœuvre des écluses, des ponts tournants, etc.

Denture à deux points. Fig. 463. Si on réunit ensemble deux dentures à un seul point, on obtient une nouvelle denture, qui permet

Fig. 463. Fig. 464.

DENTURES A DÉVELOPPANTES.

d’adopter, pour l’une des roues , un nombre de dents très - faible et de passer, par suite, d’une vitesse à une autre très - différente, en employant des roues de dimensions peu considérables. Dans la figure, les deux cercles primitifs sont en même temps cercles générateurs. Sa est un are d’épiçyeloïde (engendré par le roulement de T, sur T ) qui , sur la longueur S I, engrène avec le point S de la roue T-, Sa, est un second d’arc d’épicyeloïde (engendré par le roulement de T sur T,), qui, sur la longueur SU, engrène avec le point S de la roue T,. Si et Si, sont les profils des pieds des dents pour les roues II et II,, S a g et Sa, ij, les profils théoriques des vides des memes roues (v. IV, § 187). La petite roue est d’un emploi très -convenable, à la condition d’encastrer les dents entre deux couronnes latérales; ce mode d’engrenage se rencontre, fréquemment dans les treuils de voitures et les appareils d’élévation.

Denture mixte. Fig. 464. Ce genre de denture, qui est très -convenable pour les petits pignons des appareils d’élévation, a l’avantage de diminuer l’évidement du pied de la dent. Ce résultat est dfi à l’emploi de flânes droits pour le pied des dents de la petite roue. Pour obtenir une durée d'engrènement suffisante (dans la roue à trois dents avec crémaillère elle atteint 1,15), il convient d’utiliser, sur les deux roues, les courbes qui déterminent la tête des dents, jusqu’à leur point de rencontre. Dans la figure, Sa est un arc de développante de cercle, engendré par le roulement sur T du cercle primitif T, (qui ici, pour la crémaillère, se réduit à une ligne droite); S i est une ligne droite radiale, engendrée par le roulement sur T du cercle W de rayon

Sa, g, est le profil théorique du vide de la roue T. L’en-

grènement do Sa avec le point S de la crémaillère a lieu sur la longueur S II. L’arc de cyeloïde Sa,, engendré parle roulement de 1F sur T,, engrène, sur la longueur SI, avec le flanc Si du pied de la dent de la roue T.

Dentures à développantes de cercle.

Dentures extérieure et intérieure. "Fig. 465 et 466. Supposons donnés le nombre 3 des dents et le pas l, ou le rapport

DBNTURIOS A DÉVELOITAÎJTES.

de la roue, dont il faut tracer les dents, avec un profil formé

par un are «le développante de cercle. Prenons OS — R ^

— ^ j, puis traçons les cercles de tête et de pied, F et K, à

des distances /'et le du cercle primitif, respectivement égales à o,4 1

Fig. JUS. Fig. 4(>H.

et 0,3/ et adoptons i9jl0 1 pour l’épaisseur des dents. Par le point S menons la ligne NSNt, inclinée de 75° sur la ligne OS; le cercle G, mené tangentiellcment à cette droite, aura pour rayon

r 0,966 11 = o,151 3/ — 0,483 3 (7) Les arcs Sa et S g,

décrits par le point S de la droite, pendant son déroulement et son enroulement sur le cercle G, donnent le profil cherché aSg de la dent qui, dans le cas de la denture extérieure et pour un nombre de dents inférieur à 55, doit être prolongé par une partie droite radiale gi et raccordé par un congé avec la couronne de la roue.

La ligne d’engrènement est F N, ; sa longueur totale se compose des deux segments Sl> et Sbl} déterminés par les intersections d<i cette ligne avec les cercles de tête; pour la roue à denture intérieure (fig. 466), le segment inférieur est Sc. Pour déterminer la durée e de l’cngrènemcnt, il suffit de mener, par les extrémités d’un arc égal au pas, pris sur le cercle primitif, deux rayons et de prendre l’arc qu’ils comprennent sur le cercle de rayon r, comme unité de mesure, pour la longueur de l’engrène-

DENTURES A DÉVELOPPANTES.

ment. Pour deux roues de même grandeur, ayant chacune 14 dents, e n’cst que très -peu supérieur à l’unité; en général, e se trouve compris entre 1 et 2,5.

Crémaillère. Fig. 467. Le protil des dents se réduit à une droite aSi, inclinée de 75° sur le cercle primitif T, qui est

Fig. 407.

ici une ligne droite. L’angle de 75* s’obtient facilement en juxtaposant deux équerres ordinaires, l’une à 45°, l’autre à 30°.

Dans les roues d’un petit nombre des dents, le cercle de rayon r, qui limite la partie courbe du protil des dents, se rapproche beaucoup du cercle primitif. 11 en résulte un inconvénient assez grave au point de vue de l’cngrèncment. Dans ee cas, en effet, le segment SB de la droite NN, qui so trouve compris entre les deux cercles, est plus petit que l’autre segment, déterminé par l’intersection de la droite N N avec le cercle de tête de la dent de la roue conductrice (fig. 468), de telle sorte que l’arête a tend à entailler le

Fig. 408.

pied de l’autre dent suivant le profil correspondant à l’are afg (v. fig. 452). Pour que cet inconvénient ne puisse pas se produire, il faudrait que la ligne limitant la tête de la dent, à laquelle, appartient le point a, ne s’élevât pas au-dessus de la ligue KK , menée par le point B (1).

(1) La contradiction qu'impliquerait ce résultat d'une denture géométriquement exacte, conduisant à un engrcncincnt inadmissible, n'est, en réalité, qu'apparente. D'apres les hypothèses faites relativement à la longueur des têtes de dents, le protil du pied de la dent sur la petite roue devrait